Менеджмент.Финансовая математика

Перейдем теперь к варианту б. Здесь справедливо равенство

Э, \	(	д .
Л 1 +	= Л И	+

где Р{ — номинал, Р2 — цена приобретения, / — объявленная процентная ставка.

Контур операции для данного уравнения приведен на рис. 10.3.

Рис. 10.3

Из приведенного выше равенства получим значение	при
заданной величине Р2:
1 *1 •
l + 77'i
- 1	(10.14)

Если в качестве измерителя эффективности принята ставка сложных процентов, то

'Н ' 365/dj

- 1.

(10.15)

Рассмотрим вариант в. Здесь покупка производится спустя некоторое время после выпуска сертификата, а его продажа — до момента погашения. В этом случае опять приходим к урав­ нению (10.7), в котором Рх означает цену приобретения (а не номинал). Отсюда для расчета /эп и /э пригодны формулы (10.8)—(10.1 1 ).

221

П Р И М Е Р 1 0 .5 . Операция заключается в покупке сертификата за 1020 тыс. руб. за 160 дней до его выкупа. Инструмент был про­ дан за 1060 тыс. руб. через 90 дней. Какова доходность опера­ ции, измеренная в виде простой и сложной ставок? Исходные

данные Р 1 = 1020, Р2 = 1060,	д1 = 160,	д2 = 70 ,	д1 - д2 = 90.
Пусть временная база простых процентов равна 365 дням, то ­
гда по формуле (10 .8) находим
1060 - 1020	365	,	_
= ----- 1025-----Х1 6 " = 0>159’ МЛИ15’9%-
Эквивалентная сложная ставка равна
	3 6 5 / 9 0	= 0 ,1 6 9 ,	или 16 ,9 % .
^-1 1+- £ Ь ° - 159	- 1
Величину /э можно определить и непосредственно по формуле
( 10. 10):
11060^ 365/90
	- 1 = 0 ’169-
П Р И М Е Р 1 0 .6 . Финансовый	инструмент, приносящий постоян­

ный процент, куплен за 200 дней до срока его погашения и про­ дан через 100 дней. В момент покупки процентная ставка на рын­ ке была равна 10 % , в момент продажи — 9 ,8 % . Доходность опе­ рации купли-продажи в виде годовой ставки сложных процентов равна согласно (10 .13 )

L =	( 365 + 200 x 0 ,1		\ 365/юо		1 =	0 ,10 3 , или 10 ,3 % .
	„ ■ ,	— г т т т *		-
э	у365 + 100 х 0,098 )
П Р И М Е Р	1 0 .7 . Сертификат с номиналом					100 тыс. руб. с объяв­
ленной доходностью		12 %	годовых		(простые проценты) сроком

72 0 дней куплен за 110 тыс. руб. за 240 дней до его оплаты. Ка ­ кова доходность инвестиций в виде /э?

	Если К =	360 дней, то по формуле (10 .15 ) получим
		72 0	3 6 5 / 2 4 0
		1 + — ~-х0,12
	'э = 100—	360	- 1 = 0,199 85 , или 19 ,9 8 5 % .
		110

222

§10.5. Долгосрочные ссуды

Очевидно, что способ погашения долгосрочной задолженно­ сти оказывает заметное влияние на эффективность соответству­ ющей финансовой операции для кредитора. В данном парагра­ фе кратко рассмотрены методы оценивания ПД долгосрочных ссуд для двух случаев: 1) когда проценты погашаются последо­ вательными платежами, а основная сумма долга выплачивается в конце срока и 2) когда долг и проценты погашаются последо­ вательно на протяжении всего срока ссуды. В обоих случаях предусматривается выплата комиссионных.

