28.1. Теорема Лагранжа.

Пусть G – группа, и H – подгруппа в G. Введем на множестве G бинарное отношение  : для элементов g₁, g₂  G будем считать по определению, что g₁  g₂  g₁g₂^-1 Н. Выражение g₁g₂^-1 называется групповой разностью.

Очевидно, g₁g₂^-1= h  Н  g₁= h g₂.

Утверждение. Отношение  является отношением эквивалентности на G.

Доказательство. Очевидно, отношение  - рефлексивно, то есть g G g  g , так как g g ^-1 =   H. Кроме того, отношение  - симметрично, так как если g₁  g₂, то

g₁g₂^-1= h  Н  h ^-1H, h ^-1= g₂g₁^-1 H  g₂  g₁ . И наконец, отношение  - транзитивно, так как если g₁ g₂, g₂  g₃, то g₁g₂^-1= h₁ Н, g₂g₃^-1= h₂  Н  h₁h₂ = g₁g₃^-1 Н  g₁  g₃.



Таким образом, множество G разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов. Причем cl g₁ = {g  G| g  g₁} = {g  G| g = hg₁, h  Н } = Hg₁ . Класс Hg₁ называется правым смежным классом элемента g₁ по подгруппе Н. Аналогично, левым смежным классом элемента g₁ по подгруппе Н называется подмножество g₁H.

Упражнение. Найти фактормножество G /  в случаях, когда H = G и H = {}.

Пусть G – конечная группа, и число элементов группы G равно п: |G| = n . Число элементов группы называется порядком группы. Пусть Н – подгруппа в G, |H| = m.

Теорема Лагранжа. m | n, причем n = km, где k – число правых смежных классов группы G по подгруппе Н.

Доказательство. Пусть H = { h₁,…, h_m}. Тогда

Hg ={ h₁g,…, h_mg }, причем все элементы h₁g,…,h_mg – различ-

ны, так как если h_ig = h_jg , то h_igg ^-1 = h_jgg ^-1  h_i = h_j . Следовательно, |Hg| = m = |H|, то есть число элементов во всех правых смежных классах одинаково и равно т. Так как количество смежных классов равно k, они не пересекаются и их объединение совпадает с G, то n = mk  m = n / k.



Аналогично доказывается теорема Лагранжа для левых смежных классов группы G по подгруппе Н. И количество их также равно n / k = т.

Определение. Количество смежных классов (правых или левых) группы G по подгруппе Н называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается (G:H).

В новых обозначениях теорема Лагранжа может быть сформулирована так: |G| / |H| = (G:H).

28.2. Факторгруппы.

Пусть G – произвольная, не обязательно конечная группа.

Замечание. Так как  a, b G (ab)(b ^-1a ^-1)= a(bb^-1)a ^-1 =

= aa ^-1 = , то (ab) ^-1 = b ^-1a ^-1.

Теорема. Для подгруппы H  G эквивалентны следующие 4 условия:

1.  h  H,  g  G g ^-1hg  H;

2.  g  G g ^-1Hg  H;

3.  g  G g ^-1Hg = H;

4.  g  G Hg = gH – то есть правые и левые смежные класы совпадают.

Доказательство. Очевидно, 1  2 – это одно и то же условие, записанное в 1 для элементов, а в 2 для множеств. Также очевидно, что 3  2. Покажем, что 2  3. Заменим в условии 2 элемент g на g^-1. Получим gHg ^-1 H. Умножим это включение слева на g ^-1 и справа на g. Получим H g^-1Hg. Это включение вместе с включением из 2 дает равенство 3. Следовательно, 2  3. И наконец, равенство 4 получается умножением равенства 3 на g слева, а равенство 3 получает-

ся умножением равенства 4 на g ^-1 справа. То есть 3  4.

Определение. Подгруппа H  G называется нормальной

подгруппой (или нормальным делителем) в G, если для Н выполняется любое из четырёх эквивалентных условий теоремы (а, следовательно, и все четыре условия).

Очевидно, в коммутативной группе любая подгруппа – нормальная.

В случае нормальной подгруппы Н фактормножество G/

мы будем обозначать G / H. В этом случае левые и правые смежные классы совпадают, и их можно просто называть смежными классами. Обозначать смежный класс элемента g мы будем .

Очевидно, тривиальные подгруппы {} и G – нормальны.

Пусть Н – нормальная подгруппа в G. Зададим на фактормножестве G / H структуру группы.

I. Пусть для , G/H по определению =.

Утверждение. Определение умножения на G/H коррект-

но, то есть не зависит от выбора представителей в классах и.

Доказательство. Пусть g₁,g₂- другие представители в классах. Покажем, чтоg₁g₂  , то естьg₁g₂  g₁g₂. В самом деле, g₁  g₁ , g₂  g₂  g₁ = h₁g₁, g₂= h₂g₂  g₁g₂= h₁g₁h₂g₂=h₁g₁h₂(g₁^-1g₁)g₂= h₁(g₁h₂g₁^-1)g₁g₂= = h₁hg₁g₂ = hg₁g₂, и h H  g₁g₂  g₁g₂, =.



II. Проверим свойства из определения группы.

1. () = ===() – ассоциативность вG / H выполняется.

2. ===, то есть вG / H  нейтральный элемент .

3. Очевидно, ===, то есть вG / H

для элемента  обратный элемент ^-1 = .

Таким образом, на фактормножестве G / H мы задали

структуру группы, которая называется факторгруппой.

Упражнения.

1. Доказать, что если группа G коммутативна, то и факторгруппа G / H коммутативна.

2. Доказать, что G /{}  G, G / G  {}.

Рассмотрим поэлементное произведение смежных классов: g₁Hg₂H = { g₁hg₂h | h, h  H}. Очевидно, g₁Hg₂H =

= g₁(g₂g₂^-1)Hg₂H = g₁g₂(g₂^-1Hg₂)H = g₁g₂HН = g₁g₂H (легко видеть, что НН = Н, так как НН  Н, и уже Н = Н). Кроме того, (gH) ^-1= {(gh) ^-1| h  H} = Н ^-1g ^-1= Нg ^-1= (g ^-1g)Hg ^-1=

= g ^-1(gHg ^-1) = g ^-1H (очевидно, Н ^-1 = Н, =Н = Н).

Таким образом, операцию умножения смежных классов на фактормножестве G / H можно определять как операцию поэлементного умножения классов: g₁Hg₂H = g₁g₂H. При таком определении мы тоже получили бы на G / H структу-

ру группы.