26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.

Пусть f(x, y) – эрмитова форма на линейном пространстве L над полем С, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

Теорема. В L существует f-ортогональный базис.

Доказательство аналогично доказательству из п.24.6.

Пусть e = {е₁,…,е_n} - f-ортогональный базис, и пусть f(е_k, е_k) = _k k. Тогда в этом базисе =diag(₁,…,_n), где все _k  R, f(x, y) = , F(x) =, и такой вид эрмитовых форм f и F называется каноническим. Следовательно, любая эрмитова полуторалинейная форма и любая эрмитова квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную эрмитову полуторалинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

Пусть f(е_k, е_k) = _k  0 при k =1,…,r и f(е_k, е_k)= 0 при

k = r+1,…,п. Тогда r = rg f = rgF, и r от базиса не зависит.

Будем считать теперь, что форма F имеет канонический вид F(x) = ₁|х₁|²+…+_s|x_s|² – _s+1|х_s+1|²–…–_s+t |х_s+t|², где все _k  0, s + t = r. Пусть _k = при k = 1,…,r, _k = 1 при k = r+1,…,п. Тогда после замены координат z_k = _kx_k  k получим F(x)= |z₁|²+…+|z_s|²–|z_s+1|²-…-|z_s+t|² - такой вид квадратичной формы называется нормальным.

Таким образом, имеет место

Теорема. В линейном пространстве L над полем С для

любой эрмитовой формы F существует базис, в котором форма имеет нормальный вид F(z) = z₁²+…+z_s²– z_s+1²-…-z_s+t². Соответствующая эрмитова полуторалинейная форма f имеет нормальный вид f(z, w) = z₁w₁+…+z_sw_s – z_s+1w_s+1-…- z_s+tw_s+t.

Как и в п.24.6 для эрмитовых форм F можно дать определения положительно определённой или положительной формы (F  0), отрицательно определённой или отрицательной формы (F  0), неотрицательно определённой формы (F  0), неположительно определённой формы (F  0), неопределённой формы. Во всех этих случаях условия на s и t будут такие же, как и в п.24.6.

По аналогии с п.24.7 для эрмитовых форм формулируется и доказывается закон инерции, определяется положительный индекс инерции формы I⁺(F)= s и отрицательный индекс инерции формы I ^-(F) = t.

Так же эрмитовы квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I⁺ = s, I ^- = t, которые независимы и составляют полную систему инвариантов.

Аналогично как и в п.24.8 формулируется и доказывается критерий Сильвестра. Необходимо лишь заметить, что угловые подматрицы эрмитовой матрицы являются эрмитовыми, а определители эрмитовых матриц М_k  R.

Лекция 38.

27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве

27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.

Теория эрмитовых форм в унитарном пространстве аналогична теории квадратичных форм в евклидовом пространстве (см. п.25).

Пусть Н^п унитарное пространство с ортонормированным базисом и, F(x) – эрмитова квадратичная форма с матрицей в базисеи и f(x,у) – соответствующая эрмитова полуторалинейная форма с матрицей =. Рассмотрим линейный оператор  с матрицей =. Так как матрица- эрмитова, то - эрмитов оператор, * =  . По теореме о структуре эрмитова оператора в Н^п существует ортонормированный базис и, в котором матрица оператора  диагональна: =diag(₁,₂,…,_n), причем все _i R. Пусть

Т =. ТогдаТ – унитарная матрица (так как по столбцам матрицы Т стоят координаты векторов из ортонормированного базиса и), и, значит, Т ^-1=. Но . Пусть Т₁=. Тогда =diag(₁,₂,…,_n) = Т ^-1Т = Т =

==- диагональная матрица, причем- ортонормированный базис. Следовательно, если в базисе вектор у имеет координаты (y₁,…,y_n), то форма F имеет канонический вид F(у)=₁|y₁|²+₂|y₂|²+…+_n|y_n|², причем все _i R. Соответственно, если в этом базисе вектор z = (z₁,…,z_n), то f(y, z) = ₁y₁ + ₂y₂ + …+ _ny_n . Таким образом, нами

доказана

Теорема. Для любой эрмитовой квадратичной формы F(x) в унитарном пространстве Н^п существует ортонормированный базис , в котором формаF имеет канонический вид F(у) = ₁|y₁|²+ ₂|y₂|²+…+ _n|y_n|², причем все _i R. Это означает, что существует унитарная матрица Т₁ перехода к новому базису , в котором матрица формыF диагональна:

== diag(₁,₁,…,_n), причем все _i R.

Следствие 1. Эрмитовы формы F и f унитарно эквивалентны формам, имеющим канонический вид (см. п.24.5).

Следствие 2. Две эрмитовы квадратичные формы канонического вида унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты ₁,₂,…,_n отличаются, может быть, лишь порядком.

Следствие 3. Две эрмитовы квадратичные формы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

Так как коэффициенты ₁,…,_n формы F – это собственные значения линейного оператора  , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы =,

то есть уравнение det(-E) = 0. Векторы базиса

и = {и₁,…, и_n} – это собственные векторы линейного оператора , и найти все и_i можно, решая однородные системы линейных уравнений (-  _iE)[x]= [0]. Различным собственным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker(-  _iE) = 1, то найденный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни _i характеристического уравнения, то dim Ker(-  _iE) 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ (-  _iE)[x] = [0] необходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту. Затем, после нахождения базиса и надо перейти к базису , заменив все векторыи₁,…, и_n на «комплексно сопряженные».