Менеджмент.Финансовая математика

ра исходя из равенства (6.32). Обычно в качестве неизвестного параметра принимается член ренты или ее срок. Так, если за­ меняющая рента постнумерандо является немедленной и задан ее срок я, то из (6.32) следует

R = -Т ± .

(6.33)

я;/

В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то отыскивается срок новой ренты. Обычно задача сводится к расчету п по заданно­ му значению an.t (см. § 5.4 и табл. 5.1). Необходимая для расче­ та величина коэффициента приведения определяется условия­ ми задачи. Для немедленной ренты постнумерандо имеем:

а„.; =	1 - ( 1	+ /)-"		. . . . .
	--------	----------- -		(6.34)
Если Z Aq известно, то, определив на основе (6.34) величину
п, получим
	—1п(1
" —		и , А	•	<б-з5>

Как видим, для того чтобы задачаимела решение, необходи­ мо соблюдать условие:

/ 2 Л

R*-< 1.

ПР И М Е Р 6 . 1 1 . Три ренты постнумерандо — немедленные, годо­ вые — заменяются одной отложенной на три года рентой постну­ мерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:

Rq = 100; 120; 300 тыс. р уб ., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов, равную 20 % , то сумма современных стоимостей этих рент составит немного бо ­ лее 2002,9 тыс. руб. (см. табл. 6 .1 ).

Размер члена заменяющей ренты равен

141

R =	2002,946	2002,946
	7 ;2 0	3,60459	x 1 ,2~3 = 960,189 тыс. руб.
Если бы заменяющая рента была немедленной, то
	Я =	2002,946	555,665 1ЫС. руб .
		3.60459 =

Таблица 6.1

Определение члена заменяющей ренты

Рента (я)	*я	пя	/	вл„-20	^ ал»20
1	100	6	20	3,32551	332,551
2	120	11	20	4 ,3 2 70 6	5 19 ,4 72
3	300	8	20	3 ,8 3 716	1 1 5 1 ,1 4 8
И т о го	520				2002,946

Продолжим пример. Пусть теперь заданным является не срок, а сумма годового платежа, скажем 1500 тыс., и необходимо най­ ти срок заменяющей ренты. Ход решения: определяется совре­ менная стоимость немедленной ренты, затем рассчитывается ее срок.

А = 2002,946 х 1 .2 3 = 3461,0 91 тыс. руб.

По формуле (6.35) получим

. „	3461,0 91 _

-,n(i	■= 3,395 года.
п = ■
	In 1 ,2

Округляем ответ до 3 или 4 лет и компенсируем нехватку по­ крытия долга или излишки (см . пояснения в § 5 .4 .) при определе­ нии срока ренты.

Рассмотрим один частный случай. Пусть член заменяющей ренты равен сумме членов заменяемых рент: R = 2! Rq. Все рен­ ты годовые, постнумерандо. Если процентная ставка у всех рент одинаковая, то в силу (6.32) получим

i - М "

142

где п — срок заменяющей ренты.

После преобразований находим
In/? - In У R0(1 + /)	"
----------Ц Г П ) "	•	,6'36)

П Р И М Е Р 6 .1 2 . Консолидируются ренты, предусматривающие го ­ довые платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 тыс. руб .; сроки этих рент 10 , 15 и 12 лет, процентная ставка у заменяющей ренты 5% годовых. Если выплаты определены в размере R = 5 тыс. р уб ., то

In 5 -	In (0,5 х 1 ,Q5~10 + 1 , 5 х 1 ,05~15 + 3 х 1,05~12)
П~	In 1,05
	= 12,6 4 года.

Рассмотренные варианты объединения рент, естественно, не охватывают все возможные случаи, с которыми можно столк­ нуться на практике. Да в этом и нет необходимости. Отправля­ ясь от равенства современных стоимостей консолидируемых и заменяющей рент, легко вывести соответствующую формулу для решения конкретной задачи.

§6.6. Изменение параметров рент

Изменение хотя бы одного условия ренты по существу озна­ чает замену одной ренты другой. Как уже отмечалось выше, та­ кая замена должна базироваться на принципе финансовой эк­ вивалентности. Из этого следует равенство современных стои­ мостей обеих рент. Что касается процентной ставки, то она мо­ жет быть сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока может потребовать некоторого ее увеличе­ ния. Отправляясь от указанного равенства, нетрудно опреде­ лить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев такой замены.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется не­ медленная рента постнумерандо с параметрами /?,, я,, процент­ ная ставка равна /. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Иначе говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с

143

параметрами R2, п2, t (t не входит в срок ренты). Здесь возмож­ ны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется R2, и наобо­ рот. Рассмотрим первую задачу при условии, что л2 = я, = п. Для этого случая справедливо следующее равенство:

Ria„.i = V	« ;/V'-
Откуда
Я2 = Я,(1	+/)'. .	(6.37)

Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за вре­ мя t члену заменяемой ренты.

