Менеджмент.Финансовая математика

Е.М.ЧЕТЫРКИН

ФИНАНСОВАЯ

МАТЕМАТИКА

РЕКОМЕНДОВАНО В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ ВУЗОВ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ

■ФИНАНСЫ И КРЕДИТ*, 'БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ' И 'МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА'

АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФВДЕРАЦИИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ‘ПЕЛ О”

МОСКВА 2000

УД К 3 3 6 .6 (0 75 .8 )

ББ К 65 .26 я73

4 5 4

Четыркин Е.М.

454 Финансовая математика: Учеб. — М.: Дело, 2000. —

400 с.

ISBN 5-7749-0193-9

Учебник содержит последовательное и систематизированное изложе­ ние проверенных практикой методов количественного анализа финан­ совых и кредитных операций. Охвачены как традиционные методы раз­ нообразных расчетов, так и методы, вошедшие в практику в последнее десятилетие. Подробно обсуждаются различные методы начисления процентов, обобщающие характеристики потоков платежей, методики определения эффективности краткосрочных инструментов и долп р о ч ­ ных финансовых операций, включая производственные инвестиции и облигации.

Книга предназначена студентам экономических вузов и лицам, при­ меняющим финансовые вычисления в своей работе, — сотрудникам банков, инвестиционных организаций, пенсионных фондов и страховых компаний.

ISBN 5-7749-0193-9

УДК 336.6(075.8) ББК 65.26я73

© Издательство “Дело”, 2000

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ..............................................................................................	6
Глава 1. ПРЕДМЕТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ................................	II
§1.1. Финансовая математика — основа количественного анализа
финансовых операций...............................................................................	11
§1.2. Время как фактор в финансовых расчетах.............................................	15
§1.3. Проценты, виды процентных ставок.......................................................	17
Глава 2. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ
ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ..........................................................................	20
§2.1. Формула наращения .................................................................................	20
§2.2. Погашение задолженности частями .......................................................	26
§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите...............................	30
§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам.
Наращение по учетной ставке ................................................................	31
§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов
и дисконтировании по простым ставкам................................................	34
§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки .................	36
§2.7. Конверсия валюты и наращение процентов...........................................	38
Глава 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ...................................................................	43
§3.1. Начисление сложных годовых процентов .............................................	43
§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам..........................	48
§3.3. Наращение процентов т раз в году.
Номинальная и эффективная ставки.......................................................	49
§3.4. Дисконтирование по сложной ставке .....................................................	53
§3.5. Операция со сложной учетной ставкой..................................................
§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
и дисконтирования по разным видам процентных ставок...................	57
§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки......................	59
§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование.
Непрерывные проценты............................................................................	61
Математическое приложение к главе.................................................................	65
Глава 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ.
КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ ............................................................................	66
§4.1. Средние процентные ставки.....................................................................	66
§4.2. Эквивалентность процентных ставок.......................................................	68
§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей . . .	73
§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта...................	79
§4.5. Налоги и инфляция....................................................................................	82
§4.6. Кривые доходности....................................................................................	89

3

Глава 5. ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ ....................................	94
§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры ............................	94
§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо........................	100
§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо................	107
§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо.................	113
§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов
постоянных р е н т ........................................................................................	119
Глава 6. ПЕРЕМЕННЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ.
КОНВЕРСИЯ РЕНТ .....................................................................................	126
§6.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей.....................	126
§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей.................	130
§6.3. Постоянная непрерывная рента ..............................................................	132
§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей ........................................	136
§6.5. Конверсии рент..........................................................................................	139
§6.6. Изменение параметров рент.....................................................................	143
Математическое приложение к главе................................................................	147
Глава 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ...............................................................................................	149
§7.1. Общая постановка задачи. Линейная модель........................................	149
§7.2. Нелинейные модели .................................................................................	153
§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе ......................................	156
§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение
барьерной точки ........................................................................................	159
§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определе­
нию .............................................................................................................	161
Математическое приложение к главе................................................................	166
Глава 8. РИСК И ДИВЕРСИФИКАЦИЯ .......................................................	168
§8.1. Р и ск .............................................................................................................	168
§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода...............................	171
§8.3. Минимизация дисперсии дохода..............................................................	178
Математическое приложение к главе................................................................	182
Глава 9. ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛ­
ЖЕННОСТИ ...............................................................................................	184
§9.1. Расходы по обслуживанию долга ...........................................................	184
§9.2. Создание погасительного ф онда..............................................................	185
§9.3. Погашение долга в рассрочку...................................................................	189
§9.4. Льготные займы и кредиты .....................................................................	196
§9.5. Реструктурирование займа .......................................................................	200
§9.6. Ипотечные ссуды .....................................................................................	201
§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам ................................................................	204
Математическое приложение к главе................................................................	208
Глава 10. ИЗМЕРЕНИЕ ДОХОДНОСТИ .......................................................	209
§10.1. Полная доходность...................................................................................	209
§10.2. Уравнение эквивалентности ...................................................................	211
§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссион­
ных .............................................................................................................	213
§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов.....................	216
§10.5. Долгосрочные ссуды.................................................................................	223
§10.6. Упрощенные методы измерения доходности
(долгосрочные ссуды)..............................................................................	225

