Менеджмент.Финансовая математика

ваемом случае — объема производства), лежит в основе метода барьерной точки.

Обозначим барьерный объем производства как Qk, тогда, ис­ пользуя (7.1) и (7.2), получим

pQk = cQk + F.

Таким образом,

Как видим, чем выше размер постоянных и переменных за­ трат, тем больше критический объем производства.

Прибыль (до выплаты налогов) по определению составит

Р - V - S = ( р - c)Q - F.

(7.4)

Графическая иллюстрация постановки задачи и ее решения приведена на рис. 7.1. Решение находится в точке пересечения двух линий, одна из которых характеризует динамику затрат (S), другая — изменение дохода (V) по мере увеличения выпуска. Объемы производства, которые меньше критического Qk, при­ ведут к убыткам. Превышение этого объема дает прибыль. Чем выше размер постоянных и переменных затрат, тем больше критический объем производства. Чистая прибыль после упла­ ты налогов (пропорциональных прибыли) характеризуется на рис. 7.1 линией М.

ISI

П Р И М Е Р 7 . 1 . Ожидается, что р = 50, с = 30, F = 100. Находим

100

0 * =	с »	30	= 5,	Р = (50 - 3 0 )0 - 100.
к	50 -

Графическое изображение условий задачи и ее решение пред­ ставлено на рис. 7 .2

Рис. 7.2

Рассмотренный метод базируется на реальных данных бух­ галтерского учета или ожидаемых их величинах. Капиталовло­ жения учитываются посредством включения в затраты аморти­ зационных отчислений.

Заметим, что все участвующие в расчете параметры рассма­ триваются как константы. Между тем, с течением времени они безусловно изменяются и найденная для одного момента вре­ мени критическая точка не окажется таковой для другого мо­ мента. Важно также подчеркнуть, что время, как важнейший финансовый фактор, не принимается здесь во внимание. Такой подход вполне оправдан, если капиталовложения уже осущест­ влены и встает вопрос только о выборе видов производимой продукции и их объемов.

Сказаное выше позволяет сформулировать общее определе­ ние для обсуждаемого метода, как способа расчета барьерного значения управляющей переменной исходя из равенства двух “кон­ курирующих” функций этой переменной. Содержание управляю­ щего параметра и функций, как видим, определяется конкрет­ ными условиями решаемой задачи. В рассмотренном выше примере управляющей переменной является объем производст­ ва, “конкурирующими” функциями — доход (выручка) и затра­ ты.

152

§7.2. Нелинейные модели

Линейная модель во многих случаях дает практически прие­ млемое описание ситуации. Однако могут иметь место ситуа­ ции, когда процесс формирования затрат и/или стоимости про­ дукции более адекватно описывается нелинейными функциями и имеются достаточно надежные данные для получения соот­ ветствующих кривых. Вид и параметры таких кривых могут быть установлены, например, в ходе статистического анализа или их можно задать экспертно.

Барьерный выпуск продукции. Вернемся к задаче по опреде­ лению критического объема продукции, но в условиях, когда одна или обе “конкурирующих” функции являются нелиней­ ными. Ограничимся двумя из возможных постановок задачи. Пусть для начала стоимость продукции — линейная функция выпуска, а затраты на производство описываются нелинейной, монотонно растущей функцией. Иначе говоря, предполагает­ ся, что удельные затраты сокращаются по мере роста масшта­ бов производства, а цена единицы продукции не изменяется. Такое сочетание затрат и стоимости продукции представлено на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Задача, как и выше, заключается в определении барьерного уровня выпуска продукции. Стоимость продукции находится по формуле (7.1), а сумма переменных затрат описывается, допус­ тим, степенной функцией cQh, причем О < h < 1 . В этом случае общая сумма затрат составит

153

S = F+ cQh

Разность “конкурирующих” функций в барьерной точке рав­ на нулю:

pQk ~ cQhk - F= 0.

Решение, как видим, сводится к нахождению корня этого уравнения.

П Р И М Е Р 7 . 2 . Исходные данные: F = 100, р = 50, с = 40, h = 0 ,5 . Соответственно имеем

500к - 4 0 0 ° 5 - 100 = 0.

