Менеджмент.Финансовая математика

В западной финансовой литературе предполагается множе­ ство формул для расчета показателей ПД, причем исходные посылки для их построения обычно даже не обсуждаются. Можно показать, что все подобного рода формулы базируют­ ся на равенстве, которое назовем балансом финансовой опера­ ции или уравнением эквивалентности. С уравнением эквива­ лентности мы уже встречались в гл. 4 (см. § 4.3). Обсуждение методов оценки показателей доходности для разных видов ссудно-кредитных операций начнем с рассмотрения этого уравнения.

§10.2. Уравнение эквивалентности

Необходимым условием финансовой или кредитной опера­ ции в любом ее виде (ссуда, депозит, заем, инвестиции в про­ изводственный проект и т.д.) является сбалансированность вло­ жений и отдачи. На этом требовании базируются все рассмот­ ренные выше методы планирования погашения задолженности. Посмотрим теперь на проблему сбалансированности с более об­ щей, теоретической точки зрения, не отвлекаясь на техниче­ ские детали расчета сумм обслуживания долга и ее компонент.

Для этого вернемся к графику, который был назван в гл. 2 контуром операции. Напомним, что контур позволяет составить уравнение, эквивалентности, балансирующее вложение средств и отдачу от них. Для случая, показанного на рис. 10.1, получим следующие размеры задолженности после уплаты Л, и /?2:

D\ “ Aw 1 - ^ 1» ” DIQг - ^ 2,

где DQ — размер кредита, <f = (1 + /)' — множитель наращения, / — ставка процентов по кредиту.

Рис. 10.1

211

Очевидно, что баланс кредита и погасительных платежей имеет место в том случае, когда последний платеж замыкает контур. В нашем примере полная сбалансированность означает

D2qh - R3 - 0.

Определим D2 через D0 и подставим полученный результат в уравнение эквивалентности:

Уравнение становится весьма громоздким, если число вре­ менных интервалов больше трех. Поэтому преобразуем найден­ ное выражение, после чего

4 ) / - (л ,? '2+' 3 + R t f ' + Лз) - 0,

(10.1)

где Т= 2 /у.

Найденное уравнение для нас ценно прежде всего в методо­ логическом плане. Здесь ясно показано, что кредитная опера­ ция при применении сложных процентов может быть расчлене­ на без какой-либо потери точности на два как бы встречных процесса: наращение первоначальной задолженности за весь период и наращение погасительных платежей за срок от момен­ та платежа и до конца срока операции. Назовем такой подход методом “встречных операций”. В ряде случаев он существен­ но упрощает доказательства, и в дальнейшем мы неоднократно будем его применять.

Умножим (10.1) на дисконтный множитель vT, получим

Z>o-(/?,v'' + R2vu*h + *3vr ) - 0 .

Иначе говоря, сумма современных величин погасительных платежей на момент выдачи кредита равна при полной сбалан­ сированности платежей сумме этого кредита. Это положение уже применялось нами, правда, на интуитивном уровне, при планировании погашения задолженности.

Обобщим (10.1) для случая с п погасительными платежами

РоЯТ ~ 2 Rj 4 Tj ш°> У = 1 .2 , ..., п,

212

где Tj — время от момента платежа Rj до конца срока.

При написании уравнения эквивалентности предполагалось, что процентная ставка постоянна на всем протяжении опера­ ции. Принципиально ничего не меняется, если значение став­ ки изменяется во времени. Допустим, что изменение происхо­ дит на каждом шаге. Тогда можно записать

~{Я\qf' +

+•••+ /?„?[") - О,

где Г, - J tk, Т2 - £ /* ....

*-2 *.3

Уравнения эквивалентности, о которых только что шла речь, позволяют решить несколько важных в практическом отноше­ нии задач, а именно: измерить доходность от операции и рас­ пределить получаемый доход по их источникам и периодам, предусматриваемым условиями контракта, или по календарным отрезкам времени. Для этого, однако, надо разработать уравне­ ния, в которых наращение (или дисконтирование) производит­ ся по неизвестной ставке, характеризующей полную доход­ ность. Именно таким путем определяются эти величины в сле­ дующих параграфах.

§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных

Ссудные операции. Доходность ссудных операций (без учета комиссионных) измеряется с помощью эквивалентной годовой ставки сложных процентов (см. § 4.2). За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комис­ сионные, которые заметно повышают доходность операций, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере D выдана на срок п. При ее выдаче удерживаются комиссионные за операцию (G). Фактически вы­ данная ссуда равна D — G. Пусть для начала сделка предусмат­ ривает начисление простых процентов по ставке /. При опреде­ лении доходности этой операции в виде годовой ставки слож­ ных процентов /э исходя из того, что наращение величины D —

— G по этой ставке должно дать тот же результат, что и нара­ щение D по ставке /. Разумеется, уменьшение фактической сум­ мы кредита связано не только с удержанием комиссионных.

213

Однако для краткости любое удержание денег, сделанное в пользу кредитора, будем в этой главе называть комиссионными.

