Менеджмент.Финансовая математика

ценных бумаг и по источнику дохода. Обычно предусматрива­ ется наименьший налог на доходы от государственных или му­ ниципальных ценных бумаг. Что касается облигаций, то нало­ гом в большинстве случаев облагается только купонный доход. Если предусматривается налог на прирост капитала, то он час­ то устанавливается по другой ставке. Уровень налоговых ставок во многих странах зависит и от категории инвестора. Напри­ мер, в некоторых странах пенсионные фонды, которые обычно являются крупными инвесторами в облигации, облагаются ми­ нимальным налогом, если вообще облагаются.

Оценка полной доходности облигаций с учетом выплачивае­ мого налога осуществляется так же, как и без учета этого фак­ тора. Отличие заключается в том, что поток платежей теперь состоит не из показателей брутто-поступлений, а из сумм чис­ того дохода.

Если прирост капитала облагается налогом, то инвестор по­ лучит в конце срока N — (N — Р)т, где т — ставка налога на прирост капитала. В свою очередь, размер получаемых процен­ тов сократится до gN( 1 —/), где / — ставка налога на проценты.

В итоге вместо исходного равенства (11.6)	получим
Р= [ N - ( N - P)m]V + gN( 1	- 1)апу,	(11.15)

где Vя дисконтный множитель по ставке у.

Найденное на основе данного равенства значение у характе­ ризует ставку помещения с учетом выплаченных налогов. Разде­ лим обе стороны равенства на N. После чего нетрудно получить

к =

М - [ ( 1 - m)vn + g(1 - l)an;yl

(11.16)

П Р И М Е Р 11.5. Вернемся к примеру 11.4 и рассчитаем ставку по­ мещения при условии, что ставка налога на купонный доход со­ ставляет 20%, а на прирост капитала — 28%. Искомую величину найдем, решив равенство

65 = 1 - 0,280+ /Г 5 10’72(< + y,' S + 0,08 " ° ’8в » 1

относительно у. Получим у = 15,53% (напомним, что без учета налога доходность — 19,62%).

241

Для иллюстрации влияния налогообложения найдем сумму дисконтированных по ставке 15,53% членов потока доходов (см. табл. 11.1).

				Таблица 11.1
	Дисконтированный поток платежей
Год	Доход	Налог	Чистый	Дисконтир.
		на доход	доход	чист, доход
1	8	1,6	6,4	5,54
2	8	1,6	6,4	4,79
3	8	1,6	6,4	4,15
4	8	1,6	6,4	3,59
5	108	11,4	96,6	46,93
И т о г о				65,00

Существует метод, который позволяет приближенно оценить полную доходность с учетом налоговых выплат, если известна ставка помещения без учета налогов:

У - g d - / ) + (/ -£)(1 - « ) •

(П.17)

П Р И М Е Р 1 1 . 6 . Для данных примера 1 1 .5 получим у - 8(1 - 0,2) + (19,62 - 8)(1 - 0,28) = 14,77%.

Напомним, что точное значение равно 15,53%.

Все приведенные здесь расчеты предполагали, что уплата на­ логов по времени совпадает с получением доходов по облига­ ции. Отсрочка в выплате налогов, естественно, увеличивает ставку помещения.

§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска

Для обоснованного выбора облигации недостаточно распо­ лагать данными об их доходности. Необходимо как-то оценить и риск. Последний, очевидно, связан со сроком облигации — чем больше срок, тем выше риск. Однако непосредственное сравнение сроков не приведет к правильным выводам, посколь­

242

ку при этом не учитываются особенности распределения дохо­ дов во времени (“профиль” поступлений доходов). Ясно, что облигации с нулевым купоном более рискованны, чем облига­ ции с периодическим выплатами процентов при одном и том же их сроке, так как все поступления происходят в конце сро­ ка. Для характеристики облигаций под этим углом зрения при­ меняют два вида средних сроков платежей. Обе средних явля­ ются взвешенными арифметическими. Отличие — в методе взвешивания. Назовем первую среднюю средним арифметиче­ ским сроком (average life), вторую, для того чтобы отличить от первой, назовем средним сроком дисконтированных платежей (duration). Рассмотрим обе средние.

