14

можно выделить три вступления Строя промежуточные лучи, на временном разрезе можно восстановить характер синклинали в виде «петли». Завершите процедуру, по- строив годограф на рис.4.18b.

На рис.4.19 и 4.20 показаны два примера полевых данных, содержащих синкли- нали и антиклинали. На рис.4.19 обратите внимание, что в результате миграции синк- линаль расширяется, а антиклиналь сужается. На рис.4.20 «петли», ассоциированные с двумя небольшими антиклиналями А и В, увеличиваются с глубиной. После миграции происходит развязывание «петель» и синклинали можно проследить.

4.2.1. Миграция Кирхгоффа

Clearbout (1985) для описания физических основ миграции использует пример порта (рис.4.21). Допустим, что на некотором расстоянии от берега z3 имеется проти- воштормовой барьер (storm barrier), в котором есть проход. Предположим, что со сто- роны океана в результате бриза надвигается плоская волна. Проход в барьере, действуя как вторичный источник, сформировал полукруглый волновой фронт, распространяю- щийся в сторону берега. Если мы не знаем о существовании барьера и прохода, мы мо- жем расположить вдоль берега приемную косу, чтобы зарегистрировать приближаю- щиеся волны. Этот эксперимент показан на рис.4.22 вместе с зарегистрированным вре- менным разрезом. Физики называют проход в барьере точечным отверстием (point aperture), которое аналогично точечному источнику, поскольку также формирует круглый волновой фронт. Однако, амплитуды в волновом фронте, распространяющемся от то- чечного источника, являются изотропными, тогда как в случае точечного отверстия ам- плитуды зависят от угла. Точечное отверстие в барьере действует как вторичный ис- точник Гюйгенса.

Из опыта, предложенного выше, мы находим, что вторичный источник Гюйген-

са реагирует на плоскую падающую волну и формирует полукруглый волновой фронт в плоскости (x, z). Отклик в плоскости (x, t) представляет собой годограф дифрагирован- ной волны (рис.4.23).

Предположим, что разрез состоит из точек на каждом отражающем горизонте, которые ведут себя как проходы в противоштормовом барьере. На рис.4.24 видно, что эти точки действуют как вторичные источники Гюйгенса и формируют гиперболиче- ские годографы. Более того, по мере приближения источников (точек на отражающей поверхности) друг к другу суперпозиция годографов формирует отклик действительной отражающей поверхности (рис.4.25). Если использовать терминологию примера с пор- том, это можно уподобить прорыву барьера штормом, в результате чего первичная па- дающая плоская волна достигает берега, не претерпевая изменений. Годографы дифра- гированных волн, появление которых вызвано разрывом на обоих концах отражающей поверхности на рис.4.25, сохраняются; они эквивалентны дифрагированным волнам, видимым на границах разлома на суммарном разрезе.

15

Рис.4.16 (а) Наклонные отражающие поверхности на модели разреза (постоянная скорость в среде – 3000м/с) и (b) на разрезе с нулевым выносом (шаг между трассами – 25м). Мигрирование разреза с нулевым выносом дает модель разреза. Точки А и В упоминаются в уравнении 4.2.

16

Рис.4.17 Исправленные отражающие поверхности (синклинали и антиклинали) (а) до миграции; (b) после ми- грации. Описание см. в тексте. (Моделирование выполнено Union Oil Company.)

17

Рис.4.18 (а) Модель глубин, состоящая из отражающей поверхности, искривленной по типу синклинали; (b) соответствующий временной разрез. Постройте «петлю» на временном разрезе.

Рис.4.19 (а) Сумма ОСТ; (b) миграция. Антиклинали выглядят увеличенными, а синклинали – уменьшенными по сравнению с их действительными разрезами на немигрированном разрезе (а).

18

Рис.4.20 (а) Сумма ОСТ; (b) миграция. Миграция развязала «петли» и превратила их в синклинали под А и В.

