Менеджмент.Финансовая математика

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсрочен­ ной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется на­ чать спустя обусловленный срок (льготный период). Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине нара­ щенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты.

Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого на­ чального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна А. Современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет очевидно равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой рен­ ты находим

,А = Av' = Raniv',

(5.40)

где ,А — современная стоимость отложенной на / лет ренты.

П Р И М Е Р 5 .1 8 . Пусть в примере 5 .9 рента выплачивается не сра­ зу, а спустя 1,5 года после момента оценки. Современная стои­ мость отложенной ренты составит

12,368 х 1 ,1 85-1 *5 = 9,588 млн руб.

Современная стоимость отложенной ренты используется при решении целого ряда задач, чаще всего в расчетах, связанных с выплатами различного рода накоплений. Для иллюстрации об­ судим одну из подобных задач. Пусть годовая ограниченная рента постнумерандо делится во времени между двумя участни­ ками (например, речь идет о передаче собственности). Рента имеет параметры: R, п. Условия деления: а) каждый участник получает 50% капитализированной стоимости ренты; б) рента выплачивается последовательно — сначала первому участнику, затем второму.

Решение задачи сводится к расчету срока получения ренты первым участником, обозначим его как л,. В оставшийся срок деньги получает второй участник. Таким образом, первый уча­ стник получает немедленную ренту, второй — отложенную. Из принятых условий деления ренты следует:

A ,-„ A 2; Ra„iU - Rani.,vn' .

121

Учитывая, что п2 = п — nv находим:

/

/

После ряда преобразований получим

- 1п{[1 + (1	+ 0 ~”]/2}
п	+ О
1п (1

Результат зависит только от общего срока ренты и процент­ ной ставки, которая учитывается в расчете.

П Р И М Е Р 5 .1 9 . Срок годовой ренты постнумерандо 10 лет, / = 20 % . Пусть рента делится между двумя участниками на тех ус­ ловиях, которые были выше приняты при выводе формулы. Тогда

Доля второго участника — следующие 7 лет.

Вечная рента. Напомним, что под вечной рентой (perpetuity) понимается ряд платежей, количество которых не ограничено

— теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда есть смысл прибегнуть к такой абстракции, например, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Примером могут служить некото­ рые виды облигаций (см. гл. 11).

Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна беско­ нечно большой величине. На первый взгляд представляется бессодержательным и определение современной стоимости та­ кой ренты. Однако это далеко не так. Современная величина вечной ренты есть конечная величина, которая определяется весьма просто. Выше было показано (см. (5.15)), что при п -* « пределом для коэффициента приведения является amj = 1//. От­ куда для вечной ренты находим

Лоо	R
	(5.41)

122

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зави­ сит только от размера члена ренты и процентной ставки. Из (5.41) следует

R = A J ,

(5.42)

т.е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализирован­ ной стоимости.

Нетрудно убедиться в том, что отдаленные платежи оказыва­ ют весьма малое влияние на величину коэффициента приведе­ ния. С ростом п прирост этого показателя уменьшается (см. рис. 5.2). В силу сказанного при больших сроках ренты и высо­ ком уровне ставки для определения современной стоимости можно воспользоваться формулой (5.41) без заметной потери

точности. Например, для		ограниченной ренты при / = 20%,
п = 100 и R =	1 получим точное значение: А = 4,999999, а по
формуле (5.41) находим Ах = 5.
Для других видов рент получим:
А~ ~	, 1(, + в . / , - „		при /> > 1, m - 1;
	R	при	р = т > 1.
	Аж= —

П Р И М Е Р 5 .2 0 . Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн р уб ., выплачиваемых в конце каждого полугодия. Ка ­ питализированная стоимость такой ренты при условии, что для ее определения применена годовая ставка 25 % , составит:

К = 2(1,25°2- 1 ) = 42,361 МЛН РУ<5‘

Рента с периодом платежей, превышающим год. В анализе производственных инвестиционных проектов иногда встреча­ ются с рентами, члены которых выплачиваются с интервалами, превышающими год. Определим наращенную сумму и совре­ менную стоимость таких рент.

Пусть г — временной интервал между двумя членами ренты, проценты начисляются раз в году. В этом случае современная стоимость первого платежа составит на начало ренты величину 7Vr, второго — Tv2*, последнего члена — Tv", где Т — величи­ на члена ренты, п — срок ренты, кратный г. Последователь­

123

ность дисконтированных платежей представляет собой геомет­ рическую прогрессию с первым членом Tvr, знаменателем vr и числом членов п/r. Сумма членов такой прогрессии при усло­ вии, что Т= 1, равна:

vr(»M - 1	| -	(1 +	[)-п	an;i
аШ v vr — 1	(1	+ i f -	1	sri •	(	)

Разумеется, указанное в формуле соотношение коэффициен­ тов приведения и наращения можно использовать в случаях, когда г — целое число лет.

