Менеджмент.Финансовая математика

Что касается фактической доходности для кредитора новых условий займа, то здесь ограничимся лишь очевидным замеча­ нием, что она будет ниже, чем до реструктурирования. Методи­ ка расчета размера процентной ставки на основе показателей потока платежей обсуждалась в гл. 5.

П Р И М Е Р 9 .1 2 . Реструктурируется долг в сумме 1000 ден. ед ., срок 5 лет, без льготного периода, погашение задолженности по методу постоянных срочных уплат, выплаты постнумерандо, про­

центы за кредит по ставке	12 % годовых. Обсуждается два вари­
анта:
— увеличение срока до	8 лет, снижение платы за кредит до
1 1 ,5 % :

—увеличение срока до 10 лет, введение льготного периода 3 года, снижение платы за кредит до 1 1 ,7 5 % .

При сравнении вариантов реструктуризации следует учесть, что на денежном рынке кредиты на аналогичные сроки и с близ­ кой степенью надежности открывают по 12 % . Предпочтительным для должника, естественно, является вариант с наименьшей сов­ ременной стоимостью выплат. Для первого варианта находим:

О		1000
Vl ” а8;12:	~	Х а8;,1;5 “ 5,055637 х 4 ,9 6 76 4 “ 982,6,

Для второго варианта получим (см. (9 .15 )):

D

Уо =

			а 1 0 - 3 ; 1 1 ,7 5
А2 = Dg2 х а3;12 +	Y2 х а 10_3;12 х v3 =			1000 х 0 ,1 1 7 5 х 2,40 18 31 +
+ ,		*	4,5 6375 6 х	1 ,1 2 - 3 = 988,4;
4,6 00164
		Л ,	< А2 < 1000.

§9.6. Ипотечные ссуды

Ссуды под залог недвижимости или ипотеки (mortgage) полу­ чили широкое распространение в странах с развитой рыночной экономикой как один из важных источников долгосрочного финансирования. В такой сделке владелец имущества ( mort­ gagor•) получает ссуду у залогодержателя ( mortgagee) и в качестве

201

обеспечения возврата долга передает последнему право на пре­ имущественное удовлетворение своего требования из стоимости заложенного имущества в случае отказа от погашения или не­ полного погашения задолженности. Сумма ссуды обычно не­ сколько меньше оценочной стоимости закладываемого имуще­ ства. Наиболее распространенными объектами залога являются жилые дома, фермы, земля, другие виды недвижимости. Хара­ ктерной особенностью ипотечных ссуд является длительный срок погашения.

Ипотечные ссуды выдаются коммерческими и специальны­ ми ипотечными банками (например, земельными), различными ссудно-сберегательными ассоциациями. Ипотечный кредит для приобретения жилья начали практиковать и в России. Первой в этом отношении стала Москва. В 1999 г. этот вид кредита ста­ ли открывать четыре кредитные организации. По условиям Инвестсбербанка и Собинбанка заемщик оплачивает 30% стоимо­ сти квартиры, а на остальную сумму получает кредит на 10 лет по ставке 10% в валюте.

Существует несколько видов ипотечных ссуд, различающих­ ся в основном методами погашения задолженности. Большин­ ство видов являются вариантами стандартной или типовой ипотечной ссуды. Суть ее сводится к следующему. Заемщик по­ лучает от залогодержателя (кредитора) некоторую сумму под за­ лог недвижимости (например, при покупке или строительстве дома). Далее он погашает долг вместе с процентами равными, обычно ежемесячными, взносами.

Модификации стандартной схемы ипотеки нацелены на повышении ее гибкости в учете потребностей как должника, так и кредитора. Так, некоторые из них имеет целью снизить расходы должника на начальных этапах погашения долга, пе­ ренося основную их тяжесть на более поздние этапы. Такие ипотеки привлекают тех клиентов, которые ожидают рост своих доходов в будущем, например, начинающих предприни­ мателей и фермеров. Привлекательна такая ипотека и для мо­ лодых семей при строительстве или покупке жилья. В других схемах тем или иным путем в большей мере учитывается про­ центный риск. Кратко охарактеризуем некоторые схемы ипо­ тек.

Ссуды с ростом платежей (graduated mortgage, GPM). Данный вид ссуды предусматривает постоянный рост расходов по об­ служиванию долга в первые годы. В оставшееся время погаше­

202

ние производится постоянными взносами. Вариантом такой ипотеки является ссуда, погашение которой происходит по со­ гласованному графику: каждые 3—5 лет увеличивается сумма взносов.

