- •А.М. Попов
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
7.2. Теоремы о базисах.
Теорема 1. Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L. Тогда любой вектор а L однозначно выражается через базис в виде а = 1е1+…+пеп для некоторых 1,…,п Р.
Доказательство. Пусть а L. Так как dim L = п, то п+1 векторов а,е1,…,еп линейно зависимы, то есть ,1,…,пР, не все равные нулю, такие, что а +1е1+…+пеп=0L , причем 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы. Тогда а= -11е1+…+ -1пеп=1е1+…+пеп, где 1= -11,…, п = -1п .
Докажем однозначность. Пусть а = 1е1+…+пеп =
=1е1+…+пеп (1 -1 )е1+…+(п -п)еп= 0L 1 - 1 =0,…, п -п= 0, так как векторы е1,…,еп линейно независимы
1 = 1 ,…, п = п – это и означает однозначность.
Теорема 2 (обратная). Пусть е1,…,еп – такая система векторов в L, что любой вектор а L однозначно выражается через е1,…,еп в виде а = 1е1+…+пеп для некоторых
1,…,п Р. Тогда е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Доказательство. 1. е1,…,еп – линейно независимая система векторов в L, так как если 1е1 +…+пеп = 0L =
= 0е1 +…+ 0еп , то из однозначности 1= 0,…,п = 0. Следовательно, в L существуют п линейно независимых векторов.
2. Покажем, что в L любые п+1 векторов линейно зависимы.
Пусть а1,…,ап+1 L. Тогда а1 = 11е1+…+1пеп ,…,
ап+1 =п+1,1е1+…+п+1,пеп . Покажем, что существуют
х1,…,хп+1 Р, не все равные нулю, такие, что
х1а1+…+хп+1а п+1 = 0. Но х1а1+…+хп+1а п+1 =
= (11 х1+…+п+1,1хп+1)е1+…+(1п х1+…+п+1,пхп+1)еп , и однородная система п уравнений с п+1 неизвестным
имеет ненулевое решение (см.4.3).
Таким образом, dim L = n, и е1,…,еп – базис в L.
Теорема 3. Если е1,…,еп – базис линейного пространства L, то е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то есть при добавлении к этой системе любого вектора получится линейно зависимая система векторов.
Доказательство. Так как е1,…,еп – базис, то dim L = n, и из определения размерности следует, что любые п+1 векторов линейно зависимы.
Теорема 4 (обратная). Если е1,…,еп – максимальная линейно независимая система векторов в L, то е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Доказательство. Пусть а L. Так как п +1 векторов
а, е1,…,еп линейно зависимы, то, как и в Теореме 1, вектор а линейно выражается через е1,…,еп . Из линейной независимости векторов е1,…,еп , как и в Теореме 1, следует, что выражение а через е1,…,еп однозначно. Теперь по Теореме 2 мы получаем, что е1,…,еп – базис линейного пространства L.
Теорема 5. dim P n = n.
Доказательство. Пусть е1 =(1,0,0,…,0), е2 =(0,1,0,…,0),…,
еn =(0,0,0,…,1). Тогда (1,2,…,n) Р n
(1,2,…,n)= (1,0,…,0)+ (0,2,…,0)+ …+(0,0,…,n)=
=1(1,0,…,0)+ 2(0,1,…,0)+ …+n(0,0,…,1)= 1е1 +…+пеп и это представление однозначно. Значит, по Теореме 2 е1,…,еп – базис в P n, и dim P n = n.
Лекция 14.
Теорема 6. Любую линейно независимую систему векторов в пространстве L можно дополнить до базиса L.
Доказательство. Пусть а1,…,аk – линейно независимая система векторов в L. Если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk – базис линейного пространства L по Теореме 4. Если это не максимальная линейно независимая система векторов, то существует некоторый вектор аk+1 такой, что а1,…,аk ,аk+1 - линейно независимая система векторов в L. Опять, если это максимальная линейно независимая система векторов, то а1,…,аk+1 – базис линейного пространства L, а если не максимальная, то добавляем вектор аk+2 и т.д. пока не получим максимальную линейно независимую систему векторов, то есть базис.
Пусть е1,…,еп – базис линейного пространства L и хL. Тогда х = х1е1 +…+хпеп , и набор (х1,…,хп) называется координатами вектора х в базисе е1,…,еп .
Упражнение. Доказать, что если (х1,…,хп) координаты вектора х, а (у1,…,уп) координаты вектора у в базисе е1,…,еп , то координатами вектора х+у будет набор (х1+у1,…,хп+уп), а координатами вектора х, Р, будет набор ( х1,…, хп).