Менеджмент.Финансовая математика

Эквивалентность простых и сложных ставок. Рассмотрим со­ отношения эквивалентности простых ставок is и ds, с одной стороны, и сложных ставок / и у, с другой. Сложную учетную ставку здесь не будем принимать во внимание. Попарно при­ равняв друг к другу соответствующие множители наращения, получим набор искомых соотношений.

Эквивалентность is u / . Формулы были получены выше (см. (4.6) и (4.7)).

Эквивалентность is и у:

^ _		(1	+	/ /	т)тп -	1	(4.14)
		-Н. J J . ™)-------L
j	-	т(тф			+ nis -	1).	(4.15)
Эквивалентность ds и /:
	<	-					(4 ,6 ,
	/ -		ф	- nds - 1.			(4.17)
Эквивалентность ds и у:
4	-	1	-	(1	+ j / т)тп		<4-18>
		------			п	’
j	-	т(тф			- nds - 1).		(4.19)

П Р И М Е Р 4 .5 . Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18 % (К = 365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

П о формуле (4 .7) находим эквивалентную сложную ставку:

j т580/365j-j + М о		, 1 8 - 1 - 0 ,1 7 1 5 3 , или 1 7 ,1 5 3 % .
V	365

Эквивалентность сложных ставок. Остановимся только на со­ отношениях эквивалентности для ставок /, j и d. Имеем

/= (1 + j / m ) m - 1 ,

(4.20)

71

j - m(nyj\ + i - 1).

(4.21)

Эквивалентность i и d:

d

(4.22)

(4.23)

Приведем еще несколько полезных соотношений, которые нетрудно получить на основе приведенных выше формул с уче­ том того, что v = (1 + О-1:

d = /V,	(4.24)
v = 1 —d,	(4.25)
i — d = id.	(4.26)

Заметим, что в зависимостях (4.22)—(4.26) срок не играет никакой роли.

П Р И М Е Р 4 .6 . При разработке условий контракта стороны дого­ ворились о том , что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при на­ числении процентов ежемесячно, поквартально?

j - 1 2 ( 'V l2 4 - 1) - 0 ,2 170 5 ; j - 4 ( V t 2 4 - 1) - 0 ,2 2 10 0 .

Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок.

Теоретически можно найти соотношение эквивалентности ме­ жду силой роста и любой дискретной процентной ставкой. Од­ нако в этом, вероятно, нет необходимости. Ограничимся не­ сколькими такими соотношениями, необходимость в которых может возникнуть в практических расчетах.

Эквивалентность 6 и /; см. формулы (3.27) и (3.28).

Эквивалентность 6 и j: из равенства 11 + — I	— еь следует
m
j = m(eb'm - 1 ),	(4.27)
6 = m x In (1 +y / m).	(4.28)

72

Эквивалентность д и d: из равенства (1 —d) 1 = еь следует

6 =	—Irt(1	- d),	(4.29)
d	= 1 -	<г6.	(4.30)

П Р И М Е Р 4 . 7 . Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20% ? Находим

6 = 4 х ln(1 + 0 ,2 ) = 0 ,19 5 16 , или 19 ,5 16 %

Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ста­ вок позволяют расширить применение непрерывных процен­ тов. Как уже говорилось выше, непрерывные проценты во мно­ гих сложных расчетах позволяют существенно упростить вы­ кладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому используя формулы эквивалентности, нетрудно пред­ ставить полученные результаты в виде общепринятых характе­ ристик.

§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей

Финансовая эквивалентность обязательств. На практике не­ редко возникают случаи, когда необходимо заменить одно де­ нежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (кон­ солидировать платежи) и т.п. Ясно, что такие изменения не мо­ гут быть произвольными. Неизбежно возникает вопрос о прин­ ципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финан­ совая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считают­ ся такие платежи, которые, будучи “приведенными” к одному моменту времени (focal date), оказываются равными. Приведе­ ние осуществляется путем дисконтирования (приведение к бо­ лее ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (ес­ ли эта дата относится к будущему). Если при изменении усло­ вий контракта принцип финансовой эквивалентности не со­ блюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, раз­ мер которого можно заранее определить.

73

Применение принципа финансовой эквивалентности не ог­ раничено рамками задач изменения контрактов. Он лежит в ос­ нове преобладающего числа методов количественного финан­ сового анализа.

По существу, принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р н S. Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две сум­ мы денег 5, и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или нара­ щенные) величины, рассчитанные по одной и той же процент­ ной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена 5, на S2 в этих условиях формально не изменяет отношения сто­ рон.