Ссуды с периодической выплатой процентов. Если комиссион­ ные не выплачиваются, то доходность равна годовой ставке сложных процентов, эквивалентной любым применяемым в сделке процентным ставкам. Ситуация усложняется, если име­ ется еще один источник дохода для кредитора — комиссион­ ные. Пусть ссуда D погашается через п лет, проценты по про­ стой процентной ставке / выплачиваются регулярно в конце го­ да: их сумма равна Di. Должнику с учетом комиссионных выда­ ется ссуда в размере Д 1 —g). Уравнение эквивалентности, по­ лученное дисконтированием всех платежей по неизвестной ставке /э, имеет вид

+

« 0 .

Здесь v = (1 + /э)-1, Zv'» = ап.^. Теперь это уравнение мож­ но представить в виде функции от /э следующим образом:

/( /,) - V я + ian.t3 - (l -

- 0.

Если проценты выплачиваются р раз в году, то

/ ( / , ) . v " * - V ; ; - ( i - g) . о.

Задача, следовательно, заключается в нахождении корня данной степенной функции. Решить поставленную задачу мож­ но методом Ньютона—Рафсона или простым подбором.

223

П Р И М Е Р 1 0 .8 . На три года выдана ссуда 1 млн руб. под 10 % го ­ довых, проценты выплачиваются ежегодно. При выдаче ссуды сделана скидка в пользу владельца денег в размере 5 % . В ре ­ зультате должник получил 950 тыс. руб. Для расчета искомой ставки /э напишем функцию

Ю	= < 1 + ' э Г 3 - ° ’ 1	* а 3;/э -	° ’ 9 5 в ° -
Получим /э =	1,12 0 8 8 . Таким	образом,	доходность операции

для кредитора и соответственно цена кредита для должника в ви­ де годовой ставки сложных процентов равны 12 ,0 8 8 % .

Ссуды с периодическими расходами по долгу. Пусть по ссуде периодически выплачиваются проценты и погашается основ­ ной долг, причем сумма расходов по обслуживанию долга по­ стоянна. Тогда уравнение эквивалентности для случая, когда платежи производятся в конце года, можно представить в виде

D( 1 - g) - Ran h = 0 ,

где R — ежегодная сумма по обслуживанию долга (срочная уп-

лата). Поскольку R =	D
	-----(см.§ 5.4), то
	a n;i
Л'э)	= «я;/ , -«»;/(! - g ) = 0.	(10.16)

Аналогично для случая, когда погасительные платежи осу­

ществляются р раз в году, находим
		л и =	<1 - ?) “ 0»	(1017)
где	и	— коэффициенты приведения р-срочной ренты.

П Р И М Е Р 1 0 .9 . Пусть в примере 10.8 задолженность погашается равными платежами. Все остальные условия не изменяются. В этом случае согласно (10 .16 )

аз4 = аз;ю<1 ~ ° - 05) = 2,48685 х 0,95 = 2,3 6 25 1.

Расчет /э по заданному значению а3.( = 2,36251 можно легко осуществить с помощью линейной интерполяции. Поскольку /э > > 10 % , то для интерполяции примем: / = 12 % и /в = 13 % . Находим следующие табличные значения коэффициентов приведения рен­

224

ты: а3.12 =	2,3	8 13 4	, а3;13 =		2 ,3 6 115 . Интерполяционное значение
ставки:
'э =	12	2,3 8 13 4		-	2,36251	(13 - 12) = 12 ,9 3 3 % .
		+ - г т г —		—	■ '
э		2 ,3 8 1 3 4 - 2 ,3 6 1 1 5

Нерегулярный поток платежей. Задолженность может быть погашена путем выплаты нерегулярного потока платежей: Я,, ..., Rn. Эффективность кредита при таком способе погаше­ ния определим на основе следующего уравнения эквивалентно­ сти вложений и отдач:

/ ( 4 ) -

f

l

(

l

- 0 ,

(10.18)

7 -1

где tj — интервал от начала сделки до момента выплаты у-го по­ гасительного платежа. Из условия сбалансированности сделки находим, применяя договорную ставку /, величину последнего взноса:

R„ - Dq T

R /> ,

(10.19)

J-1

где q = 1 + /э; T = 2 Tj, Т} — срок от выплаты у-го платежа до конца сделки.

