13.2. Матрица композиции линейных отображений.
Пусть Ln, Lm, Ls - линейные пространства над полем P с
базисами e,
e,
e
соответственно, :
Ln
Lm
- линейное отображение с m
n-матрицей
и :
Lm
Ls
- линейное
отображение с s
m-матрицей
.
Утверждение.
: Ln
Ls
- линейное отображение с s
n-матрицей
=
.
Доказательство. 1. a, b Ln, , P имеем:
( a+ b)=( ( a+ b))=( a+ b)=( a)+
+( b)= a+ b – получили линейность .
2. Пусть
x
Ln,
y =
x, (y
Lm),
z =
y = (
x), (z
Ls).
Тогда [
]
= [][
],
[
]
= [][
]
[
]
= []([][
])=
= ([][])[
]
= [
][
]
[
]
=[][]
– здесь мы
воспользовались ассоциативностью
умножения матриц и биективным соответствием
между линейными отображениями и
матрицами.
Замечания.
1. В частном случае при Ln= Lm= Ls, e= e= e, имеем
=
.
2. Если
= id,
то [][]
= [id]
= Е
[]
= []
-1
[ -1] = [] -1.
13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
Пусть , : Ln Lm - линейные отображения. Опреде-
лим отображение + : Ln Lm формулой: x Ln
( +)x = x + x. Тогда:
1. + - линейное отображение, так как x,y Ln, , P ( +)( x+ y)= ( x+ y)+( x+ y)=
= x+ y+ x+ y =(+)x+( +)y.
2. (
+)ej
=
ej
+
ej
=[
]
=[
]
+ [
]
=
=
+
=
+
,
[
+]
= []
+[]
.
13.4. Умножение линейного отображения на элемент
поля.
Пусть : Ln Lm - линейное отображение, r P. Опре-
делим отображение r : Ln Lm формулой: x Ln
(r)x = r(x). Тогда:
r - линейное отображение, так как (r)( x+ y) =
=r(( x+ y))= r( x+ y)=r x+r y =(r)x+(r)y.
2.
(r)ej
=
r(
ej
)
=[
]
=r[
]
= r
=
r
,[r]
= r[].
13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
алгебры матриц.
Пусть L=
Ln
- линейное пространство над полем P,
Ф(Ln)
– множество
линейных операторов :
Ln
Ln.
Тогда из пп.13.2-13.4
следует, что <
Ф(Ln),+,
,
> - некоторая универсальная алгебра.
Теорема.
< Ф(Ln),+,
,
> - алгебра.
Один из возможных способов доказательства этой теоремы состоит в доказательстве следующих трех утверждений:
1. Множество Ф(Ln,Lm)={: Ln Lm} линейных отображений из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на элементы поля является линейным пространством над полем P.
2. Ф(Ln) – ассоциативное унитарное кольцо относительно операций сложения и умножения (композиции) линейных операторов.
3. Ф(Ln) – алгебра относительно операций из пп.1,2.
Мы докажем эту теорему иначе.
Определение. Пусть A=<A, A >, B=<B, B > - универсальные алгебры с носителями A, B и множествами операций A, B соответственно. Отображение : A B называется изоморфизмом универсальных алгебр, если:
1. : A B – биекция носителей,
2. биекция : A B такая, что для любой n-арной операции A операция ()=B также n-арная, и
a1 ,…,an А выполняется (a1…an)=(a1)…(an).
Доказательство теоремы.
1. Пусть е – некоторый фиксированный базис в Ln. Определим отображение : Ф(Ln) Мn(Р), где Мn(Р) – алгебра
n
n-матриц
над Р.
ПустьФ(Ln)
по определению =[
].
Как мы уже видели, - биекция.
2. Отображение
:
<
Ф(Ln),+,
,
>
< Мn(Р),+,
,
>
является изоморфизмом универсальных
алгебр, так как по результатам пп.13.2-13.4
= []= [] [] = ,
[
]
= [][]
=
,
rp [rp] = r p[] = r p .
3. Так как <
Мn(Р),+,
,
> - алгебра, то <Ф(Ln),+,
,
>
- алгебра, и эти алгебры изоморфны. В
качестве примера докажем дистрибутивность
в Ф(Ln):
,
,
Ф(Ln)
()
()
= (
)
=
=
= (
)
(
)
= (
)
(
)
=
(из биективности
).
Остальные условия из определения алгебры проверяются аналогично.
Следствия.
1. dim Ф(Ln) = dim Мn(Р) = n2.
Если л.о. Ф(Ln) такой, что Ф(Ln) имеем
=
,
то
с
Р
такой, что
= с
- это следует из соответствующего
свойства алгебры матриц.
Упражнение. Проверить, что
B = {ij Ф(Ln), i,j =1,…,nij ej = ei, ijek= 0L при k j} - базис линейного пространства Ф(Ln).
Очевидно, ijek=kjei, и [ij] = Eij – базисные матрицы в пространстве Мn(Р).
Лекция 26.