Ссуда с льготным периодом. В условиях ипотеки предпола­ гается наличие льготного периода, в течение которого выпла­ чиваются только проценты по долгу. Такая схема в наиболь­ шей мере сдвигает во времени финансовую нагрузку долж­ ника.

В последние два десятилетия в практику вошли и более сложные схемы погашения долга по ипотеке, преследующие в конечном счете те же цели — быть более гибкими и удобными для клиентов.

Как уже отмечалось, ипотечные ссуды выдаются на дли­ тельные сроки. Даже в стабильной экономике это связано с определенным риском, в частности, риском изменения про­ центной ставки на рынке кредитов. Некоторую страховку от такого риска обеспечивают условия ссуд, относящиеся к уровню процентной ставки. К таким ипотекам относятся сле­ дующие.

Ссуды с периодическим изменением процентной ставки (rollover mortgage, RM). Схема этой ссуды предполагает, что стороны ка­ ждые 3—5 лет пересматривают уровень процентной ставки. Та­ ким образом, происходит периодически возобновляемое сред­ несрочное кредитование при долгосрочном погашении всей за­ долженности. Этим самым создается возможность для некото­ рой, конечно неполной, адаптации к изменяющимся условиям рынка.

Ипотека с переменной процентной ставкой (variable-rate mort­ gage, VRM). Уровень ставки здесь “привязывается” к какомулибо распространенному финансовому показателю или индек­ су. Пересмотр ставки обычно осуществляется по полугодиям. Чтобы изменения ставок не были очень резкими, предусматри­ ваются верхняя и нижняя границы разовых коррективов (на­ пример, не более 2%).

Основной задачей при анализе ипотек является разработка планов погашения долга. Важно также уметь определить сумму остатка задолженности на любой момент процесса погашения. Ниже обсуждаются методы решения этих проблем для трех ипотечных схем.

203

§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам

Наиболее распространенной является ипотечная ссуда, усло­ вия которой предполагают равные взносы должника, взносы ежемесячные постнумерандо или пренумерандо. В договоре обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, реже го­ довая номинальная.

В осуществлении ипотеки при покупке (строительстве) объ­ екта залога участвует три агента: продавец, покупатель (долж­ ник), заимодавец (кредитор). Взаимосвязи между ними показа­ ны на блок-схеме (см. рис. 9.2).

			ПРОДАВЕЦ
	ИМУЩЕСТВО			ОПЛАТА
		120		100 + 20
	ССУДА	100
КРЕДИТОР	ЗАЛОГ	100	ПОКУПАТЕЛЬ
t	ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА		R

Рис. 9.2

Продавец получает от покупателя за некоторое имущество полную его стоимость (120). Для этого покупатель получает ссу­ ду под залог этого имущества (100) и добавляет собственные средства (20). Задача заключается в определении размера еже­ месячных погасительных платежей R и остатка задолженности на момент очередного ее погашения вплоть до полной оплаты долга.

Поскольку погасительные платежи (взносы) представляют собой постоянную ренту, при решении поставленной задачи применим тот же принцип, что и при разработке плана погаше­ ния долгосрочного долга равными срочными уплатами. Для этого приравняем современную величину срочных уплат сумме ссуды. Для месячных взносов постнумерандо находим:

D

где D — сумма ссуды; N — общее число платежей, N = 12п (л — срок погашения в годах); / — месячная ставка процента; R — ме-

204

сячная сумма взносов; aN.t — коэффициент приведения посто­ янной ренты.

Искомая величина взноса составит

R =	D	(9.20)
	= Dc.

aN:i

Врамках решаемой проблемы величину с = 1/aN.t можно на­ звать коэффициентом рассрочки. Для рент пренумерандо получим

R	------- (1 + /)•	(9.21)
	a N\l

Найденная по формуле (9.20) или (9.21) величина срочной уплаты является базой для разработки плана погашения долга. Согласно общепринятому правилу из этой суммы прежде всего выплачиваются проценты, а остаток идет на погашение долга.

