5.4. Разложение определителя по столбцам.

Для квадратной матрицы А определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, будем обозначать М_ij и называть минором, соответствующим элементу a_ij матрицы A .

Рассмотрим функцию матрицы

F(A) = а_1i M_1i - а_2i M_2i + а_3i M_3i - …+(-1)ⁿ⁺¹а_ni M_ni .

Аналогично утверждениям 16 из 5.1 доказывается, что F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А. Разница лишь в том, что не надо проводить индукцию, так как полилинейность и кососимметричность определителей М_ij нам уже известна.

Упражнение. Доказать полилинейность и кососимметричность по строкам функции F(A).

По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = 0 M_1i - 0M_2i +…+(-1)ⁱ⁺¹1M_{i i} + …+(-1)ⁿ⁺¹ 0M_ni =

= (-1)ⁱ⁺¹M_{i i} =(-1)¹⁺ⁱ, так как M_{i i} = 1  F(A)= (-1)¹⁺ⁱ|A| 

 |A|=(-1)¹⁺ⁱF(A)=(-1)¹⁺ⁱа_1iM_1i+(-1)²⁺ⁱа_2i M_2i+…+(-1)ⁿ⁺ⁱ а_ni M_ni.

Таким образом, нами доказана

Теорема о разложении определителя по столбцу:

 i |A|=.

Определение. Будем называть А_ji= (-1)^j+iM_ji алгебраическим дополнением элемента а_ji в определителе.

В этих обозначениях |A|=.

5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.

Обозначим i-й столбец матрицы А че­рез Аⁱ, то есть Аⁱ=. Рассмотрим |A| как функцию от п столбцов матрицы А, то есть |A|= det(А¹,А²,…, Аⁿ).

Теорема. Определитель является линейной функцией от i-го столбца  i (и, следовательно, полилинейной функцией столбцов).

Доказательство. Докажем, что

det(А¹,…,Аⁱ+А ⁱ,…,Аⁿ)= det(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ)+det(А¹,…,А ⁱ,…, Аⁿ)

и det(А¹,…,сАⁱ,…,Аⁿ)= сdet(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ).

По теореме о разложении определителя по столбцу

|A| = а_1i А_1i+ а_2i А_2i +…+ а_ni А_ni , где все коэффициенты A_ji от i-го столбца не зависят. Поэтому det(А¹,…,Аⁱ+А ⁱ,…,Аⁿ)=

= =+=

= det(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ) + det(А¹,…,А ⁱ,…, Аⁿ),

det(А¹,…,сАⁱ,…,Аⁿ) = = с=

= с det(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ).



Теорема. Определитель является кососимметричной функцией столбцов.

Доказательство. Докажем индукцией по п, что если при i  j Аⁱ= А^j, то det(А¹,…,Аⁱ,…,А^j,…,Аⁿ) = 0.

При п =2 утверждение очевидно из формулы для определителя.

Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п 3. Так как п 3, то в определителе кроме столбцов Аⁱ= А^j существует столбец А^k, где k  i, k  j. Разложим |A| по k-му столбцу: |A| =(-1)^1+kа_1k M_1k+(-1)^2+kа_2k M_2k+…+(-1)^n+kа_nk M_nk , и в этом разложении во всех определителях M_sk имеется по два одинаковых столбца. Так как порядок всех M_sk равен п -1, то по предположению индукции можно считать, что все M_sk = 0  |A| =0.



Лекция 9.

5.6. Определитель транспонированной матрицы.

Для (mn)-матрицы C=(c_ij) транспонированной матрицей называется (nm)-матрица C ^t = (c_ji), где c_ji = c_ij.

Теорема. |A ^t| =|A|.

Доказательство. Пусть функция матрицы F(A) = |A^t|. Рассмотрим F(A) как функцию F(А₁,…,А_n) строк А₁,…,А_n матрицы A. Тогда F(А₁,…,А_n) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А, так как строки матрицы А – это столбцы матрицы A^t, а |A^t| - полилинейная кососимметричная функция столбцов матрицы A^t. По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = |Е ^t| = |Е| = 1, то

есть |A^t| =|A|.