4

Глава И. ОБЛИГАЦИИ ...................................................................................	229
§11.1. Виды облигаций и их рейтинг................................................................	229
§11.2. Измерение доходности облигаций.........................................................	233
§11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций	. . . 239
§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска	. . . 243
§11.5. Оценивание займов и облигаций...........................................................	248
Глава 12. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ИНВЕСТИЦИИ. ИЗМЕРИТЕЛИ
ФИНАНСОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ.........................................................	253
§12.1. Характеристики эффективности производственных инвестиций	. . . 253
§12.2. Чистый приведенный доход ..................................................................	260
§12.3. Свойства чистого приведенного дохода................................................	263
§12.4. Внутренняя норма доходности ..............................................................	267
§12.5. Срок окупаемости ...................................................................................	273
§12.6. Индекс доходности .................................................................................	277
§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности..............	278
§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности .................................	280
§12.9. Моделирование инвестиционного процесса........................................	281
§12.10. Анализ отзывчивости ............................................................................	285
Математическое приложение к главе................................................................	287
Глава 13. Л И ЗИ Н Г .............................................................................................	289
§13.1. Финансовый и оперативный л и зи н г....................................................	289
§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту..........	292
§13.3. Методы расчета лизинговых платежей..................................................	295
Глава 14. ФОРФЕЙТНАЯ ОПЕРАЦИЯ .........................................................	305
§14.1. Сущность операции а форфэ ................................................................	305
§14.2. Анализ позиции продавца.......................................................................	306
§14.3. Анализ позиций покупателя и банка....................................................	313
Математическое приложение к главе................................................................	318
Глава 15. КОРОТКО ОБ ОПЦИОНАХ...........................................................	319
§15.1. Сущность опциона, основные понятия ................................................	319
§15.2. Цена опциона ..........................................................................................	325
§15.3. Модель Блека—Шоулза ..........................................................................	327
Глава 16. СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ...........................................................	331
§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании ......................................	331
§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности....................................	333
§16.3. Коммутационные функции.....................................................................	339
§16.4. Стоимость страхового аннуитета...........................................................	342
Глава 17. ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ ..............................................................	349
§17.1. Нетго-премии в личном страховании ..................................................	349
§17.2. Страхование жизни .................................................................................	352
§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем ............................	354
§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы ...............................	356
§17.5. Страховые пенсионные схемы................................................................	359
§17.6. Страховые резервы в личном страховании...........................................	365
ПРИЛОЖЕНИЕ.................................................................................................	376
Таблицы................... ............................................................................................	376

ПРЕДИСЛОВИЕ

Высшие финансовые вычисления — так называлась дисци­ плина, в рамках которой в высших коммерческих учебных за­ ведениях дореволюционной России1изучались методы финан­ совых расчетов, применяемых в финансовых операциях. Вряд ли есть необходимость в сохранении данного названия в сов­ ременных условиях. Общепринято именовать эту дисциплину финансовая математика. Оно и принято для настоящего учеб­ ника.