П Р И М Е Р 5 .2 1 . Сравниваются два варианта строительства неко­ торого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млн руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млн руб. каж­ дые 5 лет. Для второго затраты на создание равны 7 млн руб ., на капитальный ремонт — 0 ,4 млн руб. ка)кдые 10 лет. Временной го ­ ризонт, учитываемый в расчете, — 50 лет.

Капитализированная сумма затрат при условии, что / = 10 % , оценивается для каждого варианта в следующих размерах:

Л , = 6 + —	=	7 ,3	млн р уб .,
® 5 ;1 0
А2 = 7 + as° :1°	=	7 ,2 5	млн руб.
* 10.10

Таким образом, в финансовом отношении варианты оказыва­ ются равноценными при принятом уровне процентной ставки. Чем ставка выше, тем меньше влияют на результат затраты на ремонт. Так, если сравнение производится при ставке 2 0 % , то получим Л , = 6,39 , А2 = 7,0 5 .

Переменная процентная ставка. На практике иногда сталки­ ваются с потоками платежей, предполагающих применение пе­ ременных во времени процентных ставок, например, при рест­ руктурировании задолженности. Так, в последнем случае для облегчения положения должника применяются низкие ставки в первые годы выплат процентных платежей и более высокие в последующие (см. § 9.5).

Изменения размеров ставок могут быть какими угодно. Ес­ ли же эти изменения “ступенчатые”, то при определении нара­ щенной суммы и современной стоимости постоянной ренты резонно применить стандартные формулы. Пусть для постоян­

124

ной ренты постнумерандо со сроком 10 лет предусматриваются два уровня процентной ставки, применяемые по пятилетиям. В этом случае

S - + /2) + RSs;i2>

А - Ras.ti + Ra$;i2[l + t) J .

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Четыркин E.M. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 4, 5.

2.Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­ нансы и статистика, 1990. Гл. 3, 4.

3.Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 6

ПЕРЕМЕННЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ.

КОНВЕРСИЯ РЕНТ

§6.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда размеры членов пото­ ка платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продук­ ции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем та­ кого потока является переменная рента. Члены переменной рен­ ты изменяются по каким-то установленным (принятым, огово­ ренным и т.д.) законам или условиям развития.

Ниже рассматриваются несколько видов переменных рент, причем с меньшей детальностью, чем были обсуждены посто­ янные ренты. Основное внимание уделено принципиальным зависимостям, знание которых позволяет разработать расчет­ ные формулы для любых конкретных видов переменных рент.

Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во време­ ни. Изменения размеров членов ренты происходят здесь соглас­ но арифметической прогрессии с первым членом R и разностью а, иначе говоря, они образуют последовательность

R, R + a, R + 2а,..., R + (п — \)а.

Величина /-го члена ренты равна R + (t - 1 )а.

Определим наращенную сумму такой ренты. Для ренты го­ довой постнумерандо получим1:

(6. 1)

где v — дисконтный множитель по ставке /.

>Доказательство приведено в Математическом приложении к главе.

126

Напомним, что an.t — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что в приведенной записи результат представляет собой современ­ ную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за выче­ том поправочной величины nav" / i.

Наращенную сумму ренты легко получить, умножив форму­ лу (6.1) на (1 + /)я. После чего

па

(6.2)

5 =

s

+

7

h

'

-

-

Определим теперь влияние на современную стоимость рен­ ты абсолютного прироста платежей. Для этого преобразуем

(6. 1):

А =	а„., — /IV"	(6.3)
	+ - ^ " 7 ------«•

Данная формула показывает, что А линейно зависит от а. Аналогичным образом на основе (6.2) получим линейную зави­ симость для S:

S = Rsn.,+

(6.4)

Формулы (6.1) и (6.2) и их преобразования (6.3) и (6.4) по­ лучены для рент постнумерандо. В свою очередь для рент пре­ нумерандо находим

А =		f	nav"
	R +		П\1	(1 + 0 =
				navи—I	(6.5)
	.		a \
	= |Л +		- U n;/------- :
			a \	na	(6.6)
		I	T r * ' -	~T(1 + ^

Напомним, что en;/, s . — коэффициенты приведения и нара­ щения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.5).

П Р И М Е Р 6 . 1 . Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн руб . После­ дующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн руб. Начис-

127

ление процентов производится по 20% годовых. Срок выплат —

10лет.

