- •А.М. Попов
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
1.2. Бином Ньютона.
Теорема. (a + b)n =an +an-1b + an-2b2 +…+ bn =
= . Эта формула называется биномом Ньютона.
Первое доказательство (индукцией по п).
п = 1. Утверждение очевидно: (a + b)1 =a1 +b1 = a + b.
Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п.
(a + b)n = (a + b)(a + b)n-1 =(a + b) = =++= =aп ++bп .
Второе доказательство (для умных, но ленивых).
Раскроем скобки в выражении
(a + b)n = (a + b)(a + b)… (a + b), (1.1)
выбирая из каждого двучлена справа или a или b, и записывая их в произведение с сохранением порядка множителей. Так, например произведение aababb… получится, если мы выберем из первого двучлена a, из 2-го a, из 3-го b, из 4-го a, из 5-го b, из 6-го b и т.д. Если мы теперь все множители a запишем слева, а множители b справа, то получим одночлен вида an-kbk. Все одночлены такого вида получаются при выборе из п двучленов в (1.1) подмножества (сочетания) из k двучленов, в которых при раскрывании скобок мы выбираем в качестве множителей элементы b (а из остальных двучленов, естественно, выбираются в качестве множителей элементы a). Количество таких подобных одночленов равно количеству сочетаний из n по k. Если мы их всех просуммируем, то получим слагаемое в разложении бинома Ньютона.
Утверждение 1.4.
а) +++…+= 2n,
б) +++…=+++…= 2n-1
Доказательство а). Из бинома Ньютона при a = b =1
(1 + 1)n = + + +…+ .
Доказательство а) для умных, но ленивых. Сумма
+++…+равна количеству всех подмножеств в множестве Х из п элементов, включая и само множество Х.
Это количество можно посчитать иначе. Для выделения любого подмножества в Х мы для каждого элемента из Х должны указать, входит этот элемент в наше подмножество или нет. Таким образом, для каждого элемента имеется 2 возможности – быть включенным в любое подмножество или нет, а для п элементов из Х имеется 2n возможностей быть включенными или нет в различные подмножества. Включая или не включая произвольный элемент в подмножества, мы получаем различные подмножества. Таким образом, количество различных подмножеств в Х равно 2n .
Упражнение. Доказать утверждение 1.4, б) с помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = - 1.
Лекция 2.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Будем считать известными множества натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R.
Определение. Комплексным числом будем называть упорядоченную пару действительных чисел (a,b), a,b R.
Множество комплексных чисел будем обозначать буквой С.
С = {(a,b), a,b R}.
I. Определим на множестве С операции:
1. по определению (a,b)+ (с,d) = (a+с, b+d) – операция сложения,
2. по определению (a,b) (с,d) = (aс - bd, ad+bc) – операция умножения,
3. для с R по определению с (a,b)= (ca, cb) – операция умножения комплексных чисел на действительные.
II. Утверждение. Для определенных на С операций выполняются свойства:
1. (z1 + z2) + z3 = z1 +( z2 + z3) z1 , z2 , z3 C, z1 =(a1,b1),
z2 = (a2,b2), z3 =(a3,b3),
2. элемент 0С = (0,0) C такой, что 0С+z = z + 0С = z zC. 0С называется нейтральным элементом в C по сложению.
3. z C, z =(a ,b), z C такой, что z+ z = 0С . В самом деле, z = (- a, - b). z обозначается как - z и называется элементом, противоположным к z.
4. z1 + z2 = z2 + z1 z1 , z2 C,
5. (z1 z2) z3 = z1 ( z2 z3) z1 , z2 , z3 C,
6. элемент 1С = (1,0) C такой, что 1С z = z 1С = z zC. 1С называется нейтральным элементом в С по умножению или единицей.
7. z C, z 0С , z =(a ,b), z1 C такой, что z z1 = 1С . В самом деле, z1 = ( a/(a2 + b2), - b/(a2 + b2)). z1 обозначается как z-1 и называется элементом, обратным к z .
8. z1 z2 = z2 z1 z1 , z2 C,
9. (z1 +z2)z3 = z1 z3 + z2 z3 , z1(z2 + z3)= z1 z2+ z1z3 z1, z2, z3 C.
i. c(z1 + z2) = cz1 + cz2 z1, z2 C, c R,
ii. (c + d)z = cz + dz c, d R, z C,
iii. (c d)z = c(dz) c, d R, z C,
iv. 1С z = z z C.
Очевидно, все эти свойства следуют из определений операций и свойств действительных чисел, которые мы считаем известными.
Упражнение. Доказать свойства 1 9 и i iv.
Множество (не обязательно числовое), на котором
I. определены операции, обозначаемые знаками + и ,
II. и для которых выполнены свойства 1 9, называется полем.
Очевидно, полями являются множества Q и R. Теперь мы видим, что множество С также является полем.
Обозначим число (0, 1) C буквой i. Число i называется мнимой единицей. Очевидно, z C, z = (a ,b) = a (1, 0) + + b (0, 1)= a 1С + b i. Обычно единицу в качестве множителя не пишут. Поэтому и мы будем записывать число z в виде
z = a + b i, а единицу 1С , когда это не вызовет недоразумений, мы будем записывать в виде 1.
Легко видеть, что i2 = - 1. Для комплексного числа
z = a + b i будем называть комплексное число a - b i комплексно сопряженным к z и обозначать . Очевидно,
а) =+, б)=, в)z=a2 + b2.
Определение. Модулем комплексного числа z = a + b i называется число | z | =.
Так как z= |z |2, то |z1 z2|2 = z1z2=z1z2= |z1|2| z2|2,
и |z1 z2| = | z1| |z2|.
Комплексное число a + b i можно изображать точкой на плоскости с координатами (a , b) или вектором на плоскости с координатами (a , b). Легко видеть, что комплексные числа складываются как векторы по правилу параллелограмма (или по правилу треугольника). Очевидно (см. рис.),
a + b i = r cos +r sin i = r(cos +i sin).
Запись комплексного числа в виде r(cos +i sin) называется тригонометрической формой записи. Угол называется аргументом комплексного числа (определен неоднозначно). Очевидно, r = | z |.
Легко проверить, что r1(cos1+i sin1) r2(cos2+i sin2)=
= r1r2(cos(1+2)+i sin(1+2)). Отсюда следует
формула Муавра: (cos +i sin)n = cos n + i sin n ,
а также ещё раз мы получаем, что |z1 z2| = r1r2 = |z1| |z2|.
Упражнения.
1) С помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = i вычислить +++…,+++…,+++…,+++…
2) С помощью формулы Муавра вычислить устно sin 4 и cos 5 .
Лекция 3.
СООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