Средний арифметический срок. Этот показатель обобщает сроки всех видов выплат по облигации в виде средней взвешен­ ной арифметической величины. В качестве весов берутся раз­ меры выплат. Иначе говоря, чем больше сумма выплаты, тем большее влияние на среднюю оказывает соответствующий срок. Для облигаций с ежегодной оплатой купонов и погашением но­ минала в конце срока получим

'ZtjSj	g N Z t j + n N
Т= 2 5	gNn + N ’ *J= 1,2> ",	(1U8)
j J

где T — средний срок, tj — сроки платежей по купонам в годах, Sj — сумма платежа, g — купонная норма процента, п — общий срок облигации.

Известно, что для t. =	1,2, ..., п
у	_ я(я	+ 1)
j J		2	’
поэтому вместо (11.18) можно применить
	*(Я +	1) ,	J
Т = ----------------- .				(11.19)
	g +	l / п		к	’

Очевидно, что Т < п. У облигаций с нулевым купоном Т — п. Нетрудно понять, что чем больше купонный процент, тем меньше средний срок.

243

ПРИМЕР 11.7. Найдем средний арифметический срок для двух облигаций с выплатами по купонам 5 и 10 % от номинала, срок о б ­ лигаций 10 лет. По формуле (1 1 .1 9 ) получим

0,05 х 11 , 1		0 ,1 х 11	( 1
Г ,-------- ^ --------	8.5;	Г ,--------- —	---------7,75 года.

Пусть теперь купоны оплачиваются р раз в году, например, по полугодиям или ежеквартально, тогда необходимая нам сум­ ма сроков платежей находится как

^пр(п + 1 /р )

2 ,tj = --------

, tj = \/р, 2/р, ..., п.

Теперь вместо (11.19) имеем

| < * + | / / » + 1

т‘ Т Г |

•

(,,20)

Очевидно, что переход от годовой выплаты процентов к вы­ платам по полугодиям или по кварталам несколько снижает средний арифметический срок облигации. Чем меньше средний арифметический срок, тем скорее получает отдачу от облигации ее владелец и, следовательно, меньше риск.

Несколько слов о содержании полученной средней. Предва­ рительно вспомним понятие “кредитная услуга”, под которой обычно понимают произведение суммы кредита на срок (“руб- ле-годы”). В числителе формулы (11.18) показан полный размер кредитной услуги по облигации — все ожидаемые поступления умножены на соответствующие сроки. Средний арифметиче­ ский срок указывает на момент в сроке облигации, который уравнивает размеры кредитных услуг в том смысле, что сумма кредитной услуги до среднего срока равна кредитной услуге по­ сле этого момента:

(11.21)

где /у, гк — временные интервалы от даты платежа до среднего срока (/' — платежи, производимые до среднего срока, к — по­ сле этого срока).

244

Для иллюстрации обратимся к облигации из примера 11.4 со сроком 5 лет. Ее средний срок равен 4,43 года. Размер кре­ дитной услуги на эту дату равен примерно 62. Кредитная ус­ луга для оставшегося срока равна такой же величине. Механи­ ческий аналог среднего срока — точка равновесия платежей во времени.

Средний срок дисконтированных платежей. Обсуждаемый по­ казатель также представляет собой среднюю взвешенную вели­ чину срока платежей, однако взвешивание здесь более “тон­ кое”, учитывающее временную ценность денег. В качестве та­ кого показателя, который, кстати, вытесняет в современной практике средний арифметический срок, применяют так назы­ ваемый средний срок дисконтированных платежей. Обозначим эту величину как D.

Пусть проценты выплачиваются ежегодно, тогда имеем

2 'А ’"

D - ----------.

(11.22)

Знаменатель формулы по определению равен рыночной це­ не облигации (см. (1 1 .6)). После ряда преобразований получим

f f V	/ .v'j +	V й
р -	к т	г - ^ 1-2- ■	( | | И )

Дисконтирование здесь производится по ставке помещения.

П Р И М Е Р	1 1 . 8 . Для	облигации примера 1 1 .4 ставка	помещения
(полная	доходность)	равна 19 ,6 2 % . Дисконтируем	платежи по
этой ставке.