Найдем корни этого уравнения. Для этого преобразуем его в квадратное, положив О = z 2. После чего получим

5 0 z 2 - 4 0 2 - 100 = 0,

Положительный корень равен 1,8 6 . Таким образом, Qk = = 1,8 6 2 = 3 ,46 .

Перейдем к сочетанию двух нелинейных зависимостей. На­ пример, пусть обе функции являются параболами второй степе­ ни (см. рис. 7.4). Тогда

V = aQ 2 + bQ, S = cQ2 + dQ +F,

где а, Ь, с, d — параметры парабол.

Прибыль в зависимости от уровня выпуска составит

P = (a - c)Q2 + ( b - d)Q - F.

(7.5)

Барьерный объем выпуска находится как корень квадратно­ го уравнения

(a ~ c)Q\ + ( b - d)Qk - F= 0.

154

Рис. 7.4

Добавим, что при некоторых условиях можно рассчитать объем выпуска, максимизирующего размер прибыли (обозначим его как Qm). Для этого, как известно, достаточно найти произ­ водную функции прибыли и приравнять ее нулю. В случае, ко­ гда прибыль описывается выражением (7.S), находим

d - b	(7.6)
Qm = 2( a - с ) '

Как видим, положение точки максимума полностью опреде­ ляется параметрами соответствующих парабол. Причем необхо­ димым условием существования максимума являются следую­ щие соотношения: d>b, а>с . Если же b>d и а>с, то прибыль монотонно растет вместе с увеличением выпуска.

Нелинейную модель можно представить и в неформализо­ ванном виде — как таблицу данных, характеризующих затраты и стоимость продукции в зависимости от размера выпуска (см. пример 7.3).

П Р И М Е Р 7 . 3 . В приведенной ниже таблице и на диаграмме со­ держатся данные о затратах, стоимости продукции и ожидаемой прибыли.

О	F	с	Р	S	V	Р
0	100	—	—	100	—	—
5	100	30	50	250	250	0
10	100	2 7	50	370	500	130
15	100	22	45	430	6 75	145
20	100	20	40	500	800	300
25	100	20	30	600	750	150

155

§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе

Сравнение денежных сумм. Начнем с решения простой зада­ чи, иллюстрирующей возможности метода при решении неко­ торых проблем финансов и кредита. Допустим, необходимо вы­ брать один из двух вариантов поступлений денежных средств, различающихся суммами и сроками: 5,, S2 со сроками л,, я2, причем S2 > S„ п2 > л, (иначе задача не имеет экономического смысла). Логически оправданно выбор обосновать на сравне­ нии современных стоимостей поступлений. Таким образом, ре­ зультат выбора зависит от ожидаемого рыночного уровня про­ центной ставки. Барьерной в рассматриваемой задачей являет­ ся ставка, при которой оба варианта оказываются эквивалент­ ными.

Рассмотрим метод решения для двух вариантов расчета сов­ ременных стоимостей: по простой и сложной процентным став­ кам. Для простой ставки имеем следующее равенство современ­ ных стоимостей:

Sx	S2
7 Т ^ ~ Г Т ^		™

а для сложной ставки:

•S ,(U /* P - 5 2(1 + /4)"Я2.

(7.8)

156

В обоих равенствах ik означает величину барьерной ставки. Решив уравнение (7.7) относительно искомой ставки, получим

Из последнего выражения следует необходимое условие для существования барьерной ставки

'2

Графическая иллюстрация решения представлена на рис. 7.6.

Рис. 7 .6

Как видно из рисунка, если ожидаемый уровень ставки меньше барьерного, то для получателя денег предпочтителен вариант S2, если же рыночная ставка больше барьерной, то сле­ дует остановиться на альтернативном варианте.

П Р И М Е Р 7 . 4 .		Сравним два варианта платежей с параметрами:
S , = 1; S 2 =	1	,1 5 ; л , = 7 ; л2 = 12 (сроки платежей указаны в ме­
сяцах). Сначала проверим: если
S , > 1,1 5	х	следовательно, решение существует. Далее по-
лучим

Таким образом, при рыночной ставке, которая меньше чем 4 5 ,6 % , для получателя денег предпочтительней более отдаленная выплата при всех прочих равных условиях.