В общем случае, когда п2 * я,, из равенства А, = А2 следует

R2 ш	+	(6.38)
	an2;i

где / — продолжительность отсрочки.

П Р И М Е Р 6 .1 3 . Пусть немедленная рента постнумерандо с усло­ виями Я , = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка, принятая для пролонгирования, — 20% годовых. Согласно (6 .3 7) получим

Я 2 = 2 х 1 ,2 2 = 2,88 млн руб.

Таким образом, отказ от выплаты немедленной ренты увели­ чивает ежегодные выплаты на 0,88 млн руб. Если же одновремен­ но со сдвигом начала выплат срок ренты увеличивается, скажем,

до 11 лет вместо 8	(л =	1 1 ) , то по формуле (6.38) находим
я 2 = R I 4 ^ - х 1	>22 =	2 х в ’в ^ - х 1,22 = 2,55393 млн руб.
11;20		4 ,3 270 6

Определим теперь срок новой ренты при условии, что раз­ мер члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты откладывается на t лет. Тогда из равенства

Ra„lU - Rani.jv'

находим

144

- 1п{1 - [ 1 - ( 1	+ < Г ”1(1 + <У1
------------й Г	м ----------	•	<6М)
П Р И М Е Р 6 .1 4 . Рента с условиями	Я =	2 млн р уб ., л =	5 лет,

/ = 8% откладывается на три года без изменения сумм выплат. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат. По формуле (6.39) получим

-1п [1 - ( 1 - 1,0	8 -5)1,0 8 3]	____
л2 = ---------------------------------------------		= 6,689 года.
In 1,0 8		’	д

Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обой­ дется в 1 ,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжитель­ ность новой ренты (без учета отсрочки) равна 6 годам. Современ­ ная стоимость такой ренты с учетом отсрочки равна

А2 = Яа6;8\^3 = 2000 х 4,6288 х 1 ,08~3 = 7339,58 тыс. руб.

Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна 79 8 5 ,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уп­ латить в начале действия контракта или с соответствующим нара­ щением в любой иной момент.

Замена годовой ренты на /?-срочную. Пусть годовая немедлен­ ная рента с параметрами Л,, п{ заменяется на р-срочную с па­ раметрами R2, п2, р. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то

а(р)

Причем, если п2 = пх — п, то

ат1	/>|0 +	t)X/p~	1]
n\t		/
Откуда
R2 =	п\(\ +	i)VP -	11	(6.41)
	Л,— ------j-------- 4

П Р И М Е Р 6 .1 5 . Пусть Я , = 2, л , = л2 = л. Если годовая рента по­ стнумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неиз­

145

менности срока ренты эквивалентность замены достигается толь­ ко за счет корректировки размера выплат. При условии, что / = = 20 % , находим

Я 2 = 2 х	4 ( 1 ,2 1/4 -	1)
	- - ’ „ ---------	= 1,8 6 5 4 1.
	0,2

Продолжим пример. Пусть теперь л , = 3, а п2= 4 года. Соглас­ но (6.40) получим

аз;20 2,10648

R* ~ 2 а<4*о ~ 2 * 2 ,775 5 2 “ 1>5 179 1-

Замена годовой ренты на р-срочную может быть осуществле­ на и при условии, что заданным является размер члена ренты. Определяется ее срок. В общем случае для этого сначала нахо­ дим

а(р) тА	шА а	(6.42)
п* R2	R2

Далее по формуле (5.31) определим п2.

Общий случай конверсии. Выше методы эквивалентной заме­ ны рент рассматривались применительно к постоянным дис­ кретным рентам. Однако переход от одного вида к другому воз­ можен для любых потоков платежей. В каждом случае в основу замены должно быть положено равенство соответствующих со­ временных стоимостей потоков платежей. Ограничимся одним простым примером. Заменим, например, нерегулярный поток денег постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей Rt, выплачиваемых спустя nt лет после на­ чала действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, п . Исходное уравнение эквивалентно­ сти имеет вид

,v-\

Данное равенство дает возможность определить один из па­ раметров ренты: R или п. Решение обратной задачи — опреде­ ление членов нерегулярного потока платежей — достигается только подбором величин платежей, удовлетворяющих этому равенству.

146

Математическое приложение к главе

1. Доказательство формулы (6.1)

Имеется ряд платежей: R, R + a, R + 2а, ..., R + (я - 1)а. Определим современную стоимость данного потока плате­

жей.

А = Rv + (R + a)v2 + ... + [Л + (я — l)fl]v".

(1)

Умножим это равенство на (1 + /) и вычтем из обеих частей выражения соответствующие части равенства (1 ), получим

iA — R + a v + av2 + ... + av”-1 —[Л + (я — 1 )]avn =

л- 1

= R(\ —v") + а 2 v' —nav" + av".