Рис.4.21 Проход в барьере действует, как вторичный источник Гюйгенса, вызывая круглые волновые фрон- ты, которые приближаются к береговой линии (по

Clearbout, 1985).

Рис.4.22 Волны, зарегистрированные вдоль берега и

сформированные вторичным источником Гюйгенса (проходом в барьере на рис.4.21), имеют гиперболиче- ский годограф.

19

Рис.4.23 Точка, которая представляет вторичный источник Гюйгенса на глубинном разрезе (а) попа- дает на годограф дифрагированной волны на вре- менном разрезе с нулевым выносом (b). На этом

разрезе вертикальная ось градуирована в полном времени пробега, а вертикальная ось на временном разрезе на рис.4.22 градуирована во времени про- бега в одном направлении.

Рис.4.24 Суперпозиция отклика с нулевым выно- сом (b) дискретного количества вторичных источ- ников Гюйгенса на глубинном разрезе (а).

Рис.4.25 Суперпозиция отклика с нулевым выносом (b)

непрерывной среды вторичных источников Гюйгенса на глубинном разрезе (а).

Рис.4.26 Принципы миграции, основанной на положении полукруга. (а) Разрез с нулевым выносом (шаг между трассами 25м; постоянная скорость 2500м/с), (b) миграция. Точка на временном разрезе (а) попадает в полукруг на глубинном разрезе (b).

В итоге мы выясним, что отражающие поверхности в разрезе могут быть визуа- лизированы как состоящие из множества точек, действующих подобно вторичным ис- точникам Гюйгенса. Мы увидели также, что разрез с нулевым выносом представляет собой суперпозицию гиперболических годографов. Когда на отражающей поверхности имеются перерывы (разломы), часто можно различить годографы дифрагированных волн.

Сигнатура вторичного источника Гюйгенса представляет собой полукруг в плоскости (x, z) и гиперболу в плоскости (x, t). Из этих характеристик точечных источ- ников можно вывести две схемы практической миграции. На рис.4.26а показан разрез с нулевым выносом, который состоит из одного вступления на одной трассе. Это вступ- ление мигрирует на полукруг (рис.4.26b). Из рис.4.26 видно, что разрез с нулевым вы- носом, зарегистрированный по модели с постоянной скоростью, которая состоит из по- лукруглой отражающей поверхности, содержит один всплеск энергии на одной трассе (рис.4.26b). Поскольку этот зарегистрированный разрез состоит из импульса, мигриро- ванный разрез на рис.4.26b можно назвать импульсным откликом миграции (migration

20

impulse response). Другая схема миграции является результатом наблюдения, что разрез с нулевым выносом, состоящий из одной гиперболы дифрагированной волны, мигриру- ет в одну точку (рис.4.27b).

Первый метод миграции основан на наложении полукругов, а второй – на сум- мировании амплитуд по гиперболическим траекториям. Первый метод использовался до наступления эры цифровых компьютеров, а второй, известный как метод суммиро- вания дифрагированных волн (diffraction summation method), был первой реализацией миграции на компьютере. Схема миграции, основанная на положении полукругов, включает размещение амплитуда выборки во входном пространстве (x, t) немигриро- ванного временного разреза на полукруге в выходном пространстве (x, z). Мигрирован- ный разрез формируется как результат наложения нескольких полукругов. Схема ми- грации основанной на суммировании дифрагированных волн, включает поиск во вход- ных данных в пространстве (x, t) энергии, которая должна возникнуть в случае, если дифрагирующий источник (вторичный источник Гюйгенса) расположить в определен- ной точке выходного пространства (x, z). Этот поиск выполняется путем суммирования амплитуд в пространстве (x, t) по годографу дифрагированной волны, который соответ- ствует вторичному источнику Гюйгенса в каждой точке пространства (x, z). Затем ре- зультат суммирования размещается в соответствующую точку в пространстве (x, z).

