Менеджмент.Финансовая математика

Норма — ставка начисляемых процентов за период, Кпер — число периодов,

Выплата — член ренты; показывается с отрицательным знаком, БС — единовременный взнос в конце срока, показывает­

ся с отрицательным знаком. Если эта величина не указы­ вается, то результат — современная стоимость постоянной ренты, Тип — вид ренты, указать 0 для ренты постнумерандо и 1

— для ренты пренумерандо. Если вид ренты не указывает­ ся, то расчет ведется для ренты постнумерандо.

После выполнения действий 1—2 в итоговой строке Значе­ ние автоматически показывается расчетная величина. После на­ жатия кнопки ОК эта величина показывается в выделенной ячейке таблицы Excel.

П Р И М Е Р 5 . 1 1 .	Параметры ренты пренумерандо: Я = 100 (годо­
вая выплата), л	= 5, р = т = 2. Общ ее число платежей — 10 ,

ставка за полугодие 6 % . Введем параметры в окошко програм ­ мы П З :

Норма: 6 % , Кпер: 10 , Выплата: -5 0 , Тип: 1, Ответ: 390,085.

Рента /ьсрочная (р * т). Сумма членов соответствующей прогрессии составит

i -	0 + j / m )	-
/>[0	+ j/m r'r -	1] " « « a w	1 1

Ренты с непрерывным начислением процентов. Пусть, как и выше, ряд состоит из ежегодных платежей, равных R, однако проценты начисляются непрерывно, сила роста равна 6. При дисконтировании по этой ставке всех членов ряда получим геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменате­ лем е~6. Сумма членов прогрессии находится следующим об­ разом:

1 -	е~Ьп	(5.21)
* =	=

ill

Если имеет место р-срочная рента с непрерывным начисле­

нием процентов, то
1 —е~Ьп			(5-22)
А = R— гтГп— ГГ =		я;б
p (tf>/p -	J )		v	>
П Р И М Е Р 5 . 1 2 . Для условий примера 5.9 при 6 = 0, 185 находим
•| _ в - 0 . 1 8 5 « 5
А = 4 е о ,1 8 5 _ 1 --------=	1 1 >8 7 8	М Л Н	Р У б -

Сравнение современных стоимостей рент постнумерандо с раз­ ными условиями. Как следует из приведенных примеров, вели­ чина современной стоимости заметно зависит от условий нара­ щения процентов (точнее, дисконтирования) и частоты выплат в пределах года. Ниже приводятся соотношения современных стоимостей соответствующих рент. Современные стоимости обозначены как А(р;т), причем запись А( 1;1) означает годовую ренту с ежегодным начислением процентов, А(р; <*>) относится к р-срочной ренте с непрерывным начислением процентов.

Для одних и тех же годовых сумм выплат и процентных ста­ вок (/ =у = б) получим следующие неравенства:

А( 1;») < А( 1 ;да) < А( 1;1) < А(р;°о) < А(р;т) < А(р;т) < А(р;т) < А(р; 1). т>р>\ р=т> 1 р>т>1

Из приведенных неравенств, в частности, следует, что рента с условиями р = 4 и т = 2 имеет меньшую современную стои­ мость, чем рента с р = 2 и / я = 4.

Зависимость между наращенной и современной стоимостью ренты. В § 5.2 была показана зависимость между А и S произ­ вольного потока платежей (см (5.3)). Для годовых и /^срочных постоянных рент постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим

1	- (1 + 0""	J	(1 + 0" ~ 1
А(\ + /)л = R—— — (1 + 0" = Я ------------			= S. (5.23)

Аналогичным образом получим

Svn = А.

112

Для рент с начислением процентов т раз в году имеем

А( 1	+ j/m )mn = S,	(5.24)
5(1	+ j/m)~mn = А.	(5.25)

Нетрудно догадаться, что в аналогичнойзависимости нахо­ дятся икоэффициенты наращения и приведения. Вчастности,

	+ 0" = V			= ап...
П Р И М Е Р 5 . 1 3 . Найдем			современную стоимость для варианта
ренты р = m = 4 , взяв за основу S				= 3 1,78 5 (см. пример 5.6). По
формуле (5 .24) получим
А —3 1,78 5	(		0, 18 5 V 20
		1 + — ~ — I		= 12,868 млн руб.

