Менеджмент.Финансовая математика

—проценты выплачиваются вместе с номиналом в конце срока;

—периодически выплачиваются проценты, а в конце срока

—номинал или выкупная цена; этот вид облигаций явля­ ется преобладающим.

Процентная ставка обычно постоянная, правда, иногда вы­ пускают облигации с “плавающей” процентной ставкой, уро­ вень которой ставится в зависимость от каких-либо внешних условий.

Облигации являются важным объектом долгосрочных инве­ стиций. С момента их эмиссии и до погашения они продаются и покупаются на кредитноденежном рынке по рыночным це­ нам. Рыночная цена в момент выпуска может быть равна номи­ налу (at par), ниже номинала, или с дисконтом (discount bond), и выше номинала, или с премией (premium bond). Нетрудно до­ гадаться, что премия — это “переплата” за будущие высокие до­ ходы, а дисконт — скидка с цены, связанная с низкими дохо­ дами от облигации.

Различают два вида рыночных цен. Облигации реализуются по так называемой грязной или полной цене (dirty, full, gross price), которая включает не только собственно цену облигации, но и сумму процентов за период после последней их выплаты и до момента продажи (accrued interest). Рыночная цена за выче­ том суммы начисленных процентов называется чистой (clean, flat price). Во всех приведенных в главе расчетах фигурирует именно эта цена.

Определенное значение имеет наличие оговорки о запрете досрочного выкупа облигации эмитентом (call protection). Нали­ чие права досрочного выкупа, естественно, снижает качество облигации, так как повышает степень неопределенности для инвестора. Более того, в случаях, когда облигация куплена с премией, досрочный ее выкуп заметно сокращает доходность инвестиции.

Поскольку номиналы у разных облигаций существенно раз­ личаются между собой (например, в США облигации выпуска­ ются с номиналами от 25 до 100 ООО долл.), то часто возникает необходимость в сопоставимом измерителе рыночных цен. Та­ ким показателем является курс (quote, quoted price). Под курсом понимают цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала:

231

* = - ^ 100,

(1 1 .1)

Jгде К — курс облигации, Р — рыночная цена, N — номинал об­ лигации.

Например, если облигация с номиналом 10 ООО руб. прода­ ется за 9700 руб., то ее курс составит 97.

Доход от облигации состоит из двух основных слагаемых:

—периодически получаемых по купонам процентов;

—разности между номиналом и ценой приобретения обли­ гации (capital gain), если последняя меньше номинала; ра­ зумеется, если облигация куплена с премией, то эта раз­ ность отрицательна (capital loss), что, естественно, сокра­ щает общий доход.

Некоторые аналитики предлагают при оценке общей эффе­ ктивности инвестиций в облигации учитывать и доход от воз­ можной реинвестиции поступлений по купонам. Однако такой доход весьма условен, так как неизвестно, по какой процентной ставке его включать в расчет, и, строго говоря, в общем случае нет большой необходимости его принимать во внимание.

Количественный анализ облигаций нацелен на:

а) расчет доходности облигаций и ряда дополнительных ха­ рактеристик,

б) определение расчетной цены облигации на любой момент ее “жизни”,

в) измерение динамики дисконта или премии по облигации.

Эти вопросы, а также принципы формирования портфеля облигаций, обсуждаются в следующих параграфах главы.

Рейтинг облигаций. Инвестиции в ценные бумаги сопряжены с определенным риском. Выделим два основных вида риска —

кредитный (credit risk) и рыночный (market risk). Под первым по­ нимают возможность отказа в выплате процентов и основной суммы долга (выкупной цены). Рыночный риск, который ино­ гда называют процентным (interest rate risk), связан с колебани­ ями рыночной цены облигации, в значительной мере определя­ емыми изменениями процентной ставки на денежно-кредитном рынке. Очевидно, что рыночный, да и кредитный риски в зна­ чительной мере связаны со сроком облигации — чем больше

232

срок, тем выше риск. Ниже мы затронем проблему измерения срока облигации под этим углом зрения.

