Менеджмент.Финансовая математика

m	l	2	4	12	365
q	6,1917	6,7275	7,04	7,2682	7,385

Как следует из приведенных данных, наибольшую “прибав­ ку” в наращении дает переход от ежегодного начисления про­ центов к полугодовому, наименьший эффект — переход от еже­ месячного к ежедневному.

П Р И М Е Р 3 . 7 . Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 500 ты с.руб ., проценты сложные, став­ ка 20% годовых, начисление поквартальное?

П о условиям задачи число периодов начисления N = 25 : 3 = = 8 1/3. Применим два метода наращения — общий и смешанный

(см. (3 .6)). Получим
S - 500 ООО | l + M j	3 - 75 0 8 4 а 0 4 р уб .,
S = 500 000	х —-—

Эффективная ставка. Введем теперь новое понятие — дейст­ вительная, или эффективная ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же ре­ зультат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через /. По определению мно­ жители наращения по двум ставкам (эффективной и номиналь­ ной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

Из равенства множителей наращения следует

(3.8)

Эффективная ставка при т > 1 больше номинальной. Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом на­

числении процентов на эффективную ставку / не изменяет фи­ нансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквива­

51

лентны в финансовом отношении. Отсюда, кстати, следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквива­ лентными, если соответствующие им эффективные ставки име­ ют одну величину.

П Р И М Е Р 3 .8 . Каков размер эффективной ставки, если номиналь­ ная ставка равна 25 % при помесячном начислении процентов? Имеем

/ = ( 1 + - ^ - J 12 - 1 = 0 ,28 0 73 2 .

Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25 % при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 2 8 ,0 73 2 % .

Для сокращения дальнейшей записи используем символ / т), означающий размер номинальной ставки и количество начисле­ ний за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только в том случае, когда удовлетворяется равенство

	т,		т 2
1 +	1	Ш 1+ ^ —	J
\	М\ /	т 2

Поскольку т может иметь только целые значения, то удоб­ нее определять значение новой ставки, задаваясь величиной т±

		;<*»,))	от,
			-1
; ( т г )	т2	1 + 4 -
	\	/И,
П Р И М Е Р 3 .9 . Определим номинальную			ставку / 4), которая без­
убыточно заменит ставку / 12) =		25% в примере 3 .8 . Получим
/<4> - 4			0,25524 .

Таким образом , сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 до 25, 524 % .

52

При подготовке контрактов может возникнуть необходи­ мость в определении j по заданным значениям / и т. Находим

(3.9)

§3.4. Дисконтирование по сложной ставке

При изучении простых процентов мы рассматривали мате­ матическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Первое заключалось в определении Р по значению S при заданной ставке процента, второе — при заданной учетной ставке. Применим первый метод и дисконтируем теперь сумму S по сложной ставке процентов. На основе (3.1) получим

		(3.10)
V я = (1 + О " " = —	.	(3.11)
q n

Величину v называют дисконтным, учетным, или дисконти­ рующим, множителем (compound discountfactor). Значения этого множителя легко табулировать. В Приложении приведен фраг­ мент такой таблицы (см. табл. 3).

Для случаев, когда проценты начисляются т раз в году, по­ лучим

S

Р ш

(3.12)

(3.13)

Напомним, что величину Р, полученную дисконтированием

S, называют современной, текущей, стоимостью, или современ­ ной величиной S. Современная стоимость может быть рассчита­ на на любой момент до выплаты суммы S.

53

Разность S — Р, в случае, когда Р определено дисконтирова­ нием, называют дисконтом. Обозначим последний через D:

D = S - Р = S(\ - V я) .

П Р И М Е Р 3 .1 0 . Сумма в 5 млн руб . выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12 % годовых.

Дисконтный множитель для данных условий составит

Vs = 1 , 1 2 ‘ 5 = 0 ,5 6 5 74,

т .е . первоначальная сумма сократилась почти на 4 4 % . Совре ­ менная величина равна

Р = 5000 х 1 , 1 2 - 5 = 2 8 3 7,1 тыс. руб.

