Менеджмент.Финансовая математика

A — вектор, характеризующий п —I элементов структуры порт­ феля.

Матрица D имеет размерность (я —1) х (я —1).

П Р И М Е Р 8 .3 . Эксперты оценили следующие отношения диспер­

сий для портфеля, состоящего из четырех видов бумаг: 0 1/4= 1,5; ^2/4 = 2; 03/4 =1. По формуле (8.17) получим

[2,5	1	11 -1	[0,2101
1	3	1	х е - 0,158
1	1	2	0,316

з

а4 -1-5*8/ -1-0,684 - 0,31а

Заметим, что структуру портфеля, минимизирующую дис­ персию дохода, с я составляющими при наличии корреляции определить так же просто, как это было сделано выше, нель­ зя. Однако решение существует, хотя его получение достаточ­ но хлопотное дело, да и вряд ли оно необходимо для практики.

Анализ диверсификации представляет собой первый этап в исследовании портфеля инвестиций. Следующим является ма­ ксимизация дохода. Эта проблема также связана с измерением риска и требует обстоятельного специального обсуждения, вы­ ходящего за рамки настоящего учебника. Поэтому ограничим­ ся лишь замечанием о том, что метод Г. Марковица, который заключается в разработке и решении специальной модели не­ линейного программирования с использованием показателей доходов и дисперсий, в теоретическом плане не вызывает воз­ ражений. Что касается его практического применения, то здесь, на наш взгляд, скрыты серьезные подводные камни. За­ тронем лишь одну проблему — какой срок для расчета диспер­ сий следует принять во внимание? Если ограничиться неболь­ шим сроком, то получим наиболее приближенные к современ­ ности данные. Однако они могут оказаться неустойчивыми, со­ держать много “шума”, с другой стороны, стремление охватить максимальный срок неизбежно приведет к устареванию дан­ ных.

181

Математическое приложение к главе

Минимум дисперсии дохода при отсутствии корреляции.

Дисперсия в этом случае определяется выражением (8.2), ко­ торое для п долей запишем как

л-1	/1-1	( 1)
d - 2 ^d,*	i - 2 > о».
1
I

В свою очередь

и 1 - 2 ^ 0 / + ( 2 aif>

где

/ я - 1

/1 - 1

/1 - 1 /1 - 1

Окончательно имеем

( п—I	л-1	я—I	о, + 2аг | о ,	я-1
-	1 - 2 j	О, + 2а, ^		+... +
		я-1		(2)
	+ 2 0 я - 2 ° я - 1 + 2		° ; •

I

Преобразуем (1) с использованием (2) и определим я —1 ча­ стных производных:

л-1

/'(о ,) - a,Dt + 2 * / - 1 4 , ,

f \ a2) ■ а2&2 + 2	а>~ *) 4»’	(3)
I	/

182

Разделим каждое уравнение системы (3) на Dn и приравняем его нулю. После некоторых преобразований получим

о, + l j + а2 + а3 + ... + а„_, = 1,

а. + а. + 1 + + + а « - 1 “ • - (4)

о, + а2 + аг + ...+ + lj = 1.

Представим систему уравнений (4) в матричном виде:

AD = е.

После чего получим искомое уравнение (8.17):

А = Dr'e.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Первозванский А Л , Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: Расчет и Риск. М.: Инфра-М, 1994. § 6.4.

2.Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. М.: Финансы и статистика, 1979. С. 56-57.

3.Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М.: Филинъ, 1998. Гл. 6, 7.

Глава 9

ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ

§9.1. Расходы по обслуживанию долга

Можно выделить, по крайней мере, три цели для количест­ венного анализа долгосрочной задолженности (далее для крат­ кости любой вид долгосрочного долга будем называть займом или долгом):

—разработка плана погашения займа, адекватного условиям финансового соглашения;

—оценка стоимости долга с учетом всех поступлений для его погашения и состояния денежного рынка на момент оценивания;

—анализ эффективности (доходности) финансовой опера­ ции для кредитора.

Основное внимание в данной главе уделяется первой из по­ ставленных задач. Остальные проблемы, в том числе связанные с облигационными займами, обсуждаются в следующих главах.

Разработка плана погашения займа заключается в составле­ нии графика (расписания) периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслу­ живанию долга (debt service) или, более кратко, срочными упла­ тами, расходами по займу. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.

Методы определения размера срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга, которые предусматривают: срок займа, продолжительность льготного периода (grace period),

уровень и вид процентной ставки, методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга. В льготном перио­ де основной долг не погашается, обычно выплачиваются про­ центы. Впрочем, не исключается возможность присоединения процентов к сумме основного долга.

