Менеджмент.Финансовая математика

§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам.

Наращение по учетной ставке

Вфинансовой практике часто сталкиваются с задачей, об­ ратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время п, необходимо опреде­ лить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возник­ нуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается,

сам процесс начисления процентов и их удержание называют

учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount) или

скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, напри­ мер, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин “дисконтирование” употребляется и в более широ­ ком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостно­ го показателя к некоторому, обычно начальному, моменту вре­ мени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, назы­ вают современной стоимостью, или современной величиной {pre­ sent value), будущего платежа S, а иногда — текущей, или капи­ тализированной, стоимостью. Современная величина суммы де­ нег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно

спомощью дисконтирования, а не наращения, удобно учиты­ вать такой фактор, как время. Как будет показано далее, боль­ шинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

Взависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дискон­ тирование представляет собой решение задачи, обратной нара­ щению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае

31

формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму 5, при ус­ ловии, что на долг начисляются проценты по ставке /? Решив (2.1) относительно Р, находим

р - т Ь - <2">

Напомним, что п = t/K — срок ссуды в годах. Установленная таким путем величина Р является современ­

ной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю состав­ ляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

П Р И М Е Р 2 .9 . Через 180 дней после подписания договора долж­ ник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16 % годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база

равна 365 дням? Согласно (2 .1 1 )		находим
р _ —	3 10 Q00—	_ 287328,59 руб.
1	+ зет °-,е

Разность S — Р можно рассматривать не только как процен­ ты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до на­ ступления срока платежа (date of maturity) по векселю или ино­ му платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. поку­ пает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его уче­ та имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объ­ еме, однако ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерче­ ский, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уп­ лате в конце срока (maturity value). При этом применяется учет­ ная ставка d.

32

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен Snd; ес­ ли d — годовая учетная ставка, то п измеряется в годах. Таким образом,

Р = S - Snd = 5(1 - nd),

(2,12)

где п — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 — nd). Из формулы (2.12) вытекает, что при п > \/d величина дисконтного множи­ теля и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что ли­ шено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок до­ статочен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляет­ ся при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

П Р И М Е Р 2 .1	0 . Тратта (переводной вексель) выдан	на	сумму
1 млн руб. с	уплатой 1 7 .1 1 .2 0 0 0 . Владелец векселя	учел	его в

банке 23.09.2000 по учетной ставке 20% (АСТ/360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сум­ ма (без уплаты комиссионных) равна

Р = 1000000(1 - - ^ г 0 ,2 ) = 969444,4 руб.

OOU

Дисконт составит 30555,6 руб.

Дополним условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов / = 20,5% го ­ довых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: опре­ делить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. О б а последовательных действия можно представить в одной фор­ муле

Р " = Р (1 + п/)( 1 - n 'd ) ,

где п — общий срок обязательства, п* — срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120/360, тогда

Р" = 1 000 000(1 +	Зои	0,205)(1 - - ^ Г 0 ,2 ) = 1 035 690 руб.
		360

33

Разумеется, дисконт, как скидка с конечной суммы долга, необязательно определяется через ту или иную процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде фиксированной величины для всего срока. Однако, размер ставки неявно всегда имеется ввиду.

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, кото­ рую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма дол­ га. Наращенная сумма в этом случае

(2-,3>

Множитель наращения здесь равен 1/(1 — nd). Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. Заметим, что при п > \/d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современ­ ная величина платежа больше нуля.

П Р И М Е Р 2 . 1 1 . П о данным примера 2 .2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учет­ ной ставке d = 18 % :

S = 1 ООО О О О --------

—1 ----------

= 114 8 10 5 ,6 2 руб.

§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов

и дисконтировании по простым ставкам

Как было показано выше, оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является опреде­ ление наращенной суммы, обратной — дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дискон­ тировании, обратная — в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дис­ контирования — по ставке наращения / и учетной ставке d — приводят к разным результатам даже тогда, когда / = d.