Как уже отмечалось в гл. 2, современная величина платежа

— одна из важнейших характеристик, применяемых в финансо­ вом анализе. Кратко остановимся на некоторых ее формальных свойствах. Прежде всего отметим очевидное свойство — чем выше ставка процента, тем сильнее дисконтирование при всех прочих равных условиях (см. рис. 3.4). Например, если в при­ мере 3.10 увеличить ставку вдвое, то дисконтный множитель снизится с 0,56574 до 0,34111.

Значение дисконтного множителя уменьшается и с ростом величины т.

Влияние срока платежа также очевидно — с увеличением срока величина современной стоимости убывает. Отсюда следу­ ет, что при очень больших сроках она крайне незначительна. Например, если взять ставку / = 12% , то для п = 10, 50 и 100 находим следующие значения дисконтных множителей: 0,32197; 0,00346 и 0,000012.

54

Высокие, и особенно инфляционные, ставки, примененные для дисконтирования, приводят к бессмысленным результатам даже при сравнительно небольших сроках: например, для став­ ки 200% и сроке S лет дисконтный множитель равен 0,004116, т.е. близок к нулю.

§3.5. Операции со сложной учетной ставкой

Учет по сложной учетной ставке. В практике учетных опера­ ций иногда применяют сложную учетную ставку (compound discound rate). В этих случаях процесс дисконтирования происхо­ дит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка приме­ няется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуще­ ствляется по формуле

P = S ( l - d ) n,

(3.14)

где d — сложная годовая учетная ставка.

П Р И М Е Р 3 . 1 1 . Долговое обязательство на сумму 5 млн руб ., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дискон­ том по сложной учетной ставке 15 % годовых. Каков размер полу­ ченной за долг суммы и величина дисконта (в тыс. руб .)? Имеем

Р = 5000(1 - 0 ,15 )5 = 2 2 18 ,5 ; D = 5000 - 2 2 18 ,5 = 2 78 1,5 .

Если применить простую учетную ставку того же размера, то

Р = 5000(1 - 5 х 0,15) = 1250; D = 5000 - 1250 = 3750.

Как следует из приведенного примера, дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем по про­ стой учетной ставке. Сказанное становится понятным при срав­ нении формул для дисконтных множителей:

ws = (1 - nds) и w = (1 - d)n,

где ds, d — простая и сложная учетные ставки соответственно.

Согласно первой из приведенных формул значение дисконт­ ного множителя равномерно уменьшается по мере роста п и до­

55

стигает нуля при п = \/d. Согласно второй — множитель экс­ поненциально уменьшается и достигает нуля лишь в пределе, при п = оо. Величины дисконтных множителей при применении простой и сложной учетных ставок показаны на рис. 3.S

Рис. 3.5

Номинальная и эффективная учетные ставки. Дисконтирова­ ние может производиться не один, а т раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m . В этом случае

(3.15)

где / — номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дис квитирования за год. Определим ее на основе равенства дис контных множителей:

откуда

В свою очередь

/ - m ^ l - mV l - d ^ .

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда т > 1, меньше номинальной.

П Р И М Е Р 3 . 1 2 . П о данным примера 3 . 1 1 определим сумму, полу­ ченную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15 % , и эффективную учетную ставку. Имеем f = 0,15; т = 4;

тп = 20;

56

(	0,15^20
P = 500011 -	= 2328,0 тыс. руб.

Эффективная учетная ставка составит

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из фор­ мул (3.14) и (3.15) следует:

(3.16)

S (1 - d ) ”’

Р

(3.17)

Множитель наращения при использовании сложной ставки d равен (1 —</)“".

§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения

и дисконтирования по разным видам процентных ставок

Выше для наращения и дисконтирования использовались ставки is, /',j, d# d, f Заметим, что даже в одинаковых исходных условиях применение этих ставок приводит к различным ре­ зультатам. В связи с этим представляет практический интерес сравнение результатов наращения и дисконтирования по раз­ личным ставкам. Для этого достаточно сопоставить соответст­ вующие множители наращения. Аналогичное можно проделать и с дисконтными множителями. Проблема сопоставления ско­ рости роста при наращении по простой и сложной ставкам бы­ ла затронута в § 3.2.

Опустив формальные доказательства, запишем сразу необхо­ димые соотношения при условии, что размеры ставок одинако­ вые. Варианты со ставками j и / рассматривать не будем, так как результат зависит и от значения т.