Продемонстрированный выше метод оценки показателя полной доходности на основе функции гэ) применяется, в ча­ стности, при анализе облигаций и производственных инвести­ ций. В следующих главах мы затронем эти проблемы.

§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)

Расчет доходности для схем, предусматривающих рассроч­ ки платежей, довольно хлопотливое дело. На практике при решении подобных задач иногда прибегают к приближенным методам, которые основаны на замене регулярного потока платежей разовым платежом, отнесенного к середине общего срока погашения. Естественно, что такое упрощение условий скажется на точности результата. Остановимся на двух зада­ чах.

225

Условия первой задачи. Пусть некоторое долговое обязатель­ ство в сумме D покупается по цене Р. Долг последовательно по­ гашается в течение п периодов. Разовое погашение в сумме R = = D/n. Доходность в конечном счете определяется здесь ценой приобретения обязательства

Определим доходность вложения в такое долгосрочное обяза­ тельство. Стандартное решение заключается в разработке уравне­ ния эквивалентности вида Р — Ran i_и его решения относительно неизвестной ставки /э. (Как было показано в гл. 5, простого алге­ браического решения нет.) В свою очередь упрощенный метод сводится к решению элементарного равенства Р = DvT. Отсюда

(Ю.20)

где Т —средний срок обязательства.

Следует подчеркнуть, что при определении среднего срока самым простым способом в виде

Т0 = п / 2

(10.21)

не учитывается вид ренты, характеризующей поступления. С учетом этого фактора получим следующие средние сроки:

для поступлений постнумерандо

	п	1	(10.22)
	Т{ = у + у ,
для ренты пренумерандо
	т2 = у		(Ю.23)
П Р И М Е Р	1 0 .1 0 . Операция характеризуется следующими данны­
ми: D =	100, Р = 7 5 , п = 5. Оценим доходность для двух вариан­

тов погашения задолженности — постнумерандо и пренумерандо. Средние сроки: Т0 = 2,5 ; Г, = 3; Т2 = 2 года.

Оценки уровня доходности: при среднем сроке 2,5 года

/о - 2 -1-0,1220,

226

при выплатах постнумерандо (Г, = 3)

- 1 - 0 ,1 0 6 4 .

Точное значение для ренты постнумерандо получим на основе равенства 7 5 - Э а 5;/|. Находим /, = 0 ,10 4 2 .

В свою очередь для ренты пренумерандо (Г 2 = 2)

Точное значение /2 = 0 ,16 8 8 .

Как видим из приведенного примера, упрощенная оценка доходности с учетом вида ренты заметно уменьшает погреш­ ность. Без учета этого фактора оценки оказываются весьма гру­ быми и, вероятно, практически бесполезными.

Условия второй задачи. Пусть долговое обязательство преду­ сматривает последовательное погашение и выплату процентов за фиксированный срок без льготного периода. Точное значе­ ние доходности находим при решении уравнения эквивалент­ ности

п	(10.24)
p - 2 *,v'

относительно дисконтного множителя v, определенного по ис­ комой ставке j.

Приближенную оценку доходности j можно получить как сумму двух показателей доходности

(10.25)

где i9 — оценка доходности, полученная на основе среднего срока по формуле (10.20), / — процентная ставка по кредиту.

В табл. 10.1 приводятся приближенные и точные значения показателей доходности (в %) при условии, что процентная ставка по кредиту равна 10%.