34

Ставки	Прямая задача		Обратная задача			Формулы
/	S =	Р( 1 + я/)	Р = S / (1	+	ш)	см. (2. 1),	(2. 11 )
d	Р=	S( 1 - nd)	S = Р / (\	-	nd)	см. (2 .12 ),	(2 .13 )

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении ве­ личины ставки. Для иллюстрации сказанного на рис.2.5 и в табл. 2.1 приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда / = d = 20%.

Рис. 2.5

		Дисконтные множители, I ш d ш20%				Таблица 2.1
Вид			Срок в годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
/	0,9836	0,9524	0,9091	0,8333	0,7143	0,3333
d	0,9833	0,9500	0,9000	0,8000	0,6000	—

Сравнивая формулы (2.1) и (2. 13), легко понять, что учет­ ная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что i —d — 20%, по­ казаны на рис. 2.6 и в табл. 2.2.

Рис. 2.6

35

		Множители наращения, / = rf —20%				Таблица 2.2
Вид			Срок 1 годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
/	1,0167	1,0500	1,1000	1,2000	1,4000	3
d	1,0169	1,0526	1,1111	1,2500	1,6667	00

Из сказанного выше следует, что выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги опе­ рации. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называются эквивалентными. Проблема эквивалентности процентных ставок рассматривает­ ся в гл. 3.

§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

При разработке условий контрактов или их анализе и срав­ нении возникает необходимость в решении ряда, если так мож­ но назвать, вторичных задач — определении срока ссуды и раз­ мера процентной ставки в том или ином ее виде при всех про­ чих заданных условиях.

Срок ссуды. Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях формулы получим, решив (2.1) и (2.12) от­ носительно п.

Срок в годах:

п = ^	=	(2.14)
S - P	^ i - P L S	(215)
Sd	d	’

Срок в днях (напомним, что п= t/K, где К — временная ба­ за):

t =

(2.16)

36

П Р И М Е Р 2 .1 2 . Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. р уб ., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (А С Т/А С Т)? По формуле (2 .16 ) находим

t = 120 ~ 100	365 = 292 дня.
100 x 0,25	д

Величина процентной ставки. Необходимость в расчете про­ центной ставки возникает при определении финансовой эффе­ ктивности операции и при сравнении контрактов по их доход­ ности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не ука­ заны. Решив выражения (2.1) и (2.12) относительно / или d, по­ лучим искомые формулы для сроков, измеренных в годах и днях:

i ~ A i r ~ A T r K'	(2-,8)
	<2 1 , )

П Р И М Е Р 2 .1 3 . В контракте предусматривается погашение обяза­ тельства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (АСТ/360). Как видим, здесь не огово ­ рен уровень процентной ставки. Необходимо определить доход­ ность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента и учетной ставки. П о формулам (2 .18 ) и (2 .19 ) находим

/ = 11° ~ S 360 = 0 ,666(6 ),	или 6 6 ,6	7% ,
90 х 120
d = -т З —Г,В т 360 = 0,5454,	или 5 4 ,5	4 % .
110 х 120

Иногда размер дисконта фиксируется в договоре в виде про­ цента скидки (общей учетной ставки) d' за весь срок ссуды. В этом случае

Р= S(\ - d').

Имея в виду, что Р = S / (1 + л/), находим

37

d'

1 ~ /»(1 - d') ■

Годовая учетная ставка находится элементарно: d = d ' / п.

П Р И М Е Р 2 . 1 4 . Стороны договорились о том , что из суммы ссу­ ды, выданной на 2 10 дней, удерживается дисконт в размере 12 % . Необходимо определить цену кредита в виде годовой ставки про­ стых процентов и учетной ставки (К = 360):

/ =		--------- = 0 ,2 3 3 76 , или 2 3 ,3 8 % ,
360		- 0, 12)
d =	— в ;I *■■■= 0 ,2 0 5 7 1, или 2 0 ,5 7% .
	210/360

§2.7. Конверсия валюты

инаращение процентов

Рассмотренные выше методы наращения процентов позво­ ляют перейти к обсуждению более сложных и важных в прак­ тическом отношении задач. Остановимся на одной из них. Речь пойдет о совмещении операций конверсии (обмена) валюты и наращения процентов.