Потребность в овладении методикой финансовых расчетов осознанна и в современной России. В связи с этим во многих экономических вузах страны в рамках различных дисциплин изучаются отдельные темы и проблемы, которые можно отне­ сти к высшим финансовым вычислениям. В частности, неко­ торые расчетные методы рассматриваются в курсах “Кредит”, “Финансовый менеджмент”, “Операции с ценными бумагами” и т. п. Однако полного, систематизированного курса финансо­ вых вычислений, базирующегося на общей методологии, еще нет. Настоящий учебник нацелен на восполнение отмеченного пробела. Он содержит последовательную характеристику сов­ ременных методов финансовых вычислений. Автор ограничил­ ся основными методами и той степенью детальности, которая представлялась целесообразной в рамках учебника. Вместе с тем, учебник позволяет ознакомиться с основными направле­ ниями количественного финансового анализа, с применяемым при этом математическим аппаратом, понять важность и необ­

1В Московском коммерческом училище (ныне Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова) функционировала соответствующая кафедра. Руководитель этой кафедры Н.С. Лунский опубликовал фундаментальный для своего времени учебник “Высшие финансовые вычисления”. М., 1916. Нельзя не упомянуть и о замечательной книге Б.Ф.Малешевского “Теория и практи­ ка пенсионных касс”. СПб., 1890, первый том которой “Теория долгосрочных финансовых вычислений” посвящен основам высших финансовых вычисле­ ний.

6

ходимость строгого аналитического решения соответствующих проблем. Основой здесь является, так сказать, “техническая” сторона — методы расчетов, измерение влияния отдельных фа­ кторов на финансовые параметры, взаимозависимости этих па­ раметров. Поведенческая сторона участников финансовых опе­ раций, которая безусловно играет важную роль, не затрагива­ ется.

Учебник можно условно разделить на четыре раздела, разли­ чающиеся по своему назначению. В первом (гл. 1—4) рассмат­ риваются основные понятия, которые применяются в финансо­ вых вычислениях, — проценты, система процентных ставок, наращение процентов, дисконтирование платежей и т.д. в слу­ чаях, когда предусматриваются разовые выплаты. Обсуждаются здесь и важные в практическом отношении “сопутствующие” проблемы, в частности, — учет инфляции, конверсия валюты и наращение процентов, сбалансированные изменения условий контрактов и т.д.

Во втором разделе (гл. 5—6) обсуждаются проблемы, относя­ щиеся к количественному анализу разнообразных потоков (по­ следовательностей) платежей и, в частности, финансовых рент. С потоками платежей в практике встречаются каждый раз, ко­ гда по условиям операции платежи распределены во времени. Без знания количественных соотношений между показателями, характеризующими потоки платежей, нельзя понять механизм любой долгосрочной финансовой операции.

Материал первых двух разделов учебника представляет со­ бой основу, которая за редкими исключениями используется

ванализе любых конкретных финансово-кредитных опера­ ций.

Впрактических расчетах часто сталкиваются с ситуациями, когда некоторые параметры операций нельзя заранее однознач­ но определить и возникает необходимость в расчете некоторых крайних значений результирующих показателей. В связи с этим

втретий раздел учебника включены гл. 7 и 8, имеющие в ос­ новном общий методологический характер. В первой из них

рассматриваются способы определения барьерных или критиче­ ских значений экономических, в том числе финансовых, пара­ метров. Во второй — в теоретическом плане обсуждается проб­ лема измерения риска в финансовых расчетах и влияния дивер­ сификации на его величину.

Характеристика методов количественного анализа, применя­ емых при решении конкретных практических задач, сосредото­

7

чена в четвертом разделе учебника (гл. 9—17). Объектами ана­ лиза здесь являются проблемы из самых различных областей финансово-кредитной деятельности. Так, гл. 9 посвящена раз­ работке планов погашения долгосрочных займов, реструктури­ рованию задолженности и ипотекам. Методология измерения доходности различных кратко- и долгосрочных финансовых ин­ струментов обсуждается в гл. 10. Много внимания уделено про­ изводственным инвестициям — методам расчета параметров их экономической эффективности, факторам, влияющим на эти параметры (гл. 12). Особое место в этом разделе занимают по­ следние две главы, в которых потоки платежей используются в страховых (актуарных) расчетах, главным образом в расчетах по личному страхованию.