П Р И М Е Р 9 .1 3 . Под залог недвижимости выдана на 10 лет ссуда

в размере 100 млн руб . Погаш ение ежемесячное	постнумерандо,
на долг начисляются проценты по номинальной	годовой ставке
12 % . Таким образом, N = 120, / = 0 ,0 1; находим: а 120;1 = 69,700 52.
Для этих условий ежемесячные расходы должника равны

R =	100 000	= 14 3 4 ,70 9 тыс. руб.
	69,70052
Проценты за	первый	месяц равны 100 000 ж 0 ,0 1 =

= 1000 тыс. р уб ., на погашение долга остается. 14 3 4 ,71 — 1000 =

= 4 3 4 ,71	тыс. руб. План погашения долга представлен в таблице.
Месяц	Остаток долга	Взнос	Проценты	Погашение
1	на начало месяца			долга
	100000,00	14 3 4 ,71	1000,00	4 3 4 ,71
2	99565,29	14 3 4 ,71	995,65	439,06
3	99126,23	14 3 4 ,71	99 1,2 6	443,45
3 7	8 12 7 4 ,0 7	14 3 4 ,71	8 1 2 ,7 4	6 2 1,9 7
38	80652,10	14 3 4 ,71	806,52	6 28 ,19
39	8 0 0 17,6 3	14 3 4 ,71	800,24	6 3 4 ,4 7
118	4 219 ,3 5	14 3 4 ,71	42,20	1392,5
119	2826,94	14 3 4 ,71	2 8 ,2 7	1406,44
120	1420,50	14 3 4 ,71	14 ,2 1	1420,50

205

Как показано в таблице, в первом месяце расходы на выплату процентов и погаш ение основного долга соотносятся как 10 0 0 :4 3 4 ,71; в последнем месяце — уже как 1 4 ,2 1:14 2 0 ,5 .

Перейдем к другой проблеме. При выдаче ссуды под залог для обеих сторон важно знать сумму погашенного долга и его остаток на любой промежуточный момент (необходимость в этом возникает, например, при прекращении договора или его пересмотре). С этой проблемой мы уже встречались выше при обсуждении метода погашения долга равными срочными упла­ тами. Применительно к условиям стандартной ипотеки нахо­ дим следующие соотношения:

d, = </,_,(1 + 0 = </,(! + / Г 1,

где dt — сумма погашения долга, t — порядковый номер меся­ ца, / — месячная ставка процента.

Остаток долга на начало месяца

Z) ,+1 = D,~ dt, t= 1 , ..., 12я.

Последовательные суммы погашения долга представляют со­ бой геометрическую профессию с первым членом d[ и знаме­ нателем (1 +0 »причем

</, = /? - Di.

(9.22)

Сумму членов этой профессии от начала погашения до t включительно найдем следующим образом:

(9.23)

где srj — коэффициент наращения постоянной ренты постну­ мерандо.

Остаток долга на начало месяца находим как разность

4+1 =

(9-24)

П Р И М Е Р 9 .1 4 . По условиям ипотечного займа примера 9 .13 най­ дем остаток долга на начало, скажем, 118 -го месяца:

206

D 118 = D , - W 117; IV ,„ =	d ,s 117 = 4 3 4 ,71 x 220,3329 = 95780,65,
откуда
D 118 = 100 000 -	95780,65 = 4219 ,3 5 тыс. руб.

Стандартная ипотека с неполным погашением задолженности и выплатой в конце срока остатка долга (balloon mortgage). Условия такой ипотеки позволяют уменьшить размеры периодических взносов и (или) сократить срок ссуды. Срочные уплаты рассчи­ тываются таким образом, что они не покрывают всей задолжен­ ности, остаток (balloon), обозначим его как В, выплачивается в конце срока. Уравнение, балансирующее условия ипотеки, име­ ет вид

D = RaN./ + BvN.

Баланс достигается одним из следующих способов:

а) задается размер срочных уплат, определяется величина В:

В=(1 + I)"( D - R a Ni);

б) задается В, определяется размер срочных уплат:

D, - BvN

R =

a N;i

Далее расчет ведется по уже рассмотренной схеме.

Ссуда с периодическим увеличением взносов. В этом варианте ипотеки задается последовательность размеров взносов. Пусть увеличение взносов происходит через равные интервалы време­ ни т. В пределах каждого интервала взносы постоянны. Оче­ видно, что для полной сбалансированности схемы размер пос­ леднего взноса не задается, он определяется по сумме остатка задолженности.

Пусть Л,,..., Rk — размеры взносов. Определим размер пос­ леднего взноса. Для этого найдем на начало операции сумму современных стоимостей взносов от первого до к —1. Обозна­ чим ее как Q:

г»	(f-l)m
<? - 1	v	•

207

Современная стоимость непокрытой взносами задолженно­ сти на начало последнего периода

W= D - Q,

откуда размер взносов в последнем периоде ипотеки

	W
Rк а /П,/	'

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (9.19)

Исходное равенство

G

w - 1

Современная стоимость поступлений по рыночной ставке / равна

G= Dgx aL;i+ Yan_l;j vL.

