Менеджмент.Финансовая математика

§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода

Определим теперь что дает диверсификация для уменьшения риска и выявим условия, когда эта цель достигается. В качестве объекта анализа примем некоторый абстрактный портфель цен­ ных бумаг (далее для краткости — портфель). Такой выбор объ­ ясняется методологическими преимуществами — в этом случае проще выявить зависимости между основными переменными. Однако многие из полученных результатов без большой натяж­ ки можно распространить и на производственные инвестиции.

В предыдущем параграфе отмечалось, что в качестве измери­ теля риска в долгосрочных финансовых операциях широко рас­ пространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Ди­ версификация портфеля при правильном ее применении при­ водит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Ес­ ли каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией до­ хода, то доход от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно ме­ нять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму.

Итак, пусть имеется портфель из п видов ценных бумаг. До­ ход от одной бумаги вида / составляет величину dr Суммарный доход (А), очевидно, равен

(8. 1)

где a( — количество бумаг вида /'.

Если d. представляет собой средний доход от бумаги вида то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом.

Для начала положим, что показатели доходов различных ви­ дов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохо­ да портфеля (обозначим ее как D) в этом случае находится как

D - 2 a fD h	(8.2)
/-I

171

где D/ — дисперсия дохода от бумаги вида /, п — количество видов ценных бумаг.

Для упрощения, которое нисколько не повлияет на резуль­ таты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного из­ мерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь а, характеризует долю в портфеле бумаги вида /, т.е. О < й(. < 1 , 21а, = 1 .

Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следу­

ющим образом:
D " % af D>+ 2J aiajrija<aj »		(8.3)
/- I	i + j

где D) — дисперсия дохода от бумаги вида /, гу — коэффициент корреляции дохода от бумаг вида / и у, а, и Oj — среднее квад­ ратическое отклонение дохода у бумаг вида / и /

Коэффициент корреляции двух случайных переменных х и у, как известно, определяется по формуле1

гху	2 ( х - х ) ( у - у )	>(8.4)
	:------------------------------------------

*ПОх ° у

где х, у — средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг).

Для расчетов часто применяется следующая рабочая формула:

Поскольку коэффициент корреляции может быть как поло­ жительной, так и отрицательной величиной, то, как это выте­ кает из (8.3), при положительной корреляции дисперсия суммарно­

1 Н апом ним следую щ ие свойства к о эф ф и ц и ен та корреляции:

— к о эф ф и ц и ен т не им еет разм ерности, следовательно, он сопоставим для

разны х рядов данны х;
— величина гху леж ит в пределах о т - 1	до + 1 . Зн ач ен и е гху =	+1 говорит о
том , что между перем енны м и сущ ествует	полная полож ительная	корреляц и я,

т. е. наблю дается ф ун кц ион альн ая ли н ей н ая зависим ость — с увеличением х л и ­ н ей н о растет у. П ри rxy = - 1 наблю дается отрицательная л и н ей н ая зависим ость.

172

го дохода увеличивается, при отрицательной она сокращается. В

самом деле, при заметной отрицательной корреляции положи­ тельные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашают­ ся отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что уве­ личивает общую дисперсию и риск.

Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсифика­ ции на размер риска. Под масштабом диверсификации здесь бу­ дем понимать количество объектов, выбранных для инвестиции (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному при­ меру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода (ст^). Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также оди­ наковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что пока­ затели доходности у отдельных видов бумаг статистически не­ зависимы, т.е. применима формула (8.2). В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим

где п — количество видов ценных бумаг.

Воспользуемся приведенной формулой и определим диспер­ сию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бу­ маг. Так, для двух бумаг имеем

Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,58<т0. Таким образом, с увеличением числа составляю­ щих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой диспер­ сии составляющих элементов. Однако прирост действенности диверсификации уменьшается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 8.2 .

Как видим, наибольшее влияние увеличение масштабов ди­ версификации оказывает на начальных стадиях, т.е. при малых значениях п. Например, в рамках рассмотренного примера пе­ реход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратиче­ ское отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%.

173

Рис. 8.2

Полученные выше выводы в отношении тенденции измене­ ния среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляю­ щих одинаковы, очевидно, справедливы и для более общих слу­ чаев. Однако, зависимость этих параметров от степени диверси­ фикации проявляется здесь не столь четко.

Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к фор­ мулам (8.2) и (8.3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и Y). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение. Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия “смешения” ценных бумаг с различными доходностью и дис­ персией. Для независимых доходов получим

D = a* D + аг D ,			(8.5)
	X X	у у’	''
и для зависимых доходов
D = сР"а2 +	я2а 2	+ 2а а г аа .	(8.6)
X X	у у	X у х у х у	v '

Причем ау = 1 —ах.

В этом случае среднее значение суммарного дохода опреде­

ляется как
А = «X + О -	<8-7)
Пусть dy > dx и ау > ах. Очевидно, что	всилу этих условий

рост доли бумаг второго вида увеличивает доходность портфе­ ля. Так, на основе (8.7) получим

Л = dy + (dy - dx)ay.

(8.8)

Что касается дисперсии дохода портфеля, то, как это следу­ ет из (8.6), положение не столь однозначно и зависит от знака

174

и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации: полная положительная корреляция доходов (г = = + 1), полная отрицательная корреляция (г = —1), независи­ мость доходов или нулевая корреляция (гху = 0).

Впервом случае увеличение дохода за счет включения в порт­ фель бумаги вида Упомимо X сопровождается ростом как дохо­ да, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах ах < а < а (см. рис. 8.3, где точка X означает портфель, состоящий только из бумаг вида X, a У— портфель из бумаг вида У).

Для частного случая, когда ах = ау = а, получим по формуле (8.6) D = о2. Иначе говоря, при полной положительной корре­ ляции “смешение” инвестиций не окажет никакого влияния на величину дисперсии.

При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более слож­ ная. По мере движения от точки X к точке Уэта величина сна­ чала сокращается и доходит до нуля в точке В, затем растет (см. рис. 8.4). Следует обратить внимание на то, что при движении от X до В рост дохода сопровождается уменьшением риска (квадратического отклонения).

Впоследней из рассматриваемых ситуаций квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги Упроходит точку ми­ нимума, равного ат, далее оно растет до ау (см. рис. 8.5). (Проблема определения состава портфеля, при котором дости­ гается минимум дисперсии, обсуждается в следующем парагра­ фе.)

Совместим теперь все три графика на одном (см. рис. 8.6 .) Как видим, все возможные варианты зависимости “доход— СКО” находятся в треугольнике ХВУ

175

Рис. 8.5

Рис. 8.6

Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдает­ ся только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции.

П Р И М Е Р 8 .1 . Портфель должен состоять из двух видов бум аг, параметры которых: dx = 2; ах = 0 ,8 ; d = 3; а = 1 ,1 .

Доход от портфеля: А = 2ах + Зау. Таким ооразом , доход в за­ висимости от величины долей находится в пределах 2 < А < 3.

Дисперсия суммы дохода составит:

D = a 20 ,8 2 + а 2 1 ,1 2 + ахаугху0,8 х 1 ,1 .

Определим доход и дисперсию для портфеля с долями, рав­

ными, допустим, 0	,3 и 0 ,7 . Получим	по формулам	(8.6) и	(8 .7):
D = 0,651 + 0 ,3 7 ^	и А = 2 ,7 . Таким	образом, при	полной	поло­
жительной корреляции D = 1 ,0 2 1 , при полной отрицательной кор­
реляции D = 0 ,2 8 1 . В итоге с вероятностью 95%			можно утвер­

ждать, что суммарный доход находится в первом случае в преде­

лах 2,7 ±2 х д/1,021 - 2 ,7 ± 2,02;	во втором — он определяется пре­
делами 2 ,7 ± 2 х V o ,281 - 2 ,7 ±	1,06. При нулевой корреляции до­

ходов искомые пределы составят 2 ,7 ± 2л/0,651 - 2 ,7 ± 1,64.

Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влия­ ет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции1.

1 В странах со стаб и льн ой эк о н о м и к о й безри сковой о б ы ч н о считается ц ен ­ ная бум ага, вы п ущ ен н ая государственны м казначейством .

176

Для этого заменим в портфеле бумагу Ус параметрами dy, ау на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. До­ ходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится. Что же касается дисперсии, то она теперь составит:

Дисперсия дохода портфеля теперь зависит от удельного ве­ са безрисковой составляющей, так как

а = а х ° х == ( ' ~ ау ) а х-

(8.9)

Таким образом, “разбавление” портфеля безрисковой бума­ гой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклоне­ ние дохода портфеля определяется убывающей линейной функ­ цией доли безрисковой бумаги. Если dx > dy (в противном слу­ чае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от dx до dy, а величина квадратического отклонения сокращается от ах до О (см. рис. 8.7). Й наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличи­ вает как риск, так и доход.