§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо

Как было показано выше, постоянная рента описывается на­ бором основных параметров — R, п, / и дополнительными па­ раметрами р, т. Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик — S или А, и необхо­ димо рассчитать значение недостающего параметра.

Определение размера члена ренты. Исходные условия: задает­ ся S или Аи набор параметров, кромеR. Например, за обусло­ вленное число летнеобходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, по­ стнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обра­ тившись к (5.6), получим

К = ~Г-	(5.26)
и,7

Пусть теперь условиями договора задана современная стои­ мость ренты. Если рента годовая (т = 1), то из (5.14) следует

R = — .

(5.27)

113

Таким образом, если ставится задача накопить за определен­ ный срок некоторую сумму 5, то прибегают к формуле (5.26), если же речь идет о погашении задолженности в сумме А, то следует воспользоваться (5.27).

Аналогичным образом можно определить R и для других ус­ ловий ренты.

П Р И М Е Р 5 . 1 4 . Известно, что принц Чарльз при разводе с Д иа­ ной выплатил последней 1 7 млн ф .ст. Как сообщалось, эта сумма была определена в расчете на то, что принцесса проживет еще 50 лет (увы, это не сбылось). Указанную сумму можно рассматривать как современную стоимость постоянной ренты. Определим раз­ мер члена этой ренты при условии, что процентная ставка равна 10 % , а выплаты производятся помесячно.

П о условиям задачи А = 1 7 млн ф .с т., п = 50, р = 12 , / = 10 % . Для ренты постнумерандо с указанными параметрами можно за­ писать

1 _	1 1 - 5 0
17 000 =яа™, =я 12),	1, 1.1VH.

Ежемесячная выплата составит Я/ 12 = 135,6 тыс. ф .ст.

Расчет срока ренты. При разработке условий контракта ино­ гда возникает необходимость в определении срока ренты и, со­ ответственно, числа членов ренты. Решая полученные выше выражения, определяющие S или А, относительно п, получим искомые величины. Так, для годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим

1п(1 + 0 ’ П 1п(1 + /) '

Аналогичным образом определим сроки и для других видов рент. Сводка формул, полученных для различных рент постну­ мерандо с дискретным начислением процентов, приведена в табл. 5.1.

Все приведенные выше формулы для определения п, разуме­ ется, пригодны и в случаях, когда заданными являются коэф­ фициенты приведения или наращения рент, поскольку an j = = A/R, sn;i. = S/R и т.д.

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты.

114

Количество Количество платежей начислений

т = 1

Р = 1

т > 1

т = 1

Р > 1

т —р

т * р

Формулы для расчета срока постоянных рент постнумеравдо											Таблица 5.1
		S			Исходные параметры				A
	1 п ф	+	1)		(5.28)		ln(l	- - £ / ) - •			(5.29)
н ~	1п(1 +		/)			" ~	ln(l		+	i)
1 п { - § [ ( 1 + . / / * > " - 1 1				+	1}	ln{l -^-[(1		+ j / m r -			1]}-'
П	mln(l	+ j/m)			(5.30)	П	mln(l		+ j/m)		(5 .31)
1п{^/>[(1 +		l)V , - 1] +			1}	ln{l - j P l d			+	o l/p -	ЧГ1
" ~	ln(l	+	/)		(5.32)	n ~	ln(l		+	/)	(5.33)
	In Ф	+	1 )					I		7
П	/nln(l	+ j/m)			(5.34)		/я1п(1		+ j/m)		(5.35)
Щ - j P l d + j/ m T / P -				1]	+ 1}	I n i l - j p l d		+ j/m )"/P -			I ] } - 1
П	mln(l	+ j/m)			■ (5.36)	n	mln(l		+ j/m)		(5.37)

1.Расчетные значения срока будут, как правило, дробные. В этих случаях для годовой ренты в качестве п часто удобно при­ нять ближайшее целое число лет. У р-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого число периодов пр. Напри­ мер, пусть для квартальной ренты получено п = 6,28 лет, отку­ да пр = 25,12 кварталов. Округляем до 25, в этом случае п = 6,25 лет.