157

Перейдем к определению барьерного значения сложной ставки. На основе (7.8) находим

. У>2-«1 S 2

(>+/*)
Откуда	In(S2 /	St)
, п <1	+ '*> =		•
В итоге
/А=	ая/!п(1 + /А) -	1.	(7.10)

П Р И М Е Р 7 .5 . Возможны два варианта оплаты товара при его по­ ставке. Стоимость и сроки поставки: S , = 1; S 2 = 1,4; л , = 1; п2 = 2,5 (сроки измерены в годах). Покупателю необходимо вы­ брать вариант покупки при условии, что срок не имеет решающе­ го значения, иными словами, он должен ориентироваться только на величину выплат.

Находим величину барьерной ставки, при которой дисконтиро­ ванные размеры затрат окажутся одинаковыми:

|П(1 + 'к) = " ^ 5 ^ = 1<22431: ik = а л П п О ,22431 - 1 = 0 ,2 5 1 .

Итак, если рыночная ставка будет меньше 2 5 ,1 % , то для поку­ пателя окажется предпочтительней второй вариант.

Выбор варианта депозита. Метод определения барьерной точ­ ки с использованием кривой доходности при выборе варианта депозита с наибольшей доходностью рассмотрен в гл. 4, пример 4.21. Поэтому на этой проблеме больше останавливаться не бу­ дем. Дополнительные примеры применения метода барьерной точки в финансовом анализе будут рассмотрены в других главах.

§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки

Барьерное значение выпуска продукции определялось выше для линейной и нелинейной моделей при условии, что все ис­ ходные данные установлены однозначно. В этой ситуации по­

IS8

лучают только одно расчетное значение выпуска. В действи­ тельности все не так просто. Так, цену продукции, вероятно, можно с большей надежностью определить для будущего про­ изводства в виде некоторого интервала р' + р". Обратившись к линейной модели, получим для этой ситуации интервал значе­ ний барьерного выпуска продукции Q'k — Q"k (см. рис. 7.7). Аналогичное можно сказать и об остальных параметрах в фор­ муле (7.3). Таким образом, при условии, что неоднозначными являются постоянные или переменные затраты, получим диапа­ зоны барьерных показателей выпуска для линейной модели (см. рис. 7.8, 7.9).

На рис. 7.10 иллюстрируется совместное влияние неопреде­ ленности в цене продукции и переменных затрат на положение барьерного выпуска продукции.

Всвою очередь неоднозначность ожидаемой цены продукта

ипостоянных затрат приводит к результату, который показан на рис. 7.11.

S'

S '

> О	о
о; о;	01 0'к
Рис. 7.7	Рис. 7.8

s, Vi

F

О

Рис. 7.9

Рис. 7.10

159

Рис. 7.11 Рис. 7.12

На рис. 7.12 иллюстрируется ситуация, при которой интер­ валами заданы все три параметра. На рисунке показаны четыре критических точки: а, Ь, с, d, причем точка а соответствует ми­ нимальным затратам и максимальной цене, точка b — макси­ мальным затратам и цене, точка с — максимальным затратам и минимальной цене, наконец, точка d — минимальным затратам и цене. В зависимости от выдвинутых предположений можно получить ряд диапазонов для барьерной точки: а + Ь, а + с и т.д.

Что касается методов определения интервалов для значений параметров, то в большинстве случаев вполне оправданно экс­ пертное их оценивание.

Интервалы можно установить и в рамках сценарного подхода. В этом случае определяется набор параметров для некоторой совокупности условий (сценария). Обычно разрабатывают оп­ тимистический, пессимистический и наиболее вероятный сце­ нарии. Оптимистический и пессимистический сценарии позво­ ляют определить крайние значения искомой величины. Наибо­ лее вероятный сценарий дает промежуточную оценку этой ве­ личины. Задание параметров, характеризующих некоторую про­ изводственную систему, в виде интервалов дает более полное представление о реально ожидаемых результатах.

§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению

Постановку задачи по определению барьерного объема вы­ пуска продукции можно расширить, учитывая дополнительные условия. Представим себе, что разрабатывается проект создания

160