22.2. Унитарная группа.

Рассмотрим множество U(Hⁿ) унитарных операторов на унитарном пространстве Нⁿ. Пусть также U(n) – множество унитарных пп-матриц, SU(n)= {A U(n)| detA=1},

SU(Hⁿ) = {  U(Hⁿ)| det = 1}.

Теорема 2.

1. U(Hⁿ) – группа, 2. U(n) – группа, 3. U(Hⁿ)  U(n),

4. SU(Hⁿ)– подгруппа в U(Hⁿ), 5. SU(n) – подгруппа в U(n).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2 из п.19.2.

Упражнение. Доказать теорему 2.

22.3. Структура унитарного оператора.

Лемма. Пусть  : Н Н - унитарный оператор, Н  L -

-инвариантное подпространство. Тогда L^ - -инвариантное

подпространство.

Доказательство аналогично доказательству леммы из

п.19.3.

Пусть  : Н^п  Н^п - унитарный оператор. По теореме из п. 16.7 в Н^п  L₁ - -инвариантное подпространство размерности 1. Тогда по лемме L₁^ - -инвариантное подпространство, и Н^п = L₁ L₁^. Так как  на L₁^ - унитарный оператор, то в L₁^  L₂ - -инвариантное подпространство размерности 1, и ортогональное дополнение L к L₂ в L₁^ также -инвариантно. Далее, Н^п = L₁L₂L, и в L  L₃ - -инвариантное подпространство размерности 1, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Н^п= L₁…L_п, где все L_i – -инвариантны, попарно ортогональны, одномерны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L = <e>, и  : L L - унитарный оператор, то  е = cе, c  C,

( е, е)= (е,е)  |c|²(е,е) = (е,е)  |c|²=1, c = cos + isin .

В разложении H^п = L₁L₂…L_n выберем в каждом L_i единичный вектор. Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Н^п. В этом базисе матрица унитарного оператора  имеет диагональный вид:

[] =diag(₁ ,₂ ,...,_n), где все _s = cos _s + isin _s .

Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого унитарного оператора  : Н^п  Н^п  ортонормированный базис и пространства Н^п, в котором матрица  имеет вид:

[] =diag(₁ ,₂ ,...,_n), где все _s = cos_s + isin_s. (22.1)

Верно и обратное утверждение: если [] имеет вид (22.1), то  - унитарный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой унитарной матрицы А существует унитарная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ имеет вид (22.1).

Очевидно, любая матрица вида (22.1) – унитарная.

Таким образом, любая унитарная матрица унитарно эквивалентна матрице вида (22.1).

Упражнение. Определить, какие матрицы вида (22.1) унитарно эквивалентны друг другу.

Лекция 33.

23. Эрмитовы линейные операторы

Изложение в этом пункте соответствует по аналогии изложению в п.20.

23.1. Сопряженное линейное пространство.

Рассмотрим на Н^п функцию f_a(х) = (х, а), где а  Н^п.

Упражнение. Проверить, что f_a  (Н^п)*.

Рассмотрим отображение Ф: Н^п  (Н^п)* такое, что для

а  Н^п Ф(а) = f_a .

Очевидно, Ф(а+b) = f_a+b = Ф(а) + Ф(b) = f_a + f_b , так как f_a+b(х) = (x, а+b) = (х, а) + (x, b) = f_a(х) + f_b(х) = ( f_a + f_b)(х). Ф(а) = f_a = Ф(а) =f_a , так как f_a(х)=(х, а)= (х, а)= =(f_a(х)) = (f_a)(х).

Следовательно, Ф – не является линейным отображением. Будем называть такие отображения полулинейными.

Упражнение. Пусть вектор а в ортонормированном базисе и имеет координаты (a₁, а₂,…,а_п). Проверить, что в сопряженном базисе и* функция Ф(а) = f_a имеет координаты (,,…,). Следовательно, Ф – биекция.

Будем говорить, что Ф – полуизоморфизм пространств Н^п и (Н^п)*. Таким образом, нами доказано

Утверждение. Отображение Ф: Н^п  (Н^п)* такое, что

для а  Н^п Ф(а) = f_a является полуизоморфизмом линей-

ных пространств Н^п и (Н^п)*.

Замечание. Полуизоморфизм Ф является каноническим, то есть он не зависит от базиса.