9.6. Ранг произведения матриц.

Теорема. Пусть А – (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда rg(AB)  min(rgA, rgB).

Доказательство. Пусть А¹, А²,…,А^п – столбцы матрицы А,

А = (А¹, А²,…,А^п). Тогда rgA = dim<А¹, А²,…,А^п>. Пусть сначала В = В¹ – (п,1)- матрица-столбец, В=. Тогда

АВ¹=₁А¹+₂А²+…+_пА^п - (п,1)- матрица-столбец, и

АВ¹ <А¹, А²,…,А^п>.

Теперь для произвольной (п,k)-матрицы В, записанной по столбцам, В =(В¹,В²,…,В^k), имеем АВ = (АВ¹,…, АВ^п). Так как все АВⁱ  <А¹, А²,…,А^п>, то <АВ¹,…, АВ^п> <А¹, А²,…,А^п>, и dim<АВ¹,…, АВ^п>  dim <А¹, А²,…,А^п>, то есть rg(АВ)  rg A. Неравенство rg(АВ)  rg В можно доказать аналогично, рассматривая линейную оболочку строчек матрицы В. А можно получить из доказанного следующим образом:

rg(АВ)= rg(АВ)^T = rg(B^TA^T)  rgB^T = rgB.



Лекция 20.

10. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ

0. 10.1. Построение алгебры многочленов.

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Многочленом с коэффициентами в поле Р

будем называть бесконечную строчку (₀,₁,₂,₃,…), где все компоненты ₀,₁,₂,₃,… P и почти все  _i (то есть все, за исключением конечного числа) равны 0. Множество многочленов будем обозначать P[x].

I. Определим на множестве P[x] операции:

пусть для f = (₀,₁,₂,…), g = (₀, ₁, ₂,…) P[x],  P по определению f = (₀, ₁, ₂,…),

f + g = (₀ +₀, ₁ +₁, ₂ +₂,…), fg =(₀, ₁, ₂,…), где

₀ =₀₀ , ₁ = ₀₁+₁₀ , ₂ =₀₂+₁₁ +₂₀ , и  k  0 _k =₀_k+₁_k-1+₂_k-2 + …+_k₀ = =. Очевидно, у строчек f, f + g , fg также почти все компоненты равны нулю, то есть f, f + g , fg содержатся в P[x].

II. Легко проверить, что для определенных нами операций выполнены свойства АКУ-кольца (см. Лекцию 11):

1. (f + g) + h = f + (g + h)  f, g, h  P[x],

2.  элемент 0_Р[x] P[x], 0_Р[x] = (0,0,0,…) такой, что 0_Р[x]+ f = f + 0_Р[x] = f  f P[x],

3.  f P[x]  элемент - f P[x] такой, что (- f)+f = 0_Р[x],

4. f + g = g + f  f, g  P[x],

5. (fg)h = f(gh)  f, g, h  P[x],

6.  элемент 1_Р[x] P[x], 1_Р[x] = (1,0,0,…) такой, что

1_Р[x]f = f1_Р[x] = f  f P[x],

8. fg = g f  f, g  P[x],

9. (f + g)h = fh +gh  f, g, h  P[x],

а также выполнены свойства линейного пространства:

v. (f+g) = f+g  f, g P[x],  P,

vi. (+)f =  f+ f  f P[x], ,  P,

vii. ()f = ( f)  f P[x], ,  P,

viii. 1f = f  f P[x],

и свойство (fg) = (f)g = f(g)  f, g P[x],  P.

Проверим, например, свойство 5. Пусть f = (₀,₁,₂,…), g = (₀, ₁, ₂,…), h = (₀,  ₁, ₂,…), fg =(₀, ₁,  ₂,…). Тогда _к =, и s-я компонента строчки (fg)h равна

=, то есть совпадает с s-й компонентой строчки f(gh)  s. Отсюда (fg)h = f(gh).

Упражнение. Доказать остальные свойства.

Таким образом, мы получаем, что P[x] является АКУ-кольцом, линейным пространством и алгеброй над полем Р

(см. Лекцию 18, п.9.1).

Определение. Пусть f = (₀,₁,₂,…), и _k  0, а при m  k все _m = 0. Тогда мы будем говорить, что степень многочлена f равна k и писать ст.f = k или deg.f = k. Будем считать по определению, что ст.0_Р[x] = -  .

Обозначим многочлен (0,1,0,0,0,…) через х. Тогда легко проверить, что х²=(0,0,1,0,0,…), х³= (0,0,0,1,0,…),…, и значит, f = (₀,₁,₂,…)= (₀,0,0,0,…)+(0,₁,0,0,…)+(0,0,₂,0,…)+…=

= ₀(1,0,0,0,…) + ₁(0,1,0,0,…) + ₂(0,0,1 ,0,…) + …= ₀1_Р[x]+ +₁х +₂х²+… Если в этом выражении не писать нулевые слагаемые и множитель 1_Р[x], то f = ₀ + ₁х + ₂х²+ …+_kх^k, где k = ст.f.

Теорема. ст.(fg) = ст.f + ст.g.

Доказательство. Если f = 0_Р[x] или g = 0_Р[x] , то левая и правая части равенства равны -, и утверждение теоремы верно. Если же ст.f  0, f=_kх^k + _k-1х^k-1+…+ ₁х + ₀, _k 0, ст.g  0, g= _mх^m + _m-1х^m-1+…+ ₁х + ₀ , _m 0, то

fg = _k_mх^k+m+…, и _k_m  0  ст.(fg) = k + m = ст.f + ст.g.



Следствие. В кольце Р[x] нет делителей нуля.

При построении кольца многочленов вместо поля Р можно аналогичным образом использовать произвольное АКУ-кольцо А. В этом случае мы получим АКУ-кольцо многочленов А[x] с коэффициентами в кольце А. Так, например, если А = Z, то мы получим кольцо многочленов Z[x] с целыми коэффициентами. Если А = Р[x₁], то кольцо А[x₂] = Р[x₁][x₂] = =Р[x₁,x₂] – это кольцо многочленов от двух переменных с коэффициентами в поле Р.

Замечания.

1. Легко видеть, что кольца Р[x₁][x₂] и Р[х₂][x₁] – изоморфны (определение изоморфизма для колец такое же, как и для полей – см. Лекцию 12, 6.5).

2. Аналогичным образом  п строится кольцо многочленов от п переменных P[x₁,…,x_n] с коэффициентами в поле Р.

Далее мы будем рассматривать кольцо многочленов Р[x]

с коэффициентами в некотором поле Р.

Когда это не вызовет недоразумений, мы будем обозначать нейтральные элементы кольца Р[х] через 0 и 1.