По условиям задачи Я = 15, а = 2, / = 2 0 % , п = 10 . Табличные значения коэффициентов а 10 20 = 4 ,19 2 4 72 , v i0 = 0 ,16 15 0 5 .

Применив (6 .1), получим
,	2 ______ ___	10 x 2 x 0 ,16 15 0 5 .................
	" q 2~)4 ,19 2 4 72	-----------------------------------------------------------------	— ----= 88,
Используя взаимозависимость А и S , находим
	S = 88,661	х 1 ,2 10 =	548,965 млн руб.
Или применяя (6.3) и (6 .4):
А =	аю 2о “ М х 1 .2“ 10
	15 а 10;20 + ■ №	..---------------------- 2 = 6 2 ,8 8 7 + 2 5 ,7 74 =
	= 88,661 млн руб .,
s	= 1 5 s i0;20 + Sl0:o 2 "-"		2 = 389.380 + 159,585 =
	=	548,965 млн руб.

Влияние динамики платежей здесь очевидно. Например, по ­ стоянная рента с R = 15 дает накопление в сумме около 390 млн р уб ., “вклад” прироста платежей в наращенную сумму составил почти 160 млн р уб ., или примерно 20% .

Продолжим пример . Пусть теперь рента предполагает сокра­ щение платежей по 1 млн в год. Тогда

а ю-2о “ Ю х 1 ,2 " 10
А = 1 5 а 10;20 + - 10 20	0 2-------------- ( - 1 ) = 6 2 ,8 8 7 - 12 ,8 8 7 =
	= 50 млн руб.
S = 1 5 s 10;20 + Sl0:2° ~ 10 ( - 1 ) = 389,380 - 79 ,79 3 =
=	309,557 млн руб.

Иногда при анализе переменных рент может возникнуть об­ ратная задача: определение первого члена ренты R или ее при­ роста а по всем остальным заданным параметрам ренты. На­ пример, когда известна сумма, которую нужно аккумулировать

128

за п лет, и необходимо разработать конкретный план реализа­ ции этой задачи. Получив R из (6.1) и (6.2), находим для годо­ вых рент постнумерандо:

А +	navn	а_
R =			(6.7)
S +	па	а_	(6.8)
R =
		/ '
SnU

В свою очередь, если определяется размер прироста при за­ данном R, то

(А ~ Rani)i

(6.9)

a„j ~

( S -	RsKi)i
а =	(6. 10)

Sn;i ~ П

Переменная р-срочная рента с постоянным абсолютным приро­ стом. Пусть R — базовая величина разовой выплаты, а — годо­ вой прирост выплат. В этом случае последовательные выплаты равны

R, R + - ,	R + 2 —,..., R+ (рп -	1)—.
Р	Р	Р

Отдельный член этого ряда находится как

R,= R + ( t - 1)—, t= 1, .... ,рп.

По определению для ренты постнумерандо при начислении процентов р раз в году получим

		(6.1 1 )
	рп	n - t/ p
	s - 2
		(6. 12)
	г-1

129

П Р И М Е Р 6 .2 . Ожидается, что сбыт продукции будет увеличивать­ ся в течение двух лет — каждый квартал на 25 млн руб. Первона­ чальный объем сбыта за квартал 500 млн руб. Определим нара­ щенную сумму к концу срока при условии, что деньги за продук­ цию поступают постнумерандо.

По условиям задачи R = 500, а/р =25, /' = 20%, п = 2, рп = В. Наращенная сумма к концу двух лет составит

S - [б00 + 25(f - 1)] х 1,22~f/4 - 4865 млн руб.

§6.2. Ренты с постоянным относительным

приростом платежей

Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои разме­ ры во времени с постоянным относительным ростом, т.е. сле­ дуют геометрической профессии. Поток таких платежей состо­ ит из членов R, Rq, Rep-,..., Rq"~l (q — знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту по­ стнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей состоит из величин Rv, Rqv1, ..., Rq"~lv". Получена геометрическая про­ грессия с первым членом Rv и знаменателем qv . Сумма членов этой профессии равна

qnvn -	1	(qv)n - 1	(6.13)
Л = R v --------	— = Л	------ .
q v -	1	q - ( 1 + 0

Пусть теперь q = 1 + к, где к — темп прироста платежей. После простых преобразований получим

' - ( т т т
) - к ,	•	(6Л4>
Заметим, что прирост может быть	как	положительным
(к > 0), так и отрицательным (к < 0).
Наращенная сумма ренты находится как
q" - (1 + /V
д ч о + о - л *	+ ; ~

130