- •А.М. Попов
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
11. Поле рациональных функций
11.1. Построение поля отношений.
Пусть А – произвольное АКУ-кольцо без делителей нуля.
Рассмотрим множество М = {(a, b)| a, b A, b 0 }. Введем на М отношение следующим образом: пусть по определению (a, b) (с, d) (ad = bc).
Упражнение. Проверить, что - отношение эквивалентности на М.
Пусть K= M . Элементами множества K являются всевозможные классы cl(a, b), где (a, b) М. Будем обозначать cl(a, b) в виде . Очевидно, и с 0 =, так как(ac,bc)(а,b) и bc 0.
I. Введем на множестве K операции сложения и умножения. Пусть по определению cl(a, b) + cl(с, d)= cl(ad+bc,bd), то есть +=, иcl(a, b) cl(с, d)= cl(ac, bd), то есть =. Очевидно,bd 0, то есть пары (ad+bc,bd), (ac, bd) М, и значит, классы cl(ad+bc,bd) и cl(ac, bd) определены.
Упражнение. Проверить корректность определения операций, то есть независимость определения от выбора представителей в классах. Иначе, если (a,b)(a1,b1), (c,d)(c1,d1), то необходимо проверить, что (ad+bc,bd) (a1d1+b1c1,b1d1) и
(ac, bd) (a1c1, b1d1).
II. Проверим, что на множестве K выполняются 9 свойств из определения поля.
2. Очевидно, b 0 (0, b) (0, 1), и = 0K – нейтрал по сложению в K (проверить!).
3. Проверить, что – =.
6. Очевидно, b 0 (b, b)(1, 1), то есть =и = 1K – нейтрал по умножению в K .
7. Очевидно, при а 0 =, так как==1.
Упражнение. Проверить свойства 1, 4, 5, 8, 9 из определения поля.
Построенное нами поле K называется полем отношений
или полем частных для кольца А. Элементы поля K называются дробями.
Рассмотрим отображение : А K такое, что а A (а)= . Очевидно,(а1)= (а2) = (а1,1)(а2,1) а1= а2, то есть является инъекцией. Будем считать, что А инъективно вкладывается в K при помощи , то есть будем отождествлять элементы вида вK с элементами а и считать, что A K. Тогда K имеем ==== аb-1 – привычное понимание дроби.
Замечания.
1. Если АКУ-кольцо А = Z, то в качестве поля K мы получим поле рациональных чисел Q.
2. Если A = Р – поле, то K = P.
3. Если Р – поле и АКУ-кольцо А = P[x], то в качестве поля K мы получим поле, которое называется полем рациональных функций и которое мы будем обозначать P(x). Элементами поля P(x) являются рациональные функции ,
причем = f(x)g1(x) = f1(x)g(x).
11.2. Поле рациональных функций.
Определение. Рациональная функция ,kN, назы-
вается простейшей дробью, если р(х) – простой многочлен и ст.f(х) ст.р(х).
Например, если р(х) = х – а, то дроби - простейшие.
Теорема. Всякую рациональную функцию w(х) Р(х)
можно однозначно представить в виде w(х)= F(x)+, где F(x), fij P[x], рi(х) – простые многочлены, ст.fij cm.pi .
Доказательство.
Докажем существование разложения. Пусть
w(х)= , иg(x) = p1(x)… pr(x)- разложение на простые множители, pi(x) ≠ pj(x) при i ≠ j, и h(x) = p2(x)… pr(x). Тогда w(х)=. Вычтем из w(х) простейшую дробь с неопределенным пока числителемf1(x):
w(х) - =. Покажем теперь, что можно подобратьf1(x) так, чтобы числитель f(x) – f1(x)h(x) делился на р1(х). В самом деле, так как h(x) и p1(x) – взаимно простые, то по утверждению 1 из 10.4 существуют многочлены u(x) и v(x) такие, что h(x)u(x) + p1(x)v(x)= 1. После умножения этого равенства на f слева и справа получим f = fuh + p1vf. В качестве f1 можно было бы взять fu, но мы не знаем, будет ли ст.fи ст.р1. В случае, когда ст.fи ст.р1, разделим
fu на р1 с остатком: fи = qр1+ r1, ст.r1 ст.р1 . Тогда
f = fuh+ p1vf = (qр1+r1)h + p1vf = r1h+ p1(qh+ vf)= r1h+ p1, и можно взять f1 = r1. Теперь f(x) – f1(x)h(x) делится на р1(х), и ст.f1ст.р1. Таким образом, w(х)=+= =+. Далее такую же процедуру можно проделать с дробьюили считать, что для неё утверждение выполнено по предположению индукции. Отсюда следует существование разложения рациональной функции на простейшие дроби.
2. Докажем единственность разложения. Пусть
w(х)= =F(x)+=F(x)+ f = Fg + R, и ст.R ст.g. Из однозначности деления с остатком получаем, что F и R определяются однозначно. Пусть теперь = - два разложения на простейшие дроби. Тогда == 0,где fij = fij - fij.
Если , 0, - простейшая дробь в нашем разложении с наивысшей степенью многочлена р1 в знаменателе, то общим знаменателем для суммы будет , гдеh на р1 не делится. Умножим равенство = 0 на общий знаменатель. Получим: +сумма всех остальных слагаемых, содержащих множитель р1, = 0, то есть +р1Н = 0. Но иh не делятся на р1. Мы получили противоречие. Отсюда следует единственность разложения на простейшие дроби.
Лекция 24.