Менеджмент.Финансовая математика

§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерыв­ ное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе ин­ вестиционных решений, в финансовом проектировании. С по­ мощью непрерывных процентов удается учесть сложные зако­ номерности процесса наращения, например использовать изме­ няющиеся по определенному закону процентные ставки.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста (force of interest). Сила ро­ ста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть по­ стоянной или изменяться во времени.

Постоянная сила роста. Как было показано выше, при дис­ кретном начислении процентов т раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

Чем больше т, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. В пределе при т -*<» имеем

где е — основание натуральных логарифмов.

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискрет­ ной, обозначим силу роста как д. Теперь можно записать

S = РеЬп.

(3.26)

Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная :умма равна конечной величине, зависящей от первоначальной :уммы, срока наращения и силы роста. Последняя представлягт собой номинальную ставку сложных процентов при т-*оо

61

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки нара­ щения находятся в функциональной зависимости. Из равенст­ ва множителей наращения

	следует:	(1 + 0 " = е6п
		6 = 1п(1 + 0,	(3.27)
		1.	(3.28)
	П Р И М Е Р 3 .1 6 .	Сумм а, на которую начисляются	непрерывные
	проценты, равна 2 млн р уб ., сила роста 10 % , срок		5 лет. Нара­
	щенная сумма составит
	S	= 2 ООО ООО х е° '1х5 = 3 2 9 774 4 ,2 5 руб.

Непрерывное наращение по ставке = 10 % равнозначно нара­ щению за тот же срок дискретных сложных процентов по годовой ставке. Находим

/ = в0.1 _ 1 = 0 ,1 0 5 1 7 .

В итоге получим

S = 2 ООО 000(1 + 0 .10 5 17 )5 = 3 2 9 774 4 ,2 5 руб.

Дисконтный можитель на основе силы роста (математиче­ ское дисконтирование) находится элементарно, для этого ре­ шим (3.26) относительно Р:

Р = Se~bn.

(3.29)

Дисконтный множитель, как видим, равен е~Ьп.

П Р И М Е Р 3 . 1 7 . Определим современную стоимость платежа из примера 3 .11 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12 % и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера. Получим в тыс. р уб .:

р = 5000 в"0-12 *5 = 2 74 4 ,

Р = 5000(1 - 0,12)5 = 2639.

Переменная сила роста. Пусть сила роста изменяется во вре­ мени, следуя некоторому закону, представленному в виде не­

62

прерывной функции времени: 6, = /(/). Тогда наращенная сум­ ма и современная величина определяются как

ин

Функция времени может быть самого различного вида. Рас­ смотрим только два ее варианта — линейную и экспоненциаль­ ную. Начнем с линейной функции:

6, - б + at,

где 6 — начальное значение силы роста, а — прирост силы ро­ ста в единицу времени.

Нетрудно доказать, что

Таким образом, множитель наращения находится как

(3.30)

П Р И М Е Р 3 .1 8 . Пусть начальное значение силы роста равно 8% , процентная ставка непрерывно и линейно изменяется, прирост за год составляет 2 % (а = 0,02). Срок наращения 5 лет. Для расче­ та множителя наращения (3.30) найдем его степень:

0 ,0 2 х 52 0,08 х 5 + - 1— -------- = 0 ,65 .

Искомый множитель составит q = е0'65 = 1,9 15 5 4 .

Продолжим пример. Предположим, что сила роста линейно уменьшается (пусть а = -0 ,0 2 ) . В этом случае степень множителя равна 0 ,15 и соответственно q = е0-15 = 1,16 18 3 .

Рассмотрим ситуацию, когда сила роста изменяется экспо­ ненциально (по геометрической прогрессии):

Ь=Ьа>,

где б — начальное значение силы роста, а — постоянный темп роста.

63

В этом случае степень множителя равна

Iм'■iihl"'’)■

а сам множитель находится как1
— М	(3.31)
Я - е ' па

П Р И М Е Р 3 .1 9 . Начальный уровень силы роста 8 % , процентная ставка непрерывно и экспоненциально увеличивается (годовой прирост 2 0 % , а = 1 ,2 ), срок наращения 5 лет. Необходимо опре­ делить множитель наращения. Степень этого множителя за весь срок равна

0,8

1п 1 2 ~ = 0,65305, соответственно q = в0-65305 = 1,9 2 13 9 .

Срок ссуды и размер силы роста. Срок ссуды при постоянной силе роста найдем на основе (3.26):

п = ' 4

При наращении с изменяющейся силой роста (с постоянным темпом роста а) на основе (3.31) получим

In 1 + 1по X1п(<? / Р)

п =■

Inа

В свою очередь при наращении с постоянной силой роста

. _ In( S / P )

п

При наращении с изменяющейся с постоянным темпом си­ лой роста

1па х 1п(<У/ Р)

6 =■

ап - 1

1См. Математическое приложение к главе.

64

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (3.31)

fba'dt

Определим степень множителя наращения q - е°

Jba'dt - 6 а[_	InЧ‘Ча -
Inа

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997.

2.Четыркин Е.М., Васильева Н. Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­ нансы и статистика, 1990. Гл. 2.

3.Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ производственных инвестиций. М.: ЮНИТИ, 1997. Гл. 2.

4.Cartiedge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 4

ПРОИЗВОДНЫЕ

ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ.

КРИВЫЕ доходности

§4.1. Средние процентные ставки

Если в финансовой операции размер процентной ставки из­ меняется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку по определению не изменяет резуль­ татов наращения или дисконтирования.