2.Если округление расчетного срока производится до мень­

шего целого числа, то наращенная сумма или современная сто­ имость ренты с таким сроком оказывается меньше заданных размеров. Возникает необходимость в соответствующей ком­ пенсации. Например, если речь идет о погашении задолженно­ сти путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующим платежом в начале или конце срока, или с помощью повышения суммы члена ренты.

Обсудим еще одну проблему, связанную со сроком ренты. Пусть А — текущее значение долга. Если он погашается с по­ мощью постоянной ренты, то из (5.14) следует, что долг может быть погашен за конечное число лет только при условии, что R > Ai. Аналогичные неравенства можно найти и для других ви­ дов рент. Если условия ренты таковы, что имеет место равенст­ во, например, R = Ai, то п = », т.е. рента окажется вечной и долг практически не может быть погашен.

П Р И М Е Р 5 .1 5 . Какой необходим срок для накопления 100 млн руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн руб, а на накопле­ ния начисляются проценты по ставке 25% годовых?

Имеем Я =	12 , / =	2 5 % . П о формуле (5.32) находим
In	100	12 ( 1 ,2 5 1/12 - 1) + 1
п =	12	= 4 ,73 5 6 года.
		In 1,2 5

Если срок округляется до 5 лет, то необходимо несколько уменьшить размер члена ренты, т .е . найти член ренты для л = 5. В этом случае ежемесячный взнос должен составить 9 14 ,7 9 тыс. руб. (см. (5 .26)).

Определение размера процентной ставки. Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) соответствующей финансово-банковской или коммерческой операции. Заметим, что расчет процентной ставки по осталь-

116

ным параметрам ренты не так прост, как это может показать­ ся на первый взгляд. В простейшем случае задача ставится сле­ дующим образом: решить уравнения (5.4) или (5.14) относи­ тельно /. Нетрудно убедиться в том, что алгебраического реше­ ния нет. Для получения искомой величины раньше прибегали к линейной интерполяции или какому-либо итерационному методу. В современных условиях для определения ставки по за­ данным параметрам постоянной ренты удобно воспользовать­ ся пакетом Excel — программа НОРМА (Rate). Однако эта про­ грамма не позволяет определить ставку для переменных и не­ прерывных рент, в связи с чем для решения задачи следует прибегнуть к методу Ньютона—Рафсона или методу секущей (см. Математическое приложение к гл. 6). Что касается обще­ го потока платежей, то в пакете Excel имеется программа рас­ чета ставки для произвольного потока с равными интервалами между платежами постнумерандо. Эту программу мы приме­ ним в гл. 12 при расчете внутренней нормы доходности ВНДОХ (1RR).

В методических целях, вероятно, целесообразно начать с линейной интерполяции. По заданным R и S, или R и А, на­ ходят значения коэффициентов наращения или приведения ренты:

s„u = S / R; ап.; = А / R.

Для оценки / применяется следующая интерполяционная формула:

' = '/ + a -	a (‘d ~ '/)>	(5-38)
ad	"/

где ad и а, — табличные значения коэффициентов наращения или приведения рент для верхнего и нижнего уровня ставок (id, /,), а — значение коэффициента наращения или приведения, для которого определяется размер ставки.

На рис. 5.3 и 5.4 изображены зависимости соответствующих коэффициентов от размера процентной ставки, а также интер­ поляционные оценки и точные ее значения. Первые обозначе­ ны как /, вторые как /".

Как видно из рисунков, оценки размера процентной ставки несколько отличаются от точных значений этой величины, при­ чем, если за основу взят коэффициент приведения, то оценка оказывается завышенной. В свою очередь оценка / по коэффи-

117

циенту наращения меньше точного значения. Чем меньше диа­ пазон /,+ ij, тем точнее оценка процентной ставки.

Применим теперь для расчета ставки программу НОРМА (Rate) пакета Excel.

Последовательность действий при использовании программы НОРМА

1.Вызвать: fx, "финансовые функции”, НОРМА.