57

Множители наращения соотносятся между собой следую­ щим образом:

(1 + /)« < 1 + nis < ] l n d < (, _! ф		при 0 < « < 1,
1	1	при п — 1 ,
	1 - d
1	1	nd при л > 1 .
1 + nis < (1 + /)" < (1 —d)n	1 —

Как видим, соотношения множителей зависят от сроков на­ ращения процентов. Так, для срока, превышающего год, наи­ больший рост дает простая учетная ставка, наименьший — ставка простых процентов. В табл. 3.2 приведены значения множителей наращения для разных видов ставок при условии, что их размеры одинаковы — 20%.

Множители наращения для разных видов ставок (20%)				Таблица 3.2
Срок (в годах)		i	А	d
0,5	1,10	1,0954	1,1111	1,1180
0,8	1,16	1,1570	1,1905	1,1954
1,0	1,20	1,2000	1,2500	1,2500
1,5	1,30	1,3145	1,4286	1,3975
2,0	1,40	1,4400	1,6667	1,5625
3,0	1,60	1,7280	2,5000	1,9531
5,0	2,00	2,4883	со	3,0517
10,0	11,00	6,1917	во	9,3132

Аналогичным образом получим соотношения для дисконт­ ных множителей:

1	1
(1 - d)n < 1 - nd < 1 + ni	(1 + if	при 0 < п < 1,

58

Для срока более года наиболее сильно дисконтирование про­ является при применении простой ставки процента и в наимень­ шей степени — при использовании простой учетной ставки.

§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки

При разработке условий финансовых операций часто стал­ киваются с необходимостью решения обратных задач — расче­ том продолжительности ссуды или уровня процентной ставки. Для простых процентов эти задачи рассмотрены в гл. 2. Обра­ тимся к операциям со сложными ставками и решим уравнения, связывающие Р и S, относительно интересующих нас величин. Полученные формулы приводятся без доказательств, поскольку вывод их элементарен.

Срок ссуды. Приведем формулы расчета п для различных ус­ ловий наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке / и по номиналь­ ной ставке j на основе формул (3.1) и (3.7) имеем

	_	log ( S / P )	(3.18)
	П	log(l + 0 ’
	п —	log ( S / P )	(3.19)

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке / получим

	_	log ( P / S )		(3.20)
	п	log (1	d)’
	п =	log ( P / S )		(3.21)

П Р И М Е Р 3 .1 3 . За какой срок в годах сумма, равная 7 5 млн руб. достигнет 200 млн руб. при начислении процентов по сложной

59

ставке 15 % раз в году		и поквартально? П о			формулам (3 .18 ) и
(3 .19 ) получим следующие сроки:
	log (200		/ 75 )	7 ,0 1 7 8	года,
	л = ------		------ =
		log 1 ,1 5
п	log (200		/ 75 )	____ _
	--------------------------------		7- = 6,6607 года.
	4 х	log f 1	+ - ^

Величина процентной ставки. Приведем формулы для расчета ставок i,j, d, /для различных условий наращения процентов и дисконтирования. Они получены при решении уравнений, свя­ зывающих S и Р.

При наращении по сложной годовой ставке процентов / и по номинальной ставке j получим

	/	-	4 S~7P	- 1,	(3.22)
j	-	m	^ j s / P	- l) .	(3.23)
При дисконтировании по сложным учетным ставкам d и /
	d -		1 - "VР / 5,		(3.24)
/	-		-""^Р / S y		(3.25)
П Р И М Е Р 3 .1 4 . Сберегательный сертификат куплен за					100 тыс.

р уб ., выкупная его сумма 160 тыс. р уб ., срок 2 ,5 года. Каков уро ­ вень доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных про­ центов? П о формуле (3.23) находим

/ - 2^ 1 6 - 1 - 0,20684.

П Р И М Е Р 3 .1 5 . Срок до погашения векселя равен 2 годам. Д ис­ конт при его учете составил 3 0 % . Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Применим формулу (3 .2 4 ). П о данным задачи P/S=0 ,7 , откуда

d - 1 - V o j -0 ,16 3 3 4 .

60