184

В долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа. Значительно реже они начисля­ ются и присоединяются к основной сумме долга. Основная сумма долга иногда погашается одним платежом, чаще она вы­ плачивается частями — в рассрочку.

Каждый из рассмотренных ниже методов планирования по­ гашения долга в той или иной степени, но обязательно исполь­ зует результаты, полученные выше при анализе финансовых рент.

При определении срочных уплат используем следующие ос­ новные обозначения:

D — сумма задолженности; Y — срочная уплата;

/ — проценты по займу;

R — расходы по погашению основного долга; g — ставка процента по займу;

п — общий срок займа;

L — продолжительность льготного периода.

По определению расходы по обслуживанию долга (срочная уплата) находятся как Y = / + R. Если в льготном периоде вы­ плачиваются проценты, то расходы по долгу в этом периоде со­ кращаются до Y =/.

§9.2. Создание погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погаситель­ ного фонда (sinking fund). Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качест­ ве гарантии его погашения. Разумеется, создание фонда необя­ зательно надо связывать с погашением долга. На практике воз­ никает необходимость накопления средств и по другим причи­ нам, например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т.п.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника (например, на специальный счет в банке), на кото­ рые начисляются проценты. Таким образом, должник имеет возможность последовательно инвестировать средства для пога­ шения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными

185

процентами, накопленная в погасительном фонде к концу сро­ ка, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как посто­ янными, так и переменными во времени.

Постоянные взносы в фонд. Как было сказано выше, задача разработки способа погашения долга, в том числе и в виде пла­ на создания погасительного фонда, заключается в определении размеров срочных уплат и составляющих их элементов в зави­ симости от конкретных условий займа.

Итак, пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов R, на которые начисляются сложные про­ центы по ставке /. Одновременно происходит выплата процен­ тов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит

Y= Dg + R.

(9.1)

Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени. Как видим, первая определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую. Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, N, /. Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо, тогда

D

* = — ,

N;i

где sN;! — коэффициент наращения постоянной ренты со сро­ ком N.

В целом срочная уплата находится как:

Y ~ D g + -у—.	(9.2)
N;i

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата опреде­ ляется следующим образом:

(1 + v)N Y= в --...(9.3)

N;i

П Р И М Е Р 9 .1 . Д олг в сумме 100 млн руб. выдан на 5 лет под 20% годовых. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке

186

22 % . Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд ф ор­ мируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года рав­ ными суммами.

Таким образом, имеем D = 100, п = N = 5, д = 20 % , / = 2 2 % . Находим s5;22 = 7,73 9 5 8 26 и, следовательно,

Y = 100 х 0 ,2 + _	100
	■ = 20 + 12,92059 = 32,92687 млн руб.

7,7о9Ьо2о

Пусть теперь условия контракта предусматривают присоеди­ нение процентов к основной сумме долга, тогда согласно (9.3)

100 х 1,2 5

У = 7,73 5 8 2 6 = 3 2 ,1 6 6 1 8 млн руб.

При создании погасительного фонда используются две про­ центные ставки — / и g. Первая определяет темп роста погаси­ тельного фонда, вторая — сумму выплачиваемых за заем процен­ тов. Нетрудно догадаться, что рассматриваемый способ погаше­ ния долга — создание фонда — выгодна должнику только тогда, когда / > g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность / — g, тем, оче­ видно, больше экономия средств должника, направляемая на по­ крытие долга. В случае, когда / =g, преимущества создания фон­ да пропадают — финансовые результаты для должника оказыва­ ются такими же, как и при погашении долга частями (о чем речь пойдет ниже).

Накопленные за t лет средства фонда определяются по зна­ комым нам формулам наращенных сумм постоянных рент или рекуррентно:

* У ж = $ ( \ + 0 + R.

(9.4)

П Р И М Е Р 0 .2 . Продолжим пример 9 .1 (срочные уплаты включают процентные платежи). Пусть средства в фонд вносятся только по­ следние четыре года, остальные условия сохраняются. Тогда

„ 100 100

*4» = 552425 =

План формирования такого фонда (в тыс. руб .) представлен в таблице.

187

	Год	Проценты		Взносы		Расходы		Накопления
						по займу		(на конец срока)1
	1
		10	ООО		—	10 000			—
	2	10	000	18	102	28	102	32	8 71
	3	10	000	18	102	28	102	26 943
	4	10	000	18	102	28	102	22	084
	5	10	000	18	102	28	102	18	102
								100 000
	1 С у м м а взн о са с п ро ц ентам и			на ко н е ц с р ока .