227

							Таблица 10.1
	р	110	100	75	70	60	50
	'э	-3,886	0	12,20	15,33	22,67	31,95
	/	10	10	10	10	10	10
j	(прибл.)	6,114	10	22,20	25,33	32,27	41,95
j	(тонн.)	6,175	10	23,11	26,66	35,27	46,85

Как следует из данных таблицы, чем больше разность D — Р, тем выше погрешность приближенной оценки доходности. За­ метим также, что применение среднего срока в виде Т{ или Тг увеличивает величину погрешности, так как при последователь­ ной выплате процентов на остаток долга средний срок ближе к

Т0, чем к Тхили Т2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 9.

Глава 11

ОБЛИГАЦИИ

§11.1. Виды облигаций и их рейтинг

Наиболее распространенным видом ценных бумаг с фикси­ рованным доходом {fixed income securities), как известно, явля­ ются облигации (bonds). Поэтому анализ сосредоточим на этом виде бумаг. Заметим, что преобладающее большинство рассмо­ тренных ниже методов применимо и при анализе других видов ценных бумаг с фиксированным доходом.

При необходимости привлечения значительных денежных ресурсов (для финансирования крупных проектов, покрытия текущих расходов и т.д.) государство, муниципалитеты, банки и другие финансовые институты, а также отдельные компании или их объединения, часто прибегают к выпуску и продаже об­ лигаций. Под облигацией понимается ценная бумага, свиде­ тельствующая о том, что ее держатель предоставил заем эмитен­ ту этой бумаги.

Облигация обеспечивает ее владельцу некоторый доход — в большинстве случаев он регулярно получает проценты по купо­ нам и в конце срока выкупную цену. Доход от облигаций обыч­ но ниже, чем от других видов ценных бумаг, в то же время он более надежен, так как в меньшей степени зависит от конъюн­ ктурных колебаний и фазы экономического цикла, чем, напри­ мер, доход от акций. В связи со сказанным в облигации инве­ стируют свободные резервы пенсионные фонды, страховые компании, различного рода инвестиционные фонды и т.д.

Основные параметры облигации: номинальная цена или но­ минал (face value), выкупная цена (redemption value) или правило ее определения, если она отличается от номинала, дата погаше­ ния (date of maturity), норма доходности или купонная процент­ ная ставка (coupon rate), даты выплат процентов. В современ­ ной практике выкуп по номиналу является преобладающим.

229

Выплаты процентов производятся ежегодно, по полугодиям или поквартально, а иногда в конце срока.

Виды облигаций. В практике применяются облигации раз­ личных видов. Отсутствие в России достаточного опыта выпус­ ка облигаций не позволяет привести развернутую их классифи­ кацию. Что касается зарубежных облигаций, то для них можно предложить классификацию по следующим признакам.

1. По методу обеспечения:

—государственные и муниципальные облигации, выплаты по которым обеспечиваются гарантиями государства или муниципалитета;

—облигации частных корпораций (corporate bonds) — обес­ печиваются залогом имущества, передачей прав на недви­ жимость, доходами от различных программ и проектов;

—облигации частных корпораций без специального обеспе­ чения (corporate debentures).

2.По сроку:

—облигации с фиксированной датой погашения (term bonds)',

—без указания даты погашения или бессрочные (perpetu­ ities), точнее, эмитент не связывает себя конкретным сро­ ком, соответственно облигации могут быть выкуплены в любой момент. Примерами таких облигаций могут слу­ жить консоли в Великобритании (выпущены во время войны с Наполеоном), французская рента.

3.По способу погашения номинала (выкупа облигации):

—разовым платежом (bullet bonds)',

—распределенными во времени погашениями оговоренных долей номинала;

—последовательным погашением доли общего количества облигаций, соответствующие облигации называются се­ рийными (serial bonds)', часто этот метод погашения осуще­ ствляется с помощью лотерей — лотерейные или тираж­ ные займы.

4.По методу выплаты дохода:

—выплачиваются только проценты, срок выкупа не огова­ ривается (см. бессрочные облигации);

—выплата процентов не предусматривается; так назваемые

облигации с нулевым купоном (zero coupon bonds)',

230