По определению

D

Y =

an-Lx

откуда

G 1

о " *"*< + ~ 7T a"-"

n~L\g

Таким образом,

w - 1 - —	v‘ + g x aL.j
a n -L ;g

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Четыркин E.M. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 7,8.

Глава 10

ИЗМЕРЕНИЕ ДОХОДНОСТИ

§10.1. Полная доходность

Доходы от финансово-кредитных операций и различных коммерческих сделок имеют различную форму: проценты от выдачи ссуд, комиссионные, дисконт при учете векселей, дохо­ ды от облигаций и других ценных бумаг и т.д. Само понятие “доход” определяется конкретным содержанием операции. Причем в одной операции часто предусматривается два, а то и три источника дохода. Например, ссуда приносит кредитору проценты и комиссионные, владелец облигации помимо про­ центов (поступлений по купонам) получает разницу между вы­ купной ценой облигации и ценой ее приобретения. В связи со сказанным возникает проблема измерения доходности опера­ ции с учетом всех источников поступлений. Обобщенная хара­ ктеристика доходности должна быть сопоставимой и примени­ ма к любым видам операций и ценных бумаг. Обычно степень финансовой эффективности (доходности) этих операций изме­ ряется в виде годовой ставки процентов — чаще сложных, ре­ же простых. Искомые показатели получают исходя из общего принципа — все вложения и доходы с учетом конкретного их ви­ да условно приравниваются эквивалентной (равнодоходной) ссуд­ ной операции.

Решение проблемы измерения и сравнения степени доход­ ности финансово-кредитных операций заключается в разработ­ ке методик расчета условной годовой ставки для каждого вида операций с учетом особенностей соответствующих контрактов и условий их выполнения. Такие операции различаются между собой во многих отношениях. Эти различия на первый взгляд могут и не представляться существенными, однако практически все условия операции в большей или меньшей мере влияют на конечные результаты — финансовую эффективность.

209

Расчетная процентная ставка, о которой идет речь, получила различные названия. В простых депозитных и ссудных операци­ ях она называется эффективной, в расчетах по оценке облигаций ее часто называют полной доходностью, или доходностью на мо­ мент погашения, доходностью к погашению (yield to maturity). В

анализе производственных инвестиций для аналогичного по со­ держанию показателя применяется термин внутренняя норма до­ ходности, или внутренняя норма процента (internal rate of return,

IRR). Этот термин в настоящее время широко распространен за рубежом и вне рамок производственных инвестиций — его час­ то применяют в коммерческой и банковской практике. Свое на­ звание данный показатель, по-видимому, получил в связи с тем, что он адекватен всем условиям инвестиционного проекта в со­ вокупности и непосредственно не фигурирует в контрактах. На наш взгляд, этот термин не вписывается в принятую у нас тер­ минологию. Поэтому в дальнейшем во всех случаях, кроме ана­ лиза производственных инвестиций, будем называть соответст­ вующую годовую ставку полной доходностью (ПД).

Итак, под ПД понимают ту расчетную ставку процента, при которой капитализация всех видов доходов от операции равна сумме инвестиций и, следовательно, капиталовложения окупа­ ются, иначе говоря, начисление процентов на вложения по ставке, равной ПД, обеспечит выплату всех предусмотренных платежей. Применительно к облигации это означает равенство цены приобретения облигации сумме дисконтированных по ПД купонных платежей и выкупной цены; для ссудной операции — равенство действительной суммы кредита (т.е. кредит за выче­ том комиссионных) сумме дисконтированных поступлений (процентов и погашений долга). Чем выше ПД, тем больше эф­ фективность операции. При неблагоприятных условиях ПД мо­ жет быть нулевой или даже отрицательной величиной. Показа­ тель ПД является не только измерителем доходности операции для кредитора, но и характеризует цену кредита для должника. Следует отметить, что при получении кредита должник может нести какие-либо дополнительные разовые расходы, которые увеличат цену кредита, но оставят без изменения доходность кредитной операции для владельца денег.

Основное внимание в главе уделено проблеме оценки ПД для конкретных видов финансовых операций и анализу факто­ ров, влияющих на этот показатель. Кроме того, здесь обсужда­ ются методы сравнения контрактов, предусматривающих кре­ дитование.

210