При возможности обмена рублевых средств на СКВ и обрат­ ной конверсии целесообразно сравнить доходы от непосредст­ венного размещения имеющихся денежных средств в депозиты и опосредованно через другую валюту. Сказанное относится и к получению дохода от СКВ при ее обмене на рубли, депони­ ровании и обратной конверсии.

Возможны четыре варианта для наращения процентов с кон­ версией денежных ресурсов и без нее:

без конверсии: СКВ -* СКВ;

сконверсией: СКВ -* Руб -►Руб -* СКВ; без конверсии: Руб -* Руб;

сконверсией: Руб -» СКВ -* СКВ -*• Руб.

Варианты с конверсией показаны на рис.2.7.

38

P(CKB)/.	S(CKB)	Р(руб.)	S(py6.)
P( рIуб .)------	>i- S(py6.) t	P (CIK B )	------^ - > S ( C tK B )
	a		6

Рис. 2.7

В операции наращения с конверсией валют существует два источника дохода — изменение курса и наращение процентов, причем, если второй из них безусловный (так как ставка про­ цента фиксирована), то этого нельзя сказать о первом источни­ ке. Более того, двойное конвертирование валюты (в начале и конце операции) может быть при неблагоприятных условиях убыточным. Решим в связи с этим две задачи. Определим сум­ му в конце операции и ее доходность для двух вариантов опе­ рации с конверсией.

Вариант СКВ -*■ Руб -* Руб -» СКВ. Проанализируем сначала вариант а, показанный на рис. 2.7. Примем обозначения:

Ру — сумма депозита в СКВ, Рг — сумма депозита в рублях, Sv — наращенная сумма в СКВ,

Sr — наращенная сумма в рублях,

KQ — курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях), АГ, — курс обмена в конце операции, п — срок депозита,

/ — ставка наращения для рублевых сумм,

j — ставка наращения для конкретного вида СКВ.

Операция предполагает три шага: обмен валюты на рубли, наращение процентов на эту сумму и, наконец, конвертирова­ ние в исходную валюту. Конечная (наращенная) сумма в валю­ те определяется как

5У= />Л (1 + «О ~Y-

(2.20)

Три сомножителя этой формулы соответствуют трем пере­ численным выше шагам. Множитель наращения т с учетом двойного конвертирования здесь имеет вид

(2.21)

39

Взаимодействие двух факторов роста исходной суммы в этой формуле представлено наиболее наглядно. С ростом ставки множитель наращения линейно увеличивается, в свою очередь, рост конечного курса обмена уменьшает его.

П Р И М Е Р 2 .1 5 . Предполагается поместить 1000 долл. на рубле­ вом депозите. Курс продажи на начало срока депозита 26,08 руб. за $ 1 , курс покупки доллара в конце операции 26,45 руб . П р о ­ центные ставки: / = 2 2 % ; j = 15 % (360/360). Срок депозита — 3 месяца.

В свою очередь прямое наращение исходной долларовой сум мы по долларовой ставке процента дает

Sv = 10 0 0 (1 + 0 ,2 5 х 0 ,15 ) = 10 3 7,5 долл.

Продолжим анализ и поставим перед собой вторую задачу — измерим доходность операции в целом. В качестве измерителя доходности за срок операции примем простую годовую ставку процента /э. Эта ставка характеризует рост суммы Рудо величи­ ны Sv:

Подставим в эту формулу значение Sv, полученное из (2.20). После несложных преобразований имеем

Данное выражение позволяет сделать ряд заключений, кото­ рые удобно получить, обратившись к графику (см. рис. 2.8). Введем величину, характеризующую отношение последнего и первого курсов валюты:

V

С увеличением к эффективность операции падает. При к = 1 параметр /э = /, при к > 1 параметр /э < / (точка а на оси к), на­ конец, при самой благоприятной для владельца денег ситуации (к < 1) имеем /3 > /.

40