5.1. Определения. Свойства.

На множестве квадратных (п п)-матриц (п = 1,2,3,…) с элементами из поля Р определим по индукции функцию det со значениями в поле Р. Значение этой функции на матрице А будем обозначать также |A| и называть определителем матрицы А.

Пусть для п = 1 для матрицы А = (а₁₁) по определению detA = а₁₁ .

Далее будем считать, что для всех (п – 1)(п – 1)-матриц функция det уже определена. Определим для (п п)-матрицы

A = функциюdetA по формуле:

detA = а₁₁ M₁₁ - а₂₁ M₂₁ + а₃₁ M₃₁ - …+(-1)ⁿ⁺¹а_n1 M_n1 , где M_k1 – определитель (п – 1)(п – 1)-матрицы, которая получается из матрицы A вычеркиванием 1-го столбца и k-й строки. По предположению индукции можно считать, что все эти определители мы вычислять умеем. Определители M_k1 называются минорами, соответствующими элементам а_k1. Число п будем называть порядком (п п)-матрицы А, а также порядком определителя |A|.

Упражнение. Написать формулы для |A| при n = 2 и 3.

Замечание. detA можно рассматривать как функцию одного матричного аргумента A, можно рассматривать как функцию от п² аргументов а_ij, можно рассматривать как функцию от п строк матрицы A .

Обозначим i-ю строку матрицы А через А_i . То есть А_i = (а_i1 , а_i2 ,…, а_in ). Рассмотрим det как функцию п строк матрицы A: detA = det(А₁ , А₂ ,…, А_n ).

Утверждение 1.

det(А₁ ,…,А_i+А_i ,…,А_n)=det(А₁ ,…,А_i ,…,А_n)+det(А₁ ,…,А_i,…,А_n).

Доказательство по индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которойi-я строка = А_i+А_i . По определению ||=а₁₁-а₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹(а_i1+а_i1)M_i1+…+ +(-1)ⁿ⁺¹а_n1, где ,k  i, - миноры матрицы ,M_i1 – минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 1 верно, то есть при k  i =M_k1 + M_k1 , где M_k1 - миноры для det(А₁ ,…,А_i ,…,А_n), а M_k1 – миноры для

det(А₁ ,…,А_i,…,А_n). Таким образом,

||=а₁₁(M₁₁+M₁₁) -а₂₁(M₂₁+M₂₁)+…+(-1)ⁱ⁺¹(а_i1+а_i1)M_i1+…+ +(-1)ⁿ⁺¹а_n1 (M_n1+ M_n1) =

= (а₁₁M₁₁ - а₂₁M₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹а_i1 M_i1+…+(-1)ⁿ⁺¹а_n1M_n1 )+

+ (а₁₁M₁₁ - а₂₁M₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1+…+(-1)ⁿ⁺¹а_n1 M_n1) =

= det(А₁ ,…,А_i ,…,А_n) + det(А₁ ,…,А_i,…,А_n).



Утверждение 2.

det(А₁ ,…, сА_i ,…, А_n) = сdet(А₁ ,…, А_i ,…, А_n).

Доказательство по индукции.

При п = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу , у которойi-я строка = сА_i . По

определению || =а₁₁- а₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹са_i1M_i1+…+

+(-1)ⁿ⁺¹а_n1, где ,k  i, - миноры матрицы ,M_i1 – минор матрицы А и . Так как все - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 2 верно, то есть при k  i = сM_k1 , где M_k1 - миноры для det(А₁ ,…, А_i ,…, А_n). Таким образом,

||=а₁₁сM₁₁ - а₂₁сM₂₁ +…+ (-1)ⁱ⁺¹са_i1M_i1+…+ (-1)ⁿ⁺¹а_n1сM_n1 =

= сdet(А₁ ,…,А_i ,…,А_n) .



Свойства определителя из утверждений 1, 2 называются свойствами линейности определителя по i-й строке. Так как i – произвольная строка, i = 1 n, то говорят, что определи­тель - полилинейная функция строк.

Утверждение 3.

det(А₁ ,…, А_i , А_i ,…, А_n) = 0 – то есть определитель, у которого две соседние строки одинаковые, равен нулю.

Доказательство по индукции.

При п = 2 утверждение очевидно из формулы для определителя 2-го порядка.

Пусть утверждение верно для п – 1. Докажем его для п. Рассмотрим матрицу А, у которой А_i+1= А_i . По определению |А| = а₁₁M₁₁ - а₂₁M₂₁+…+(-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1 - (-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1+…+

+(-1)ⁿ⁺¹а_n1M_n1 , где все миноры M_k1 , k  i, i+1, – имеют две одинаковые соседние строки, и так как все M_k1 - определители порядка n – 1, то по предположению индукции для них утверждение 3 верно, то есть при k  i, i+1 M_k1 =0. А сумма (-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1 - (-1)ⁱ⁺¹а_i1M_i1= 0. Таким образом, |А| = 0.



Утверждение 4.

det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n) = - det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n) – то

есть если у определителя поменять местами две соседние строки, то он изменит знак.

Доказательство. Из утверждений 3 и 1

0 =det(А₁ ,…,А_i+А_i+1 ,А_i+А_i+1 ,…,А_n) = det(А₁ ,…, А_i , А_i ,…, А_n)+ + det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n) + det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n) +

+ det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i+1 ,…, А_n) – в этой сумме 1-е и 4-е слагаемые по утверждению 3 равны 0 , то есть

det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n)+ det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n)= 0 

det(А₁ ,…, А_i , А_i+1 ,…, А_n) = - det(А₁ ,…, А_i+1 , А_i ,…, А_n).



Утверждение 5. Если у матрицы А при i  j А_i = А_j , то

|A|= 0 – то есть определитель, у которого две строки одинаковые, равен нулю.

Доказательство. При j = i+1 определитель равен нулю по утверждению 3. Пусть j  i+1. Переставим j-ю строку с (j -1)-й, затем с (j -2)-й, с (j -3)-й и т.д. пока не дойдем до

(i +1)-й и не получим определитель с двумя одинаковыми соседними строками – этот определитель по утверждению 3 равен нулю. Каждый раз при перестановке соседних строк по утверждению 4 определитель менял знак. После всех этих перестановок строк мы получим окончательный нулевой определитель, который отличается от нашего первоначального, может быть, разве что только знаком. Значит, и наш первоначальный определитель тоже равен нулю.



Утверждение 6.

det(А₁ ,…, А_i ,…,А_j ,…, А_n) = - det(А₁ ,…, А_j ,…, А_i ,…, А_n) – то есть если у определителя поменять местами i-ю и j-ю строки, то он изменит знак.

Доказательство аналогично доказательству утверждения 4.

Упражнение. Доказать утверждение 6.

Свойство определителя из утверждения 5 называется свойством кососимметричности (или антисимметричности) определителя по строкам.

Итак, нами доказана

Теорема. Определитель матрицы является полилиней­ной кососимметричной функцией строк этой матрицы.