Обратимся к кредитному риску. Очевидно, что он характе­ ризует кредитоспособность и надежность самого эмитента. По­ этому за рубежом государственные обязательства принято счи­ тать наиболее надежными, с наименьшим кредитным риском. Ценные бумаги коммерческих институтов обычно рассматрива­ ются как менее надежные, так как всегда остается некоторая ве­ роятность их банкротства.

Качество облигаций в отношении кредитного риска оцени­ вается специальными агенствами путем отнесения конкретных облигаций к той или другой категории. Такая операция называ­ ется рейтингом (raiting). В США рейтинг облигаций осуществ­ ляют ряд компаний, в том числе “Стэндарт энд Пурс” (Standart and Poor’s) и “Мудис” (Moody’s). Облигации по степени надеж­ ности выплат процентов и номинала относят к одной из девя­ ти категорий; для этого первая из названных компаний приме­ няет обозначения: AAA, АА, А, ВВВ, ВВ, В, ССС, СС, С, вто­ рая: Ааа, Аа и т.д. Наивысшими по качеству являются облига­ ции ААА. К этой категории относят бумаги с предельно высо­ кой надежностью как в отношении их выкупа, так и выплат процентов. В других странах для рейтинга облигаций применя­ ют иные обозначения и число категорий качества.

§11.2. Измерение доходности облигаций

Доходность облигаций. Доходность облигаций характеризует­ ся несколькими показателями. Различают купонную (coupon rate), текущую (current, running yield) и полную доходности (yield to maturity, redemption yield, yield).

' •'Купонная доходность определена при выпуске облигации и, следовательно, нет необходимости ее рассчитывать. Текущая доходность характеризует отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Этот параметр не учитывает второй источник дохода — получение номинала или выкупной цены в конце срока. Поэтому он непригоден при сравнении до­ ходности разных видов облигаций. Достаточно отметить, что у

\J облигаций с нулевым купоном текущая доходность равна нулю. В то же время они могут быть весьма доходными, если учиты­ вать весь срок их “жизни”.

Наиболее информативным является показатель полной до­ ходности, который учитывает оба источника дохода. Именно

233

этот показатель пригоден для сравнения доходности инвести­ ций в облигации и в другие ценные бумаги. Итак, полная до­ ходность или, применив старую коммерческую терминологию, ставка помещения, измеряет реальную эффективность инвести­ ций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов. Иначе говоря, начисление процентов по ставке по­ мещения на цену приобретения облигации строго эквивалент­ но выплате купонного дохода и сумме погашения облигации в конце срока.

Рассмотрим методику определения показателей доходности различных видов облигаций в той последовательности, которая принята выше при классификации облигаций по способу вы­ платы дохода.

v Облигации без обязательного погашения с периодической выпла­ той процентов. Хотя подобного вида облигации встречаются крайне редко, знакомство с ними необходимо для получения полного представления о методике измерения доходности. При анализе данного вида облигаций выплату номинала в необозри­ мом будущем во внимание не принимаем.

Введем обозначения:

-/	g — объявленная норма	годового дохода (купонная	ставка
	процента);
	/, — текущая доходность;
	/ — полная доходность (ставка помещения).
	Текущая доходность находится следующим образом:
j	/, = ^	= ^100 .	(11.2)

Если по купонам выплата производится р раз в году, каждый раз по ставке g/p, то и в этом случае на практике применяется формула (1 1 .2).

Поскольку купонный доход постоянен, то текущая доход­ ность продаваемых облигаций изменяется вместе с изменением их рыночной цены. Для владельца облигации, который уже ин­ вестировал в нее некоторые средства, эта величина постоянна.

Перейдем к полной доходности. Поскольку доход по купо­ нам является единственным источником текущих поступлений от данного вида облигации, то очевидно, что полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда выплаты по купонам ежегодные, т.е. /=/,. Если же проценты вы­

234

плачиваются раз в году, каждый раз по норме g/p , то согласно (3.8) получим

у/	/ =	1 + J. .М У		- 1 = и + -£\		- 1.	(П.З)
		Р	к
П Р И М Е Р	1 1 . 1 . Вечная рента,			приносящая 4 ,5 %		дохода, куплена
по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при
условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально
(Р = 4)?
/ = / ,=	0,045	100 =	0,05;	(	0,05 ^ 4	- 1 = 0 ,0 5 0 9 .
	^			/ = 11 +	I