2.Ввести данные, характеризующие ренту:

встроке Кпер — число периодов,

встроке Выплата — размер члена ренты с отрицательным знаком,

встроке НЗ — современную стоимость ренты (A<Rn) или

встроке БС показать наращенную сумму ренты в конце ее срока (S>Rn),

встроке Тип указать вид ренты: 0 — для ренты постнуме­ рандо и 1 — для ренты пренумерандо. Если вид ренты не указывается, то расчет ведется для ренты постнумерандо.

После выполнения действий 1—2 в итоговой строке Значе­ ние автоматически показывается расчетная величина ставки за период в виде десятичной дроби. После нажатия кнопки ОК эта величина показывается в процентах в выделенной ячейке таб­ лицы Excel.

П Р И М Е Р 5 .1 6 . Допустим, предполагается путем ежегодных взно­ сов постнумерандо по 100 млн руб. в течение 7 лет создать фонд в размере 1 млрд руб. Какова должна быть годовая процентная ставка?

118

Определим исходный коэффициент наращения: s7;/ = 1000/100 = = 10. Для начала предположим, что искомая процентная ставка на­ ходится в интервале 11 —12 % . Для этих значений ставки находим коэффициенты наращения: ad= Sj.^ = 10,08901; а; = s7;11 = 9 ,78 3 2 7.

Откуда
/ = 0 ,1 1 +	10 -	9 ,78 3 2 7	(0 ,12 " 0 ,1 1 ) =	0 ,11 7 0 9 ,
	10,08901	- 9 ,78 3 2 7
		или 1 1,7 0 9	% .
Проверка: по	формуле (5.5) находим: s7;11 70g =			9,999. Таким

образом, найденное значение ставки обеспечивает выполнение поставленных условий почти точно. Если точность ответа не уст­

раивает, то следует сузить интервал между ставками /; и id. Решим теперь эту же задачу, но с помощью Excel.

После вызова программы Н О Р М А вводим в окошко значения:

Кпер: 7 , Выплата: -1 0 0 , Б С : 1000, Тип: 0,

Ответ: 0 ,1 1 7 1 2 1 4 4 3 .

§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент

Кратко рассмотрим методики расчета наращенных сумм и современных стоимостей для некоторых разновидностей дис­ кретных постоянных рент. Постоянные ренты с непрерывным поступлением платежей рассматриваются в гл. 6.

Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов. Напомним, что под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Легко понять, что каждый член такой ренты “работает” на один период больше, чем в ренте по­ стнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее здесь как S, больше в (1 + /) раз аналогичной рен­ ты постнумерандо:

S = 5(1 + О-

Коэффициент наращения годовой ренты пренумерандо

+	<5 - 3 9 >

119

Аналогичным путем получим для годовой ренты с начисле­ нием процентов т раз в году

S = 5(1 + j/m)m.

Для /^-срочных рент, у которых т = 1 и т * р, получим:

S = 5(1 + /)'//>,

S = S( 1 + j/m)m/P.

Точно такая же зависимость наблюдается и между современ­ ными стоимостями и коэффициентами приведения рент пост­ нумерандо и пренумерандо:

А = А( 1 + /); an;i = an;i(1 + /) и т.д.

Важной для практики является рента с платежами в середи­ не периодов. Например, в случаях, когда поступления от произ­ водственных инвестиций распределяются более или менее рав­ номерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым сме­ шениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступле­ ний за период относить к середине периодов. Наращенные сум­ мы и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнуме­ рандо на множитель наращения за половину периода. Так, для современных стоимостей находим следующие соотношения:

Ащ = А( 1 + /)|/2 при р = 1, т = 1,
A\j2 = Л(1 + i)x/2p	при р > 1, т = 1,
А\/г ~ Л(1 + j/m)m/2	при р = 1, т > 1,
Ащ ~ Л(1 +j/m)m/2P	при р > 1, т > 1.
П Р И М Е Р 5 . 1 7 . Определим поправочный множитель, необходи­

мый для расчета современной стоимости ренты с платежами в середине периодов. Условия ренты постнумерандо: р = 12 , т = 1, / = 10%. Искомый множитель 1,11/2x12 = 1,00398.

120