Рис. 8.7

Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением (8.10), которое полу­ чено преобразованием (8.7):

А = dy + (dx - dy)ax.

(8. 10)

В свою очередь на основе (8.9) находим

177

a

В итоге получим интересное соотношение

(8. 11)

Дробь в приведенном выражении иногда называют рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при ро­ сте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.

§8.3. Минимизация дисперсии дохода

Приведенные выше выражения для дисперсии суммарного дохода позволяют рассмотреть проблему диверсификации инве­ стиций и риска еще в одном аспекте, а именно, — определить структуру портфеля, которая минимизирует дисперсию и, сле­ довательно, риск. Для нахождения минимума дисперсии вер­ немся к определяющим ее формулам. Если предположить, что нет статистической зависимости между доходами от отдельных видов инвестиций, то найти оптимальную в указанном смысле структуру портфеля не так уж и сложно. Положим, что порт­ фель, как и выше, состоит из двух видов бумаг X и К Их доли в портфеле составляют ах и 1 —а# а дисперсии Dx и Dy. Общая дисперсия определяется по формуле (8.5). Поскольку эта функ­ ция является непрерывной, то применим стандартный метод определения экстремума. Находим, что минимальное значение дисперсии суммы имеет место тогда, когда

Формулу (8.12) обычно приводят в аналитической финансо­ вой литературе. Однако, для того, чтобы ею можно было вос­ пользоваться, необходимо иметь значения дисперсий. По-види­ мому, при расчетах на перспективу удобнее оценить или задать экспертным путем отношение дисперсий:

D . = D	I D .	(8.13)
X/у	X • у

178

Разделим теперь числитель и знаменатель (8.12) на Dy, полу­ чим

ъ - т р г т -	(814)
х/у

При наличии корреляции между показателями доходов обра­ тимся к (8.6). Минимум этой функции имеет место в случае, когда

------- ° у ~ гхуа ха у-------

х Dх + Dу - 2гху ах ау ’

или, использовав отношение дисперсий (8.13), получим

а , ---------.

(8Л6)

Dx/y +1 ~ 2гдy^Dx/y

Как видно из приведенных формул, расчетная величина до­ ли одной из бумаг может при некоторых условиях оказаться от­ рицательной. Отсюда следует, что этот вид бумаги просто не должен включаться в портфель.

П Р И М Е Р 8 .2 . Вернемся к данным примера 8 .1 и определим стру­ ктуру портфеля с минимальной дисперсией. Напомним, что

ах - 0 ,8; Оу = 1 ,1 .

При полной положительной корреляции расчетные значения доли первой бумаги составят по формуле (8 .15 )

1,1» - 1 х 0 , 8 х 1,1

а* 0,82 + 1.1* - 2 х 1 х 0,8 х 1,1

Соответственно, ау < 0. Следовательно, минимальная диспер­ сия имеет место в случае, когда портфель состоит из одной бу­ маги вида X . Средний доход от портфеля равен 2 .

При полной отрицательной корреляции находим

1,1» - (-1)0,8 х 1,1

а*

0,82 - 1,12 - 2 (—1) 0,8 х 1,1

'

’

ау = 1 - 0 ,5 79 = 0 ,4 2 1 .

Дисперсия в этом случае равна нулю (см. рис. 8 .4 ), а средний доход составит 2 ,4 2 1 .

179

Наконец, при отсутствии корреляции получим по формуле (8.12) ах = 0,654; ау = 1 - 0,654 = 0,346. Дисперсия дохода при

такой структуре портфеля равна 0,418, а средний доход равен 2,346.

Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг X, Y, Z. Их доли ах, ау и а1= \ - (ах + ау). Дисперсия дохода от порт­ феля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит

D = ° \ D x + <?у°у + П - (°х + a v)\l D r

Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:

	°х D,,, D,	D.у/i
		+ ^х/г + ^у/г
	Vz
		х/г
	D , D / + /) , -I~ D I '
	x/z у/г	"х/г	y/z

Не будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей поста­ новке задачи и определим структуру портфеля с п составляю­ щими. Допустим, что доходы статистически независимы. Опус­ тим доказательства1 и приведем результат в матричном виде:

А = ZT'e,

(8.17)

где е — единичный вектор, характеризующий структуру порт­ феля,

А +1 1	1
А.
D2	+ 1
, D
я—I	Jn- 1
	А.

1Доказательства приведены в Математическом приложении к главе.

180