*1	vЬ	®/	Sj/h
1	0,8360	8	6,6880	6,6880
2	0,6989	8	5 ,5 9 12	1 1,1 8 2 4
3	0,5842	8	4,6 73 6	14,0208
4	0,4884	8	3 ,9 0 72	15,6288
5	0,4083	108	44,0966	220,4828
			6 4,9 5 7	268,0028

245

Находим

Напомним, что средний арифметический срок для этой обли­ гации равен 4 ,4 3 года.

Очевидно, что для облигации	с нулевым	купоном
D = Т = п. В остальных случаях D <	Т < п. На рис.	11.2 ил­

люстрируется зависимость среднего взвешенного срока плате­ жей от общего ее срока (/ — облигации с нулевым купоном, 2 — купленные по номиналу, 3 — купленные с дисконтом, 4

— купленные с премией; по облигациям вида 2—4 предусма­ тривается выплата купонного дохода). Рассматриваемый по­ казатель увеличивается при сокращении купонного дохода, а также с падением средней ставки на рынке и ростом общего срока.

Из определения D и приведенных формул следует, что этот показатель учитывает особенности потока платежей — отдален­ ные платежи имеют меньший вес, чем более близкие к момен­ ту оценки. Заметим, что эту величину можно трактовать и как срок эквивалентной облигации с нулевым купоном.

Рис. 11.2

В примере 11.8 средний срок платежей по облигации соста­ вил 4,12 года. Это означает, что она эквивалентна займу без те­ кущей выплаты процентов с аналогичной нормой доходности (19,62%) при условии, что его срок равен 4 , 1 2 года.

Модифицированный средний срок дисконтированных плате­ жей. Средний срок дисконтированных платежей, о котором

246

только что шла речь, едва бы привлек внимание финанси- стов-аналитиков, будь он только обобщенным измерителем срока платежей. Ценность этого показателя состоит в том, что его можно использовать как меру чувствительности цены об­ лигации к незначительной динамике уровня процентной ставки на рынке. Для решения этой задачи, строго говоря, применя­ ется не величина D, а ее модификация, обозначим ее как MD (,modified duration), которую для краткости назовем модифици­ рованная средняя. Этот показатель часто называют средней Макколея:

MD = — Q -r,

(11.24)

1 + -

Р

где / — полная доходность облигации, р — количество выплат процентов в году.

Можно доказать, что MD представляет собой показатель эла­ стичности цены облигации по рыночной процентной ставке. Ина­ че говоря,

MD —— — х	. 100,
К	А/

где АК, Ai — изменения в цене и рыночной процентной ставке в %.

Из приведенного выражения следует

АК= - 0,0\MDx Кх Д/.

(11.25)

Формула (11.25) применяется в практике для оценивания ко­ лебаний в цене облигаций при незначительных (до 1 %) измене­ ниях рыночной процентной ставки.

П Р И М Е Р	1 1 . 9 .	Для облигации примера 1 1 .4 было найдено:
D = 4 ,1 2	года, / =	19 ,6 2 % . Откуда
		4 ,1 2
		MD = T T o j9 6 2 = 3,44‘

Используем полученный параметр для оценки влияния на цену облигации ожидаемого повышения рыночного процента с 19,62 до 2 0 % . Находим

247

AK = -0,01 x 3,44 x 65 x 0,38 = -0,85,

т .е . при указанном повышении ставки курс облигации составит 65 - 0,85 = 6 4 ,15 .

§11.5. Оценивание займов и облигаций

Методы оценивания. Оценивание займов представляет собой один из важнейших видов количественного финансового ана­ лиза, имеющего различные практические приложения. Пос­ кольку займы часто реализуются посредством выпуска облига­ ций, то метод их оценивания обсудим применительно к обли­ гациям, причем оценивание рассмотрим с позиции инвестора.

Оценивание заключается в определении капитализирован­ ной суммы доходов от облигации (или другого вида займа), т.е. суммы денег, которая в финансовом отношении эквивалентна этим доходам с учетом сроков их выплат. Эта сумма равна сов­ ременной стоимости доходов при некоторой заданной величи­ не процентной ставки. В зависимости от постановки задачи — это существующая или ожидаемая ставка денежного рынка, или, наконец, ставка помещения. Нетрудно убедиться в том, что оценивание облигаций является задачей, обратной опреде­ лению их полной доходности.