П Р И М Е Р 4 .8 . На принципе эквивалентности основывается срав­ нение разновременных платежей. Покажем это на примере. Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб . через 4 месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб . через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными? Так как платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку, равную, допустим, 20 % . Полу­ чим

Р ,	=	400
		-----------= 375 ,0 0 ;
	, + Т 2 0’2
Р2 =	450	= 397,06 тыс. руб.
	^ -------
1+£		0’2

Как видим, сравниваемые обязательства не являются эквива­ лентными при заданной ставке и в силу этого не м огут адекватно заменять друг друга.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от выбора ее размера. Однако, что практически весьма важно, та­ кая зависимость не столь жестка, как это может показаться на первый взгляд. Допустим, сравниваются два платежа S{ и S2 со сроками я, и п2, причем 5, < S2и л, < п2. Соотношение их со­ временных стоимостей зависит от размера процентной ставки (см. рис. 4.2).

74

С ростом / размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при / —/0 наблюдается равенство Я, = Р2. Для любой ставки / < <0 имеем Я, < Рг. Таким образом, результат сравне­ ния зависит от размера ставки, равного /0. Назовем эту ставку критической или барьерной. Подробнее о барьерных экономиче­ ских параметрах будет сказано в гл. 7. Здесь же ограничимся расчетом барьерной ставки. На основе равенства

1 + я,/0 1 + n2i0

находим

■ - f

/<>= -?--------— •

(4-31)

П Р И М Е Р 4 .9 . Для данных примера 4 .8 получим

!40°

/0 = -доо------

= О-428 - или 4 2 ,8 % .

450 Х Т 2 ~~\2

Таким образом, соотношение Р 2 > Р , справедливо при любом уровне процентной ставки, который меньше 4 2 ,8 % .

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства

75

■s.(i + /op =s2(u/op .

В итоге

Консолидирование (объединение) задолженности. Как уже бы­ ло сказано выше, принцип финансовой эквивалентности плате­ жей применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм: их объединении, изменении сроков (досроч­ ном погашении задолженности или, наоборот, пролонгирова­ нии срока) и т.п. Общий метод решения подобного рода задач заключается в разработке так называемого уравнения эквива­ лентности (equation of value), в котором сумма заменяемых пла­ тежей, приведенных к какому-либо моменту времени, прирав­ нивается к сумме платежей по новому обязательству, приведен­ ных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне-

идолгосрочных — с помощью сложных процентных ставок. За­ метим, что в простых случаях часто можно обойтись без разра­ ботки и решения уравнения эквивалентности.

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи 5,, S2,..., Sm со сроками /»,, п2,..., пт заменяются одним в сумме S0 и сроком п0. В этом случае возможны две по­ становки задачи: если задается срок п0, то находится сумма S0

инаоборот, если задана сумма консолидированного платежа So, то определяется срок я0. Рассмотрим обе постановки задачи.

Определение размера консолидированного платежа. При реше­ нии этой задачи уравнение эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда пх<п2<...<пт, искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей. Так, при применении простых процентных ставок получим

50 = 2^.(1	+ tji) + 2 ^ ( 1 + tki)~l,	(4.33)
J	It

где Sj — размеры объединяемых платежей со сроками rij < п0, Sk — размеры платежей со сроками пк > л0,

tj= n 0 - n j , tk = nk - n 0.

76

П Р И М Е Р 4 .1 0 . Два платежа 1 и 0,5 млн руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применении при конвер­ сии простой ставки, равной 20 % . Консолидированная сумма дол­ га составит

S 0 = 10 0 0 (1 + - °- 365— 0 ,2 ) + 500(1 + 200365180 0 ,2 ) =

= 15 3 2 ,8 7 тыс. руб.

Консолидацию платежей можно осуществить и на основе сложных процентных ставок. Вместо (4.33) для общего случая (л, < п0 < пт) получим

so = 2 sj(l + iT + 2 М 1+ /Г -

<4-34>

П Р И М Е Р 4 . 1 1 . Платежи в 1 и 2 млн руб. и сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консоли­ дации используется сложная ставка 20% . Искомая сумма составит

S 0 = 1000 х 1,2 0 5 + 2000 х 1 ,2 “°'5 = 2 9 2 1,18 7 тыс. руб.

Определение срока консолидированного платежа. Если при объ­ единении платежей задана величина консолидированного плате­ жа то возникает проблема определения его срока п0. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде ра­ венства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой ставки это равенство имеет вид

S0(\ + й 0/ Г ' = ^ S j (1 + / I ,./ ) - ',

откуда

1 .

(4.35)

^2 5 /1 + nji)

Очевидно, что решение может быть получено при условии, что 50 > 25).(1 + иначе говоря, размер заменяющего пла­ тежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Заметим также, что искомый срок про­ порционален величине консолидированного платежа.