В учебнике рассматриваются как теория, так и практика расчетов. Приводятся доказательства ряда соотношений фи­ нансовых параметров, часть из которых вынесены в Матема­ тические приложения к соответствующим главам. Уместно в связи с этим отметить, что в ряде опубликованных учебных пособий по финансовым вычислениям указывается, что для экономиста важны готовые формулы и нет необходимости знать, как они получены. Это заблуждение. Доказательства важны как для осознанного применения формул, так и для са­ мостоятельного вывода необходимых соотношений, не охва­ ченных учебником. Большое количество примеров, как наде­ ется автор, позволит читателю овладеть соответствующими на­ выками. В ряде случаев примеры содержат дополнительные методические сведения и имеют самостоятельную познава­ тельную ценность.

Как известно, для наиболее распространенных видов финан­ совых расчетов имеются стандартные программы, в частности, раздел “финансовые функции” в известном программном про­ дукте Excel. В учебнике, там, где это представляется полезным, приводятся комментарии и рекомендации по применению со­ ответствующих программ данного пакета. Необходимость в этом вызвана главным образом тем, что перевод инструкций для данного продукта на русский язык выполнен крайне неак­ куратно. Зачастую трудно даже понять, о каком финансовом показателе идет речь. В ряде случаев программы Excel преду­ сматривают лишь частные постановки задач.

Для овладения большинством тем высших финансовых вы­ числений достаточно знания школьного курса алгебры, и в осо­ бенности, прогрессий. Там, где речь идет о непрерывных про­

8

цессах, необходимы начальные знания анализа (производные и интегралы некоторых несложных функций). Разделы, связан­ ные с измерением риска и страховыми расчетами, требуют зна­ комства с основными понятиями теории вероятностей, параме­ трами стандартных распределений случайных величин и неко­ торыми свойствами дисперсий в пределах обычного курса ста­ тистики экономического вуза.

При написании двух первых разделов учебника по возмож­ ности полно использована принятая в дореволюционной Рос­ сии финансовая терминология. Правда, не все термины той по­ ры были сохранены. Например, вместо бытовавшего словосоче­ тания “настоящая цена” (имелась в виду сумма дисконтирован­ ных членов ренты) в учебнике используются термины “совре­ менная стоимость” или “современная величина”.

В ходе написания остальных разделов автор неоднократно сталкивался с отсутствием в русском языке адекватных и усто­ явшихся современных экономических и финансовых терминов. В этих случаях он старался избегать буквальных “калек” с анг­ лийского, если только они не укоренились в отечественной ли­ тературе, как, например, лизинг или опцион, и подбирал наи­ более близкие по смыслу русские слова и словосочетания. Сле­ дует заметить, что в финансовой литературе, вероятно для при­ дания ’’научности”, такие кальки стали появляться сравнитель­ но часто. Добро бы они содержались только в переводной ли­ тературе. Увы, с большой скоростью англицизмы распространя­ ются и в публикациях российских авторов. Примерами такого, прямо скажем, неприличного заимствования могут служить по­ явившиеся в финансовой литературе термины “компаундинг” (калька с compounding) вместо — наращение процентов, или расчет наращенной суммы, волатильность (volatility) вместо из­ менчивость, или колеблемость. И уж совсем непристойно при­ менять термин “перпетуитет” {perpetuity) вместо давно принято­ го — вечная рента. Без таких заимствований вполне можно обойтись. Что касается сравнительно недавно появившегося в переводной и оригинальной литературе по инвестициям терми­ на “дюрация” (duration), то он режет слух. Вполне можно подо­ брать русский эквивалент для обозначения данного финансово­ го параметра. Уместно упомянуть о том, что во Франции, где бережно относятся к родному языку, принят закон, согласно которому применение англицизмов в тех случаях, когда суще­ ствуют адекватные французские термины, является наказуе­ мым.

9

Учебник написан на основе курса лекций, которые автор в свое время прочитал в Московском финансовом институте (ны­ не Финансовая академия при Правительстве РФ) и в Междуна­ родном университете в Москве. При подготовке рукописи ис­ пользованы методические материалы, разработанные им для ряда страховых организаций, пенсионных фондов, в том числе пенсионного фонда ООН, членом Комитета актуариев которо­ го автор был в течение 25 лет, и некоторых финансово-кредит­ ных институтов, а также выпущенные им монографии1.

1 См.: “Методы финансовых и коммерческих расчетов”. 2-е изд. М.: Дело, 1995; “Финансовый анализ производственных инвестиций”. М.: Дело, 1998; “Актуарные расчеты в негосударственном медицинском страховании”. 2-е изд. М.: Дело, 2000.