16. Инвариантные подпространства

Определение. Для линейного оператора  : L  L под­пространство V  L называется инвариантным относительно  (или -инвариантным), если V  V (хV  хV).

Примеры.

1. {0} и L – инвариантные подпространства для любого ли­нейного оператора  : L  L. Эти подпространства называ­ются тривиальными.

2. Пусть pr_<i,j>: Е³ Е³- ортогональное проектирование на плоскость < i , j >. По определению pr_<i,j>(xi+ yj+ zk)= xi+ yj. Тогда V₁ = < i, j > и V₂ = < k > - инвариантные подпространства, и Е³= V₁  V₂.

3. Пусть  : Е³ Е³ – поворот относительно оси < k >. Тогда V₁ = < i , j > и V₂ = < k > - инвариантные подпространства, и Е³= V₁  V₂.

4. Рассмотрим d/dx : P_n[x]  P_n[x]. Тогда для k = 0,…,n

P_k[x] – инвариантные подпространства, но P_n[x] нельзя разложить в прямую сумму инвариантных подпространств.

Определение. Пусть  : L  L линейный оператор в линейном пространстве L над полем Р, f(t)= _kt ^k+ _k-1t ^k-1+…+ +₁t +₀  P[t]. Тогда по определению f()= _k ^k+…+₁+ + ₀ id.

16.1. Свойства инвариантных подпространств.

Утверждения.

1. Сумма -инвариантных подпространств -инвариантна.

2. Пересечение -инвариантных подпространств -инва-

риантно.

3. Пусть V - -инвариантное подпространство и

f(t) P[t]. Тогда V – инвариантно относи­тельно линейного оператора f( ).

Доказательство.

1. Пусть V₁ и V₂ - -инвариантные подпро­странства, то есть V₁  V₁, V₂  V₂. Тогда (V₁ + V₂) = V₁ + V₂  V₁ + V₂ .

2. Пусть V₁ и V₂ - -инвариантные подпро­странства, и

х V₁ ∩ V₂ . Тогда х V₁, хV₂ , и  х V₁,  хV₂ , так что

 х V₁ ∩ V₂ .

3. х V имеем  х V   ²х = ( х) V, …,  ⁿх V, и так как V – подпространство, то

f( )х = ₀ id_L x +₁ x + …+ _n ⁿх V  V - f( )-инвари- антное подпространство.



Рассмотрим, как существование у линейного оператора  инвариантного подпространства связано со свойствами его матрицы [].

Пусть  : Lⁿ  Lⁿ - линейный оператор, Lⁿ  L^m - -инва- риантное подпространство (1 m< n), {е₁,…, е_m} – базис в L^m . Дополним базис L^m до базиса е = {е₁,…, е_m, е_m+1,…, е_n} всего пространства Lⁿ. В базисе е оператор  имеет полураспав­шуюся матрицу:

[]=, (16.1)

где А₁ – (m m)-матрица, А₂ – (n-m)(n- m)-матрица, 0 – ну-­

левая (n-m) m-матрица. В самом деле, j =1,…,m  е_j  L^m ,

то есть  е_j =_1jе₁+…+ _mjе_m + 0е_m+1+…+0е_n .

Обратно, если в некотором базисе е ={е₁,…, е_m, е_m+1,…_,е_n}

пространства Lⁿ оператор  имеет полураспавшуюся мат­рицу вида (16.1), то <е₁,…, е_m >= L^m - -инвариантное подпространство. В самом деле, j =1,…,m е_j L^m (так как е_j раскладывается только по векторам е₁,…, е_m )   х  L^m, х= ₁е₁+…+ _mе_m, имеем  х = ₁ е₁+…+ _m е_m L^m.

Выводы.

1. Л.о.  имеет нетривиальное инвариантное подпространство  в Lⁿ  базис, в котором матрица [] - полураспавшаяся.

2. Подпространство L^m - -инвариантно  для любого (достаточно, для некоторого) базиса {е₁,…, е_m } в L^m  е_j  L^m j =1,…,m.

Пусть  : L L - линейный оператор, LV - -инвариант-

ное подпространство. Определим отображение |_V : V V так: x V пусть по определению |_V(x)=  x.

Упражнение. Доказать, что |_V – линейный оператор.

Определение. Линейный оператор |_V : V V называется ограничением  на V, или оператором, индуцированным на инвариантном подпространстве V линейным оператором .

Очевидно,  и |_V отличаются лишь областью определе­ния, и на подпространстве V имеет место равенство  =|_V .

Замечание. Очевидно, линейное отображение |_V будет линейным оператором  V- инвариантное подпространство.

Легко видеть, что для примера 2 |_V1 =id, |_V2 =0, а для примера 3 |_V1 – поворот плоскости, |_V2 = id. В случае же оператора с матрицей (16.1), очевидно, в базисе {е₁,…, е_m} []= А₁ .