8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).

Запишем систему линейных уравнений (4.1) в виде

S : .

И рассмотрим систему

S : .

Очевидно, S  S, и если уравнение F = 0 является следствием системы S, то S  S, и S  S. Более того, S  S тогда и только тогда, когда уравнение F = 0 является следствием системы S. Это означает, что добавление к системе S или удаление из системы S уравнения, которое является следствием системы S, не меняет множества решений системы S. Чтобы сделать систему проще, естественно удалять из системы все уравнения, которые являются следствиями остальных уравнений.

Утверждение. Если F = ₁F₁+₂F₂+…+_mF_m , то уравнение F = 0 является следствием системы S, и S  S.

Доказательство очевидно: любое решение системы S обращает в 0 все F₁ , F₂ ,…, F_m , и значит, обращает в 0 выражение F, так как ₁0 +₂0+…+_m0 = 0.



Посмотрим, когда существуют такие ₁, ₂, …,_m , что

₁F₁+₂F₂+…+_mF_m=F. Если такие ₁,₂, …,_m существуют, то, сравнивая коэффициенты при х₁ , х₂ ,…, х_п и правые части уравнений, получим, что ₁, ₂, …,_m являются решениями следующей системы из п+1 уравнений:

Q : .

Наоборот, если ₁, ₂ , … , _m - решения этой системы, то ₁F₁+₂F₂+…+_mF_m = F. Таким образом, F = ₁F₁+…+_mF_m  существует решение системы Q  (по теореме Кронекера-Капелли) равны ранги матриц

и , или равны ранги транспонированных матриц

и .

Следовательно, если ранги этих матриц равны, то последнее уравнение в системе S можно отбросить и перейти от системы S к системе S.

Предположим теперь, что нам дана СЛУ (4.1), у которой ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы равны r (то есть система совместна). Для простоты будем считать, что отличный от нуля минор M_r порядка r находится в левом верхнем углу матрицы А. Тогда все уравнения, начиная с (r+1)-го и до т-го, являются линейными комбинациями первых r уравнений, и значит, их следствиями. То есть наша СЛУ равносильна системе из первых r уравнений, а уравнения с (r+1)-го и до т-го мы можем отбросить. Оставшиеся r уравнений мы запишем в виде

.

Так как определитель основной матрицы этой системы равен M_r  0, то, решая эту систему по Крамеру, получим х_i=/M_r , i= 1,…,r, где - определители, зависящие от х_j, j= r+1,…,n. Раскрывая эти определители, пользуясь линейностью по i-му столбцу, получим: =_i + с_i,r+1 х_r+1+…+ с_i,nх_n, i=1,…,r. Подставляя эти формулы в х_i=/M_r , получим выражения главных неизвестных через свободные.

Лекция 17.

8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определи­теля.

Теорема. Пусть А – (п,п)-матрица. Тогда равносильны следующие условия:

1. det A = 0,

2. rg A  n,

3. однородная СЛУ с основной матрицей А имеет ненулевое решение,

4. столбцы матрицы А линейно зависимы,

5. строки матрицы А линейно зависимы.

Доказательство. Из определения ранга rk 1  2. Если det A  0, то, например, по правилу Крамера существует только нулевое решение однородной СЛУ с основной матрицей A. Наоборот, если det A = 0, rg A = r  n, то у однородной СЛУ существуют n – r свободных неизвестных (см. 4.3), и, значит, существует ненулевое решение. Отсюда 1  3. Далее, существование ненулевого решения для однородной СЛУ равносильно линейной зависимости вектор-столбцов матрицы А (см. 7.5), то есть 3  4. Так как det A = det A^Т, то 1  5.