Конкретные методы оценивания различных видов облига­ ций рассмотрим в той последовательности, которая была при­ нята при определении их доходности.

Облигации без обязательною погашения с периодической выпла­ той процентов. Напомним, что процесс выплаты процентов здесь можно рассматривать как вечную ренту. Современная стоимость такой ренты определена в гл. 5. Согласно этой фор­ муле имеем:

Р = и К = 4 100.

Таким образом, курс такой облигации прямо пропорциона­ лен норме купонного дохода и обратно пропорционален рыноч­ ной ставке.

Если доход выплачивается р раз в году, то

Р ________ё »

/>[( 1 + iy/p - 1] к />[(1 + f)l/p - 1] 100‘

248

П Р И М Е Р 1 1 . 1 0 . Пусть некоторый источник дохода постоянно при­ носит 8% годовых. Каков расчетный курс данных инвестиций при условии, что доход будет поступать достаточно продолжительное время, а ставка помещения берется на уровне 1 2% ? Получим

8

К= — 100 = 6 6 ,6 7.

Для того чтобы обеспечить доходность на заданном уровне, курс должен быть равен расчетной величине.

Облигации без выплаты процентов (с нулевым купоном). На­ помним, что здесь один источник дохода — разность между це­ ной приобретения и номиналом, если облигация погашается по номиналу. По определению

P = N v ", tf=v"100.

Очевидно, что курс уменьшается вместе с ростом рыночной ставки и срока облигации.

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока.

Общая сумма, которую получает владелец облигации при ее по­ гашении, равна N(\ + g)n. Соответственно расчетная цена и курс при ставке помещения / составят

Из последней формулы следует, что курс определяется тре­ мя параметрами, причем влияние срока зависит от соотноше­ ния ставок g и /. Если g > /, то, как видим, с увеличением сро­ ка курс экспоненциально растет.

П Р И М Е Р 1 1 . 1 1 . Пусть текущий доход от облигации выплачивает­ ся вместе с номиналом в конце срока; л = 5, д = 8 % (начисление процентов поквартальное), / = 12 % . В этом случае

Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Напомним, что доход от таких облига-

249

ций имеет два источника — периодически получаемые процен­ ты и разность между ценой приобретения и выкупной ценой. Необходимые равенства для определения цены и курса таких облигаций были найдены выше (см. ( 1 1 .6)—( 1 1 .10)).

П Р И М Е Р 1 1 . 1 2 . Для облигации примера 1 1 .1 1 при условии, что проценты выплачиваются поквартально, находим согласно (1 1 .8 )

К =	[(1 +	0 .1 2 Г 5 + 0 ,0 8 а (4)12] 100.
...	1	- 1 ,12-5
Поскольку а 1* ' =		— — = 3 ,76 3 16 , окончательно по-
°>1*:	4(1,12,/ч - 1)

лучим К = 86,85.

Для определения расчетного курса по формулам (11.7) и (11.9) можно применить программу ПЗ пакета Excel (см. с. 110—111).

Влияние факторов. Посмотрим, как влияют различные фак­ торы на курс облигации. Для этого вернемся к равенству (11.7):

HXT = v', + * V

Очевидно, что изменение купонной процентной ставки влияет только на второе слагаемое. Так, рост этой ставки уве­ личивает данное слагаемое и курс в целом, причем это увели­ чение линейно: чем больше рыночная ставка, тем это влияние меньше при всех прочих равных условиях.

Что касается влияния рыночной ставки процента или став­ ки помещения, учитываемой в расчете, то повышение этой ставки приводит к сокращению обоих слагаемых курса облигации.

Зависимость курса от размера рыночной ставки показана на рис. 11.3, на основе которого можно сделать один важный в практическом отношении вывод: чем больше срок облигации, тем чувствительней курс к изменению рыночной ставки (круче кривая).

Сказанное объясняет тактику поведения инвесторов на рын­ ке облигаций. Так, если ожидается повышение рыночной ставки, то инвесторы стремятся заменить долгосрочные облигации на об­ лигации с меньшим сроком. При ожидании снижения ставки про­ исходит обратное.

250