После чего имеем

1 —уя^ аап;( — nav"

А = R

Напомним, что

1 - V я

a„j ■

В итоге

Л- s + t N - -

2.Метод Ньютона—Рафсона

Спомощью этого метода последовательным приближением определяется нелинейная функция f(x) = 0. Общий вид рекур­ рентного соотношения:

f(xk)	(•)
f . (Xky

где к — номер итерации, хк — значение х после к-й итерации, f ( x k) — значение производной функции f(xk).

147

Основная задача заключается в разработке функции f(x), удобной для дальнейших преобразований. Применим метод для вывода формулы (6.26).

В качестве заданной принимается величина А. Исходная

функция А = Ranb. Таким образом,
/(&) =	1 -	е~Ьп	(2)
	* —	--------Л = 0.
Разделим это выражение на R и умножим на 6:
/ ( 6) =	1 —е~Ьп —“ 6 = 0 .		(3)

Отношение А/R определяется условиями задачи. Преобразу­ ем полученную функцию и найдем ее производную:

/'(б )-/1 в -б*хя- 4 -		(4)
' '	А

Подставим в общую запись рекуррентного соотношения (1) полученные значения функции и ее производной. Можно на­ писать искомую итерационную формулу (6.26):

1	х л	А я
Х'	6	~ ~ В Ьк
&JUI ” ------------------		■:—
	П е - Ь х п	- —
		R

Очевидно, что, чем ближе начальное значение ставки (60) к истинному, тем меньше потребуется итераций.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997. Гл. 3.

2.Четыркин ЕМ . Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. §5.5.

3.Четыркин Е.М., Васильева Н. Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­ нансы и статистика, 1990. Гл. 4.

4.Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

§7.1. Общая постановка задачи. Линейная модель

В практике финансово-экономического анализа довольно часто возникает необходимость определить барьерное (порого­ вое, критическое, предельно допустимое) значение некоторо­ го параметра. Под барьерным значением параметра понимает­ ся такая его величина, превышение которой приводит к поло­ жительному или, наоборот, отрицательному конечному эконо­ мическому результату в рамках некоторой производственной или финансовой системы. Например, если речь идет об опре­ делении объема производства какого-то продукта, то порого­ вым его значением является такой объем выпуска, при кото­ ром полученная прибыль равна нулю. Превышение этого объ­ ема дает прибыль, производство в меньшем объеме оказывает­ ся убыточным. Подобная и многие другие, сходные по общей постановке, задачи решаются с помощью метода барьерной или критической точки (break-even point). Метод барьерной точки широко используется в финансовом проектировании, при раз­ работке бизнес-планов и при решении разнообразных проб­ лем: при определении порогового значения процентной став­ ки, цены товара, срока выполнения финансовой операции и т.д.

Наиболее простая постановка задачи осуществляется с помо­ щью линейной модели, которая и рассматривается в данном па­ раграфе. Разумеется, такая постановка не является единственно возможной. Некоторые пути для дальнейшего развития метода предлагаются в следующих параграфах главы. Причем часть из рассмотренных здесь проблем, например барьерные точки для налоговых ставок и барьерные точки в условиях неопределен­ ности, до сих пор не обсуждались в финансовой литературе.

149

Заметим, что до недавнего времени метод барьерной точки применялся, так сказать, в статике. Экономические показатели рассматривались в рамках одного, сравнительно короткого пе­ риода. В последнее время этот метод распространяется и на по­ токи платежей, охватывающих ряд последовательных времен­ ных интервалов. В этих случаях с помощью дисконтирования стал учитываться важнейший фактор — время (а именно, сро­ ки инвестирования и сроки отдачи от инвестиций).

Для начала рассмотрим наиболее простой и весьма условный вариант статической постановки задачи, к которому обычно прибегают при объяснении сути метода. Пусть необходимо най­ ти пороговый объем производства одного вида продукта при ус­ ловии, что все необходимые для анализа количественные зави­ симости описываются линейными выражениями, иначе говоря, применяется линейная модель.

Для записи такой модели примем обозначения:

Q — объем производства (в натуральном или условно-нату- ральном измерении);

F — постоянные производственные затраты, затраты, не за­ висящие от объема выпуска;

с — переменные, или пропорциональные затраты (в расчете на единицу продукции);

р — цена единицы продукции; S — общая сумма затрат;

V — стоимость выпущенной продукции; Р — размер прибыли до уплаты налогов.

Переменные Q, F, S, V, Р определяются в расчете на одина­ ковый интервал времени, обычно на один год.

Для начала найдем стоимость выпущенной продукции и со­ ответствующую сумму затрат:

V=pQ,	(7.1)
S = F + c Q .	(7.2)

Искомый критический объем производства или барьерную точку получим на основе равенства стоимости выпущенной продукции и суммы затрат: V = S. Именно равенство двух раз­ нородных экономических показателей, каждый из которых яв­ ляется функцией одной управляющей переменной (в рассматри­

1S0