По определению уравнение эквивалентности запишем в виде

(D - С)(1 + /э)я = 0(1 + ni).

Графическое изображение данной сделки (контур) показано на рис. 10.2 .

Пусть D — G= D( 1 —g), где g — относительная величина ко­ миссионных в сумме кредита, тогда

(Ю.2)

При определении степени корня будем полагать, что времен­ ная база всегда равна 36S дням. Полученный показатель доход­ ности можно интерпретировать как скорректированную цену кредита.

Ставка /э не фигурирует в условиях операции, она полностью определяется ставкой процента и относительной величиной ко­ миссионных при заданном сроке сделки. Предположим, что не­ обходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов /эп. В этом случае на основе соответствующего урав­ нения эквивалентности находим

	1	+ ni	(Ю.З)
	'ЭП (1	- £ ) я
			*’
			D(1 + ni)

D - G

Т

п

Рис. 10.2

П Р И М Е Р 1 0 .1 . При выдаче ссуды на 180 дней под 8 % годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0 ,5 % суммы кре­ дита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? П о формуле (10 .2 ) находим

214

1+ S		* °>08
365			• 1 - 0 ,0 9 2 7 , или 9 ,2 7 % .
' 1 8 0 / 3 6 5	0,5
1

100

Если ссуда выдается под сложные проценты, то исходное уравнение для определения /э имеет вид

(D - С)(1 + /э)я = 0 (1 + /)"•

Следовательно,

1 + 1

- 1.

(10.4)

П Р И М Е Р 1 0 .2 . В какой мере удержание комиссионных из расче­ та 1% суммы кредита увеличивает эффективность ссуды для кре­ дитора при пяти- и десятилетнем сроке?

Находим
-T7- J ----------	1 - 0 ,0 0 2 , или 0 ,2 % ;	---------- 1 - 0 ,0 0 1 , или 0 ,1% .
^1- 0,01		4 /1- 0,01

Учетные операции. Если доход извлекается из операции уче­ та по простой учетной ставке, то эффективность сделки без удержания комиссионных определяется по формуле эквива­ лентной ставки (4.22). При удержании комиссионных и дис­ конта заемщик получает сумму D —Dd — G или Д 1 —nd — g). Напомним, что d означает простую учетную ставку, a g — отно­ сительную величину комиссионных в сумме кредита. Уравне­ ние эквивалентности в данном случае имеет вид

0(1 ~ n d ~ g ) ( 1 + /э)" = D.

Отсюда

‘э - J - -----	-1	------- Ь	(10.5)
у 1	- n d	- g

где п — срок, определяемый при учете долгового обязательства.

215

Для полного показателя доходности в виде простой ставки /эп находим

( I < | 0 ' 6 >

П Р И М Е Р 1 0 .3 . Вексель учтен по ставке d = 10 % за 160 дней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0 ,5 % . Доходность операции согласно (10 .5 ) при условии, что временная база учета 360 дней, составит

>э шт /365	10о	1 - 0 ,12 3 , т.е . 12 ,3 % .
V - i s 0’ 1 - 0 0 0 5

Эффективность без удержания комиссионных — 10 ,8 % .

Во всех рассмотренных случаях искомая ставка /э представ­ ляет собой частный случай упомянутой выше ПД. Заметим, что влияние комиссионных на /э уменьшается по мере увеличения срока сделки.

Удержание комиссионных — не единственная возможность изменения фактической суммы инвестиций по сравнению с но­ миналом. В практике возможны случаи, когда инвестор несет дополнительные расходы, например, приобретая опцион на право купить ценную бумагу. Такие расходы, очевидно, фор­ мально можно рассматривать как комиссионные с обратным знаком (-G) и для расчета применять полученные выше фор­ мулы (10.2 )—(10.6).

§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов

Краткосрочные финансовые инструменты денежно-кредит­ ного рынка — векселя, тратты, различные депозитные сертифи­ каты и т.д. — могут быть проданы до наступления срока их оп­ латы. Владелец при этом получает некоторый доход, а в небла­ гоприятных условиях несет убытки.

Покупка и продажа векселя (простая учетная ставка). Если ве­ ксель или другой вид долгового обязательства через некоторое

216

время после его покупки и до наступления срока погашения продан, то эффективность этой операции можно измерить с по­ мощью ставок простых или сложных процентов. Финансовая результативность операции здесь связана с разностью цен куп­ ли-продажи, которые в свою очередь определяются сроками этих актов до погашения векселя и уровнем учетных ставок. Покажем это. Пусть номинал векселя равен S руб. Он был ку­ плен (учтен) по учетной ставке dx за д, дней до наступления срока.

Цена в момент покупки составила

где К — временная база учета.

За д2 дней до погашения вексель был продан с дисконтиро­ ванием по ставке d2:

Инвестиции в начале операции составили, таким образом, Р, руб., отдача от них равна Р2 руб. Операция продолжалась Э, —Э2 дней.