Начнем с простых ставок. Пусть за последовательные пери­

оды	nt, п2,..., пк начисляются простые проценты по ставкам
/,,	ik. Искомые средние получим посредством приравнива­

ния соответствующих множителей наращения друг к другу:

1 + Ni = 1 + 2 л,/' t ' '

Откуда

-2„,/,

i = — T >

<*.!>

где N = 2 « , — общий срок наращения процентов.

Найденный показатель представляет собой среднюю ариф­ метическую взвешенную с весами, равными продолжительно­ сти отдельных периодов.

Аналогичным способом определим среднюю учетную ставку:

П Р И М Е Р 4 . 1 . Контракт предусматривает переменную по перио­ дам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 % . Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному на­ ращению исходной суммы? Находим среднюю ставку:

66

0 ,2 x 2 +	0 ,2 2 x 3 + 0 ,25 x 5	= 0 ,2 3 1, или 2 3 ,1 % .
I =-	10

Если усредняются сложные переменные во времени ставки сложных процентов, то из равенства множителей наращения

( u , f . ( U /,) " ( U /2)”!...

следует

г - ' ф * / , Г(1«|»Г— 1-

<«>

Средняя в этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.

П Р И М Е Р 4 .2 . Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка, равная 15 % , для следующих трех лет она составляет 20 % . Средняя ставка за весь срок ссуды равна

/ - ^ 1 . 1 5 2 х 1,23 - 1 - 0 ,1 7 9 7 4 или 1 7 ,9 7 4 % .

Рассмотрим теперь усреднение ставок, применяемых в не­ скольких однородных операциях, которые различаются сумма­ ми ссуд и процентными ставками. Искомые средние ставки на­ ходим из условия равенства соответствующих сумм после нара­ щения процентов. Так, если применяются простые ставки и сроки этих операций одинаковы (л), то из равенства

2 / > ( 1 + л/)	= 2 > , ( 1	+ л/,)
следует
» =	■	(4.4)

Как видим, весами здесь являются суммы ссуд.

Перейдем к усреднению сложных ставок для однородных ссудных операций. Пусть сроки операций одинаковы (л). Из равенства соответствующих множителей наращения следует

67

-	^<1 »'<>•	(4.5)
1	I г,

Формулы (4.4) и (4.5) получены для частных случаев, когда сроки ссуд одинаковы. В общих случаях они, разумеется, не ра­ ботают. Однако решение соответствующих задач возможно, но более сложным путем.

§4.2. Эквивалентность процентных ставок

Как было показано ранее, для процедур наращения и дис­ контирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим теперь те их значения, которые в конкрет­ ных условиях приводят к одинаковым финансовым результа­ там. Иначе говоря, замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансо­ вых отношений сторон в рамках одной операции. Для участ­ вующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид став­ ки фигурирует в контракте. Такие ставки назовем эквивалент­ ными.

Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в гл. 3 при определении эффективной ставки процента: сложная годо­ вая ставка / эквивалентна ставке j при начислении процентов т раэ в году. Рассмотрим теперь проблему эквивалентности ставок более полно и систематизированно. В принципе соот­ ношение эквивалентности можно найти для любой пары раз­ личного вида ставок — простых и сложных, дискретных и не­ прерывных.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения. Приведем простой пример. Определим соотношение эквива­ лентности между простой и сложной ставками. Для этого при­ равняем друг к другу соответствующие множители наращения:

(1 + nis) = (1 + /)",

где is и / — ставки простых и сложных процентов.

Приведенное равенство предполагает, что начальные и нара­ щенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (см. рис. 4.1).

68

Решение приведенного выше равенства дает следующие со­ отношения эквивалентности:

(1 + О"	-	1 ,	(4.6)
п
/ - п4\ + л/ -		1.	(4.7)

Аналогичным образом определим и другие, приведенные ни­ же, соотношения эквивалентности ставок.

Эквивалентность простых процентных ставок. При выводе ис­ комых соотношений между ставкой процента и учетной ставкой следует иметь в виду, что при применении этих ставок исполь­ зуется временная база К = 360 или К = 365 дней. Если времен­ ные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множи­ телей наращения следует:

	1	- n d /	(4.8)
d$	1	+ n i'	(4.9)

где п — срок в годах, /5 — ставка простых процентов, ds — про­ стая учетная ставка.

П Р И М Е Р 4 .3 . Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15 % . Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки? П о (4 .8) находим

's ~ i '° ’ n5ie = 0 ,1 7 6 4 7 , или 1 7 ,6 4 7 % .

I U| I о

69

Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15% за год

дает тот же доход, что и наращение по ставке 1 7 ,6 4 7 % .

Следует обратить внимание на то, что отношения эквива­ лентности между простыми ставками is и ds существенно зави­ сят от срока операции. Например, для d — 10 % находим следу­ ющие размеры эквивалентных ставок:

п (в годах)	0,1	0,5	1	2	5	10
/,(%)	10,1	10,5	11,1	12,5	20	00

Пусть срок ссуды измеряется в днях, тогда, подставив в (4.8)

и (4.9) п = t/K (напомним, что t — срок наращения процентов

вднях, К — временная база), получим варианты соотношений эквивалентности:

а) временные базы одинаковы и равны 360 дням:

		360	(4.10)
	'*	360 -
			tds ’
	-	...	(4.11)
	s	360 + tis ’

б) если при начислении процентов принята база К = 365, а для учетной ставки К = 360, то

		365*		(4.12)
	1*	360 -	tds ’
	r f -	^	.	(4.13)
	1	365 + Г//

П Р И М Е Р 4 .4 . Необходимо найти величину учетной ставки, экви­ валентной годовой процентной ставке 40 % (К= 365) при условии, что срок учета равен 255 дням. Находим по формуле (4 .13 )

360 х 0 ,4

d = 365 + 255 х 0 ,4 = ° - 30835' ИЛИ 30l835% -

70