Облигации без выплаты процентов. Данный вид облигации обеспечивает ее владельцу в качестве дохода разность между но­ миналом и ценой приобретения. Курс такой облигации всегда меньше 100. Для определения ставки помещения приравняем современную стоимость номинала цене приобретения:

где п — срок до выкупа облигации. После чего получим

П Р И М Е Р 1 1 . 2 . Корпорация X выпустила облигации с нулевым ку­ поном с погашением через 5 лет. Курс реализации 45 . Доход­ ность облигации на дату погашения

J -------

1 - 0 ,1 7 3 1 6 ;

5Г4е[

vloo

т.е . облигация обеспечивает инвестору 1 7 ,3 1 6 % годового дохода.

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока.

Проценты здесь начисляются за весь срок и выплачиваются од­ ной суммой (lump sum) вместе с номиналом. Купонного дохода

235

нет. Поэтому текущую доходность условно можно считать ну­ левой, поскольку соответствующие проценты получают в конце срока.

Найдем полную доходность, приравняв современную стои­ мость дохода цене облигации:

(I + * ) ■ № • " = / - или	/ 1 + * \ "	К
	j	.

Из последней формулы следует

Если курс облигации меньше 100, то / > g.

П Р И М Е Р 1 1 . 3 . Облигация, приносящая 10 % годовых относитель­ но номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения 3 года. Е с ­ ли номинал и проценты выплачиваются в конце срока, то полная доходность для инвестора составит

1,1 - 1 - 0,26956, или 26,956% . ' " V O ,65

Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Этот вид облигаций получил наибольшее распространение в современной практике. Для такой облигации можно получить все три показателя доходности — купонную, те­ кущую и полную. Текущая доходность рассчитывается по полу­ ченной выше формуле (11.2). Что касается полной доходности, то для ее определения необходимо современную стоимость всех поступлений приравнять цене облигации. Поскольку поступле­ ния по купонам представляют собой постоянную ренту постну­ мерандо, то член такой ренты равен gN, а современная ее стои­ мость составит gNan.,, если купоны оплачиваются ежегодно, и gN<№., если эти выплаты поизводятся р раз в году, каждый раз по ставке g/p. Дисконтированная величина номинала равна Nv". В итогб получим следующие равенства. Для облигации с годовы­ ми купонами

Р ш Nv" + gN ^ v' - Nv" + gNa„ i,	(11.6)
l

236

откуда

(П.7)

Для облигации с погашением купонов по полугодиям и по­ квартально часто применяют

( 11.8)

где а(%. — коэффициент приведения />-срочной ренты (р = 2 , р = 4) ’ .

Во всех приведенных формулах v" означает дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения /.

Б зарубежной практике, однако, для облигаций с полугодо­ выми и квартальными выплатами текущего дохода для дискон­ тирования применяется годовая номинальная ставка, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается рав­ ным числу раз выплат купонного дохода {р = т). Таким обра­ зом, исходное для расчета ставки помещения равенство имеет вид

гдеj — номинальная годовая ставка, рп — общее количество ку­ понных выплат, g — годовой процент выплат по купонам.

Искомые размеры ставок (/ и j) в формулах (11.8) и (11.9) не­ сопоставимы, так как получены для разных условий: ш = 1 и

т = р.

При решении приведенных выше равенств относительно не­ известной величины / или j сталкиваются с такими же пробле­ мами, что и при расчете / по заданной величине коэффициен­ та приведения ренты (см. § 5.3). Искомые значения ставки по­ мещения рассчитываются или с помощью интерполяции, или каким-либо итерационным методом. В одной из версий пакета Excel содержится программа ДОХОД (Yield) для расчета /.

Оценим / с помощью линейной интерполяции:

(11.10)

237

где /' и /" — нижнее и верхнее значения ставки помещения, ог­ раничивающие интервал, в пределах которого как ожидается на­ ходится неизвестное значение ставки, К', К" — расчетные значе­ ния курса соответственно для ставок /', /". Интервал ставок для интерполяции определяется с учетом того, что / >g при К < 100.