Для простой ставки /эп получим следующее уравнение экви­ валентности:

(10.7)

Отсюда доходность купли-продажи векселя (в виде ставки простых процентов)

Выразив Рх и Р2 через определяющие эти величины параме­ тры, находим

	1 - d 2d7/ K	\	к	(10.9)
	ЭП 1 - d ldl / K	j	Э, -
				д2

217

Для того чтобы операция не была убыточной, необходимо, чтобы

d2d2 < didl ИЛИ Р{ < Р2.

Аналогично поступают и при использовании в качестве ме­ ры эффективности годовой сложной ставки. В этом случае, по­ лагая К —365, на основе уравнения эквивалентности

получим

г р 3 65/(в | —<»2)

- 1.

( 10. 10)

Т х

Заметим, что уравнения (10.10) и сходное (10.9) пригодны для оценки /э или /эп в ситуациях, когда речь идет о купле-про­ даже финансового инструмента (приносящего доход в любой форме) и известны цены и длительность владения (holding peri­ od).

Заменив в формуле (10.10) Р2 и Рхна адекватные выражения, находим

( 10. 11)

П Р И М Е Р 1 0 .4 . Вексель куплен за 16 7 дней до его погашения, учетная ставка — 6 % . Через 40 дней его реализовали по учетной ставке 5 ,75 % . Эффективность, измеренная в виде простой годо­ вой ставки процентов (временная база учета К = 360, база нара­ щения К = 365), составит согласно (10 .9 ):

12 7	4
' - ж	0'0575 -1 — - о,о7оа
	40

Эффективность операции, измеренная в виде эквивалентной ставки сложных процентов, равна:

40	\	365/40
/. = 1 1 + ^	х 0 ,0 70 8 1	- 1 = 0 ,0 73 1 .

218

Э ту же величину	получим и	непосредственно по формуле
( 10. 11):
'360 -	127 х 0 , 0 5 7 5	\ 365/40	~ 1 = 0 ,0 73 1.
— — ■ п п о -\
360 -	167 х 0,06	)

Продолжим пример. Определим допустимый предел для учет­ ной ставки, применимой при продаже векселя (с/2). Находим, что для того, чтобы операция купли-продажи векселя принесла неко­ торый доход, учетная ставка d2 должна быть меньше, чем

167

12 7 х 0,06 = 0,07889.

Покупка и продажа финансовых инструментов, приносящих простые проценты. Если депозитный сертификат или другой по­ добного рода краткосрочный инструмент через некоторое вре­ мя после его покупки и до наступления срока погашения вновь продан, то эффективность (доходность) такой операции можно измерить в виде ставки простых или сложных процентов. Фи­ нансовая эффективность такой операции зависит от сроков ак­ тов купли-продажи до погашения инструмента, цен или про­ центных ставок, существующих на денежном рынке в моменты покупки и продажи.

Несколько слов о депозитных сертификатах. Они, как из­ вестно, выпускаются банками как кратко-, так и среднесрочные финансовые инструменты, продаются эмитентом в момент вы­ пуска по номиналу (at par) и предусматривают в качестве дохо­ да выплату процентов, начисляемых по простым или сложным ставкам. Проценты чаще всего выплачиваются один раз в кон­ це срока. В случае досрочной продажи сертификата эмитенту иногда предусматриваются штрафные санкции. Например, удержание процентов за один-три месяца. Сертификаты явля­ ются объектом инвестиций и обычно могут быть проданы на рынке ценных бумаг.

Сертификат обеспечивает владельцу доходность на уровне объявленной процентной ставки в том случае, когда сертифи­ кат находится у владельца полный срок. Иное дело, если этот финансовый инструмент продается на рынке ценных бумаг по рыночной цене.

Обратимся к наиболее распространенному виду сертификата

— с разовой выплатой процентов — и рассмотрим три возмож­

219

ных варианта операции купли-продажи этого инструмента по срокам:

а) покупается по номиналу, продается за д2дней до погаше­ ния;

б) покупается после выпуска и погашается в конце срока; в) покупается и продается в пределах объявленного срока.

Для варианта а получим знакомое равенство (10.7):

Однако символы здесь имеют другое содержание, а именно: Я, — номинал, Р2 — цена при продаже (определяется рыночной ставкой процента), Э,, д2 — сроки до погашения.

Доходность владения сертификатом в течение Э, — д2 дней определяется формулой (10.8), если расчет исходит из цен сер­ тификата. Если же в качестве исходных параметров берутся процентные ставки /, и /2 (/, — объявленная ставка сертифика­ та, i2 — ставка рынка в момент продажи), то

В случае когда измерителем эффективности выступает слож­ ная процентная ставка и заданы цены, получим формулу, ана­ логичную (10.10). Наконец, если расчет основан на уровнях процентных ставок, то

(10.13)

Отметим, что доходность операции имеет место только в том случае, когда Э,/, > d2i2. Предельное значение ставки /, при ко­ тором инвестор получит доход, равно