77

П Р И М Е Р 4 .1 2 . Суммы в размере 10 , 20 и 15 млн руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. С торо ­ ны согласились заменить их одним платежом.

Современная стоимость заменяемых платежей (обозначим эту

величину через Р) при условии, что / = 10 %			и К = 365, составит
Р = 1 0 ( 1 + ~ 3 6 5	° ’ 1 Г 1 + 2 0 ( 1 +	" Л * ° ' 1 Г ' +	1 5 ( 1 + з И 0 ' 1 r , =
	4 3 ,8 44	млн руб.
Согласно (4.35) находим
n0 =	43^344 ” 1) = 1,4 0 4 ГОДа’ ИЛИ 5 12 ДНеЙ-

Продолжим пример. Пусть теперь размер заменяющего плате­ жа задан в сумме 45 млн руб. Тогда срок заметно сократится и станет равным 0 ,26 4 года, или 96 дням.

Перейдем к определению срока консолидированного плате­ жа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквива­ лентности запишем следующим образом

^ ( и / р . р Д и / р . j

Для упрощения дальнейшей записи примем

о -

После чего находим

2 ^ , ( 1 * > Р -

fSt

l n ( Q j

" « = I ^ T T o •

(4ВД

Как видим, решение существует, если S0 > Q. Для частного случая, когда S0 —2Ц-, при определении срока консолидирую­ щего платежа иногда вместо (4.36) применяют средний взве­ шенный срок:

Привлекательность этой формулы, помимо ее простоты, со­ стоит в том, что она не требует задания уровня процентной ставки. Однако надо помнить, что она дает приближенный ре­ зультат, который больше точного. Чем выше ставка /, тем боль­ ше погрешность решения по формуле (4.37).

П Р И М Е Р 4 .1 3 . Воспользуемся данными примера 4 .1 1 и опреде­ лим срок консолидированного платежа в сумме 3 млн руб. Точное значение срока находим по (4.36). Для этого сначала рассчитаем

О = 1 х 1 ,2 -2 + 2 х	1 ,2 -		3 = 1,8 5 18 .
После чего находим
1п(3/1,8518)	,	_
" « ---------- Ш ---------- t .		646 года.

Приближенное решение дает 2 ,6 6 7 года.

§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта

Обсудим теперь общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. Разумеется, и в таких случаях решение основы­ вается на принципе эквивалентности платежей до и после из­ менения условий. Метод решения заключается в разработке со­ ответствующего уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то по­ лучим следующие уравнения эквивалентности в общем виде:

2 5 /1 + * , / > - 2 5,(1 + я , 0 — при использовании простых процентов,

2 Sjv"J т 2 — ПРИ использовании сложных процен-

/к

тов.

Здесь Sj и rtj — параметры заменяемых платежей, Sk и пк — па­ раметры заменяющих платежей.

Конкретный вид равенства определяется содержанием конт­ рактов, поэтому методику разработки уравнений эквивалентно-

79

сти удобнее показать на примерах. Для этого рассмотрим три примера. В двух первых для дисконтирования применяются простые ставки, в последнем — сложные.

П Р И М Е Р 4 .1 4 . Две суммы 10 и 5 млн руб. должны быть вы­ плачены 1 ноября и 1 января следующего года. Стороны согласи­ лись пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачи­ вает 6 млн руб. Остаток долга гасится 1 марта. Необходимо най­ ти сумму остатка при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 20% (К = 365). Графическое изображение условий задачи приведено на рис. 4 .3 .

10

6

5

S = ?

1 н

1 д

1 я

1м

Рис. 4.3

Возьмем за базовую дату, допустим, момент выплаты 5 млн руб. Уравнение эквивалентности в этом случае выглядит следую­ щим образом:

,0 " + | ? 0’2>+ 5 - 6 (1 + - ^ 0.2) + S(1 + ^ -0 ,2 )-'.

Находим S = 9,531 млн руб.

Заметим, что изменение базовых дат приводит к некоторым, впрочем незначительным, смещениям результатов. Например, при приведении платежей к 1 марта получим следующее уравне­ ние эквивалентности:

120	59	90
10<1 + ^ °	- 2>+ 5<1 + ^ ° - 2>- 6(1 +	+ s -

Теперь S = 9,523 млн руб.

П Р И М Е Р 4 .1 5 . Имеется обязательство уплатить 10 млн руб. через 4 месяца и 7 млн руб. через 8 месяцев после некоторой да­ ты. П о новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Изменение условий осу­ ществляется с использованием простой ставки, равной 10 % (К = 360). Примем в качестве базовой даты начало отсчета вре­ мени. Уравнение эквивалентности в этом случае записывается следующим образом:

80