- •А.М. Попов
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
13.1. Линейное отображение и его матрица.
Пусть L, L - линейные пространства над полем P.
Определение. Отображение : L L называется линей-
ным отображением, если
1. a, b L (a+b) = a + b,
2. a L P (a) = a.
Очевидно, условия 1-2 эквивалентны условию 3:
3. a, b L , P (a+b) = a + b.
В самом деле, 3 следует из 1 и 2: (a+b)=(a)+(b) = =a + b, 1 следует из 3 при = 0, 2 следует из 3 при 1.
Определение. Если линейное отображение является
биекцией, то - изоморфизм линейных пространств L и L.
Примеры.
pr: E3 E2 - ортогональная проекция пространства E3
с ортонормированным базисом i, j, k на подпространство
E2 = i, j параллельно подпространству k (оси Oz ).
: E3 E3, x E3 x = [a, x] – векторное произве-
дение вектора х на фиксированный вектор a E3.
= :Pn[x] Pn-1[x] – отображение дифференци-
рования.
: Pn[x] P, где f Pn[x] по определению
(f) = f(16).
: Pп[x] Pп+1[x], где f P[x] по определению
(f) = хf.
Замечание. Очевидно, можно считать, что в примере 1
pr – отображение из E3 в E3, а в примере 3 : Pn[x] Pn[x].
Упражнение. Доказать линейность отображений из при-
меров 1-5.
Простейшие свойства линейных отображений.
(0L)= 0L , но в общем случае -1(0L) 0L , хотя
-1(0L) 0L – см. примеры 1- 4.
(-a) = - a a L.
()= .
Действительно, (0L) = (00L) = 0(0L) = 0,
(-a)= ((-1)a)= (-1) a = - a, а свойство 3 доказывается индукцией по k.
Упражнение. Найти -1(0L ) в примерах 1-5.
Матрица линейного отображения.
Пусть Ln, Lm - линейные пространства над полем P,
: Ln Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} - произвольный базис в Ln.
Лемма 1. Линейное отображение : Ln Lm полностью и однозначно определяется образами базисных векторов
e1 ,…, en .
Доказательство. Пусть x Ln, x =. Тогда
x = ()= xLn x определяется векторами e1 ,…, en причем однозначно.
Пусть : Ln Lm - линейное отображение, e={e1,…,en} –
базис в Ln, e={e1,…,em} – базис в Lm. Выразим векторы j ej через базис e¢. Пусть ej =, j=1,…,n. Матрицу
(aij) размером mn будем называть матрицей линейного
отображения в базисах e и e и обозначать , или , или [], если ясно, какие базисы имеются ввиду. Очевидно, = [], то есть j-й столбец матрицы - это столбец координат вектора ej в базисе e. Единственность матрицы линейного отображения при фиксированных базисах e и e следует из леммы 1 и единственности координат вектора в данном базисе.
Упражнение. Найти матрицы линейных отображений в примерах 1-5.
Замечание. Пусть по определению [x] = [] = - столбец координат вектора x в базисе e. Если допустить умножение векторов на элементы поля справа, положив по определению а = а Р, аL (проверить корректность!), то можно написать в матричном виде следующие равенства:
х = e1х1+…+enхn = (e1,…,en)[х] = e[х], (13.1)
(e1,…,en) = (e1,…,em)[] или е=е[].
Лемма 2. Пусть e={e1,…,en} – базис в Ln, {a1,…,an} – произвольная система векторов в Lm. Тогда линейное отобра-
жение : Ln Lm такое, что ei= ai, i=1,…,n.
Доказательство.
1. Единственность. Пусть искомое существует. Тогда для
x = имеем x = ()==- отсюда единственность.
2. Существование. Пусть для произвольного x = по
определению x = ()=. (Из п.1 видно, что
никак иначе отображение мы определить и не можем).
Тогда - линейное отображение, так как x = Ln,
у = Ln и , Р имеем
( x + у) = (+)=() =
== + = x + у. Кроме того, еi=(0·е1+…+1·еi+…+0·еn)=0·a1+…+1·ai+…+0·an= ai.
Замечание. Линейное отображение называется продолжением по линейности отображения базисных векторов
: {e1,…,en} Lm такого, что ei= ai, i=1,…,n.
Следствия. 1. тп-матрицы А ! линейное отображение : Ln Lm такое, что = А – для этого надо выбрать векторы a1,…,an, координаты которых в базисе е, записанные по столбцам, образуют матрицу А, и применить лемму 2.
2. При фиксированных базисах е в Ln и е в Lm соответс-
твие является биекцией между множеством линей-
ных отображений из Ln в Lm и множеством тп-матриц.
Пусть x Ln , y = x Lm. Найдем связь координат векторов x в базисе e и y = x в базисе e. Если x = ,
y= x= ()==()=ei= =, то yi = . То есть []=[] или
[] = [].
В матричном виде, следуя (13.1), можно получить эту формулу так: х = (е[x]) = (е)[x] = e[][x] = y =e[y] [y] = [x] = [][x].
Важный частный случай линейных отображений.
Пусть : Ln Ln , e – базис в Ln , то есть Ln = Lm , n = m,
e = e. Тогда называется линейным оператором (л.о.) или
эндоморфизмом в пространстве Ln. Матрицу (соответственно, ) мы будем обозначать (соответственно, ) и называть матрицей линейного оператора в базисе e. Очевидно, матрица л.о. - квадратная nn-матрица, j-й столбец которой =[], и []=[] = [].
Ещё один важный частный случай линейных отображений.
Пусть m=1, то есть Lm= L1 = P, : Ln P, e – базис в Ln, e={1} – базис в L1 = P. Тогда называется линейной функцией или линейным функционалом на пространстве Ln, а матрицей является 1 n-матрица-строка.
Лекция 25.