Формулы (9.2) и (9.3) получены для ежегодных взносов и на­ числений процентов. Если это не так, то применяются соответ­ ствующие методы расчета процентов и сумм взносов в фонд (см. следующий пример).

П Р И М Е Р 9 .3 . Внесем еще одно изменение в условия примера 9 .1 . Пусть взносы вносятся не ежегодно, а в конце каждого меся­ ца, т .е . р = 12 . Проценты выплачиваются кредитору ежегодно. К о ­ эффициент наращения в этом случае равен S (' 2’ (C M . 5.8). Годовая сумма взносов в фонд составит ''

Изменяющиеся взносы. Равные взносы в фонд — простое, но далеко не единственное решение проблемы накопления необ­ ходимой суммы денег. В зависимости от конкретных условий могут оказаться предпочтительными изменяющиеся во времени суммы взносов. В таких случаях следует воспользоваться ре­ зультатами, полученными для переменных рент (см. гл. 6). Ог­ раничимся примером, когда взносы в фонд следуют арифмети­ ческой прогрессии. Срочные уплаты в рассматриваемых усло­ виях изменяются во времени:

Y ^ D g + R , ,

где Rt = R+ a(t— 1), t = 1,..., N.

Разность прогрессии равна а, первый член — R. Последняя величина определяется следующим образом:

188

П Р И М Е Р 9 .4 . В фонд погашения долга средства поступают в ви­ де ежегодной ренты постнумерандо в течение 5 лет (срок пога­ шения долга). Платежи каждый раз увеличиваются на 500 тыс. руб. Пусть размер долга на момент его погашения равен 10 млн р у б ., на взносы начисляются проценты по ставке 10% годовых. Для разработки плана создания фонда определим величину пер­ вого взноса. Предварительно находим s 5;10 = 6 ,2 0 5 1;

1	1,15 - (1	+ 5 х 0,1)
R = 6 ,10 5 1 10000 - 500	0,12			= 73 2 ,9 1 тыс. руб .
Откуда
R, = 7 3 1,9 1	+ 5 0 0 ( t-	1);	f = 1	........5.

Динамика расходов должника при условии, что кредитору вы­ плачивается 9 ,5 % , показана в таблице. В ней, в отличие от табли­ цы примера 9 .2 , в последней графе показаны суммарные (куму­ лятивные) накопления, которые определены по рекуррентной формуле (9 .4).

	Год	Проценты	Взносы		Расходы	Накопления
					по займу	на конец года
	1		73 2	,9 1
		950			1682,91	73 2 ,9 1
	2	950	1232,91		218 2,9 1	2039,11
	3	950	173 2	,9 1	2682,91	3975,93
	4	950	2232,91		3 18 2,9 1	6606,44
	5	950	2 73 2	,9 1	3682,91	10000,00

Если взносы в данном примере представляют собой убываю­ щую арифметическую проф ессию , допустим а = -5 0 0 , то первый

взнос составит
R =	1	1 .1 s - (1 + 5 х 0 ,1)
	10000 + 500	= 2543,04 тыс. руб.
	6 ,10 5 1	0,01

§9.3. Погашение долга в рассрочку

В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, долг обычно погашает­ ся в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называ­ ют амортизацией долга. Он осуществляется различными спосо­ бами:

—погашением основного долга равными суммами (равными долями),

189

—погашением всей задолженности равными или перемен­ ными суммами по обслуживанию долга.

Погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение п лет. В этом случае сумма, еже­ годно идущая на его погашение, составит

D d = ~п.

Размер долга последовательно сокращается: D, D — d, D —2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачивае­ мые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Пусть для простоты проценты выплачиваются раз в конце года по ставке g. Тогда за первый год и последующие годы они рав­ ны Dg, (D — d)g, (D — 2d)g и т.д. Процентные платежи, как ви­ дим, образуют убывающую арифметическую прогрессию с пер­ вым членом Dg и разностью -dg.

Срочная уплата в конце первого года находится как

Г, = Dg + d.

Для конца года 1находим

V ^ D ^ g + d , t=\, ... ,n,

(9.6)

где D, — остаток долга на конец года /.

Остаток долга можно определять последовательно:

'П

Если долг погашается р раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:

Dt-\8 А)

...<” >

Остаток задолженности на конец года t в этом случае соста­

вит

рп — 1

Dt = Ям	рп

190