В финансовой литературе иногда рекомендуют метод при­ ближенной оценки, согласно которому

. g N + ( N - P ) / n	* 1	loo)7 "
‘■^FTWn	Г	^ — - <»•»»
	{	l O O j '

В этой формуле средний годовой доход от облигации соот­ носится со средней ее ценой. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерей точности оценки. Чем больше курс отличается от 100, тем больше погрешность.

П Р И М Е Р 1 1 . 4 . Облигация со сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются раз в году по норме 8 % , куплена по курсу 65.

Текущая доходность по облигации: 8/65 = 0 ,12 3 0 8 .

Для расчета полной доходности запишем исходное равенство (см . ( 1 1 .7 ) ) :

0,65 = (1 + / Г 5 + 0,08 аю .

Приближенное решение по ( 1 1 .1 1 ) дает

(10 0 + 6 5 ) / 2

Проверка: при данной величине доходности рыночный курс со ­ ставит

10Q = 1 .1 8 1 8 2 -5 + 0 ,0 8 а 5;18182 = 0,6829.

Курс заметно выше 65 — как видим, доходность занижена. Положим, что искомая ставка находится в интервале 12 ,5 + 20 % . Соответственно получим К' = 0 ,8 3 9 77 и К" = 0 ,6 4 113 . П о интерполяционным формулам находим:

8 3 ,9 77 - 65

' - 12-5 + 83,^ 7 ^ ,1 1 3 (2° - 12-5) - 19-66%-

238

Курс при такой ставке составит 6 4 ,8 7 . Расчетный курс весьма близок к рыночному, и, следовательно, данная оценка ставки точ­ нее, чем оценка 1 8 ,1 8 % . Точная величина / = 19 ,6 2 % .

Все рассмотренные выше формулы для расчета полной до­ ходности предполагают, что оценка производится на начало срока облигации или на дату выплаты процентов при условии, что проценты на эту дату уже выплачены. Для случая, когда оценка производится на момент между двумя датами выплат процентов, приведенные формулы дадут смещенные оценки, так как не учитывают накопленные проценты. Необходимо принять во внимание, что срок погашения и выплат процентов до момента оценки сокращается. Доходность в этом случае можно определить на основе следующего равенства:

где к — доля купонного периода, d — количество оставшихся купонов.

§11.3. Дополнительные сведения по измерению

доходности облигаций

Облигации с выкупной ценой, отличающейся от номинала. В

этом случае проценты начисляются на сумму номинала, а при­ рост капитала равен С - Р, где С — выкупная цена. Соответст­ венно, при оценке ставки помещения необходимо внести соот­ ветствующие коррективы в приведенные выше формулы. На­ пример, внеся коррективы в (11.6) и (11.7), получим

( 11-12)

(11.13)

а вместо (1 1 .1 1 ):

239

Ставка помещения для серийных облигаций. Общий принцип определения полной доходности и в этом случае не изменяет­ ся: рыночная цена приравнивается к сумме членов потока платежей, дисконтированных по неизвестной ставке помеще­ ния. Однако число этих членов меняется от серии к серии. В связи со сказанным в расчет обычно берется то число членов потока, которое находится в интервале от начала до среднего ее срока, метод расчета последнего рассмотрен в § 11.4 (см. (11.19)).

Сравнение показателей доходности облигаций. Нетрудно уста­ новить, что соотношения между характеристиками доходности зависят от курса облигации. Так, для облигаций, у которых К < < 100, находим g < it < i < и наоборот, если К > 100, то g > > /, > / > Г. Наконец, если курс равен 100, то все показатели до­ ходности равны купонному доходу при ежегодной его выплате.

Динамика показателей доходности в зависимости от курса показана на рис. 11.1

100	>
	Курс

Рис. 11.1

Доходность облигаций с учетом налогов. До сих пор мы не принимали во внимание налоги на доходы, которые приносят облигации. Отсутствие развитого пакета законов о налогообло­ жении доходов от ценных бумаг не позволяет при обсуждении этой проблемы исходить из отечественной практики. Во многих странах ставки налога на доход дифференцированы по видам

240