Суммирование дифрагированных волн представляет собой прямое суммирова- ние амплитуд по гиперболической траектории, кривизна которой определяется скоро- стной функцией. Уравнение для этой траектории можно вывести из геометрических по- строений на рис.4.27. В предположении горизонтально-слоистой скоростной модели, скоростная функция, используемая для расчета годографа, представляет собой средне- квадратичную скорость на вершине гиперболы при времени t(0) (см. Раздел 3.2.1).Из

треугольника СОА (рис.4.27а) получаем:
t2(x) = t2(0) + 4x2/v2rms	(4.4)

После расчета входного времени t(x) амплитуда во входной точке В размещается на выходном разрезе в точке А, соответствующей входному времени τ = t(0) на вершине гиперболы. Согласно Разделу 3.2.1 годографы отраженных волн в слоистой среде ап- проксимируются гиперболами на коротких расстановках. Может показаться, что это накладывает значительное ограничение на ширину отверстия (т.е. на латеральную про- тяженность годографа дифрагированной волны) в процессе суммирования. Однако, ап-

проксимация короткой расстановкой действительна даже при больших расстояниях от вершины, а ошибки, ассоциированные с ней, на поздних временах являются незначи- тельными. На практике эта аппроксимация почти никогда не представляет проблему.

Сейчас рассмотрим несколько фактов, ассоциированных с поведением амплиту- ды и фазы вдоль годографа дифрагированной волны. Из рис.4.21 видно, что если мы можем выбрать, в какой точке лучше находиться – А или В, мы интуитивно придем к выводу, что безопаснее находиться в точке В. Причина этого заключается в том, что амплитуда волны в точке А, которая находится на оси z больше, чем амплитуда волны в точке В, которая смещена под некоторым углом к оси z. Это одно различие между то- чечным источником с однородной амплитудной характеристикой на всех углах и то- чечным отверстием, которое формирует волновой фронт с амплитудами,

Рис.4.27 Принципы миграции, основанной на сумми- ровании дифрагированных волн. (а) Разрез с нулевым выносом (шаг между трассами 25м; постоянно ско- рость 2500м/с); (b) миграция. Амплитуда в точке В на фланге размещается на вершине А по уровню гипербо- лического годографа (4.4).

21

зависящими от угла. Эту зависимость амплитуд от угла необходимо учиты- вать перед суммированием. Чтобы вы- полнить поправку за наклон к амплиту- де в точке В на рис.4.27 нужно приме- нить масштабный коэффициент – коси- нус угла между ВС и СА, и только по- сле этого размещается в точку А.

Другим фактором является сфе- рическое расхождение амплитуд волны. Если мы снова обратимся к рис.4.21 и выберем, в какой точке лучше нахо- диться – в В или С, мы предпочтем точ- ку С. Это связано с тем, что амплитуда

волны вдоль волнового фронта в точке С, которая находится дальше от точеч- ного отверстия, чем амплитуда волны в точке В. Энергия волны затухает по за- кону (1/r2), где r – расстояние от источ- ника до волнового фронта; амплитуда затухает по закону (1/r).

Следовательно, перед суммированием амплитуды нужно пересчитать, применив 1/r. Наконец, имеется третий фактор, который вытекает из свойства волны, вызван-

ной вторичным источником Гюйгенса. С физической точки зрения этот фактор трудно объяснить. Тем не менее, из рис.4.25 видно, что вторичные источники Гюйгенса долж- ны реагировать как импульс вдоль гиперболических траекторий с определенными фа- зовыми и частотными характеристиками. Если они располагаются близко один к дру- гому, взаимное гашение амплитуд не происходит. Форма волны, являющейся результа- том суммирования, должна быть восстановлена, как по фазе, так и по амплитуде.

В итоге перед суммированием дифрагированных волн мы должны учесть сле- дующие три фактора:

1.Наклон (или коэффициент направленности), который описывает зависимость амплитуд от угла и определяется косинусом угла между направлением рас- пространения и вертикальной осью z.

2.Сферическое расхождение, пропорциональное (1/ r)2 в случае распростране-

ния волны в 2-D пространстве и (1/r) в случае распространения волны в 3-D пространстве.

3.Формирование импульса, которое определяется 45-градусным постоянно- фазовым спектром и амплитудным спектром, пропорциональным квадрат-

ному корню из частоты для 2-D миграции. В случае 3-D миграции смещение по фазе равно 90° и амплитуда пропорциональна частоте.1

Метод суммирования дифрагированных волн как метод миграции, сочетающий эти три фактора, называется миграцией Кирхгоффа. Чтобы выполнить миграцию этим методом, необходимо умножить входные данные на коэффициенты наклона и сфериче- ского расхождения. Затем нужно применить фильтр с указанными выше характеристи- ками и выполнить суммирование вдоль гиперболической траектории, которая опреде- ляется уравнением (4.4). Расположите результат на мигрированном разрезе на времени

τ = t(0), которое соответствует вершине гиперболы. На практике применение фильтра, определяемого третьим фактором и суммирование можно поменять местами. При этом

22

точность не ухудшается, поскольку суммирование представляет собой линейный про- цесс, а фильтр не зависит от времени и пространства. Скорость используемая в уравне- нии (4.4), берется, как среднеквадратичная, которая может изменяться в латеральном направлении. Однако такое изменение скорости искажает гиперболическую форму го- дографа дифрагированных волн и его необходимо учитывать. Величина среднеквадра-

тичной скорости обычно представляет собой таковую для выходной выборки времени (величина гиперболы). То, что определено с физической точки зрения в предыдущем обсуждении, может быть точно описано интегральным решением скалярного волнового уравнения. Чтобы выполнить математическую обработку методом Кирхгоффа, нужно обратиться к Berkhout (1980), Schneider (1978) и Berryhill (1979). Интегральное решение скалярного волнового уравнения дает волновое поле Pout (x, z, t) в точке разреза (x, z), которое представляет собой результат волнового поля при нулевом выносе Pin (xin, z = 0, t), измеренного на поверхности (z = 0). Интегральное решение, используемое в ми- грации сейсмических данных, имеет два элемента:

где v – среднеквадратичная скорость в выходной точке (x, z); r = [(xin − x)2 + z2 ] - рас-

стояние между входной (xin, z =0) и выходной (x, z) точками. Уравнение (4.5) может быть использовано для расчета волнового поля на любой глубине z. Чтобы получить мигрированный разрез при выходном времени τ, необходимо рассчитать уравнение (4.5) при z = vτ/2 и обратиться к принципу получения изображения, расположив ампли- туды результирующего волнового поля при t = 0 на мигрированном разрезе при выход- ном времени τ. Завершенный мигрированный разрез получается путем интегрирования [уравнение (4.5)] и задания t = 0 для каждой выходной точки. Интегрирование выпол- няется по поверхности измерения; в двумерном случае оно выполняется по профилю. Первый элемент пропорционален (1/r2), следовательно, его вклад пренебрежимо мал по сравнению со вторым элементом, который пропорционален (1/r). На практике первый элемент обычно опускается и в миграции используется второй элемент. Производная по времени измеренного волнового поля дает смещение по фазе на 90° и аппроксима- цию амплитудного спектра пилообразной функцией частоты (см. Приложение А, табл. А-1). Для 2-D миграции используется полупроводная (half-derivative) волнового поля. Это эквивалентно смещению по фазе на 45° и аппроксимации амплитудного спектра функцией, определенной как квадратный корень из частоты. Наконец, второй элемент пропорционален косинусу угла распространения (элементу направленности) и обрат- нопропорционален vr = v2t (элементу сферического расхождения) в трехмерном случае. В двумерном случае элемент сферического расхождения равен (vr)1/2