- •А.М. Попов
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
5.9. Решение слу по Крамеру.
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными:
(5.1)
Домножим левые и правые части уравнений на алгебраические дополнения Аik основной матрицы А системы (5.1):
1-е уравнение домножим на А1k, второе – на А2k, и т.д., п-е – на Апk. Затем домноженные уравнения сложим. У полученного уравнения коэффициент при хk будет равен = |A|. А коэффициент при хs , s k, равен - это определитель, у которого k-й столбец в матрице А заменен на s-й столбец, то есть это определитель с двумя одинаковыми столбцами – k-м и s-м, и, значит, этот определитель равен нулю. Таким образом, коэффициенты при всех хs , s k, равны нулю. А правая часть полученного уравнения имеет вид - это определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой k-го столбца на столбец из правых частей системы (5.1). Этот определитель мы будем обозначать k =. Следовательно, после сложения домноженных уравнений мы получим уравнение вида |A| хk= k . Это уравнение – следствие системы (5.1).
Если |A|= 0 и k 0, то уравнение |A| хk= k не имеет решений, и, следовательно, система (5.1) несовместна.
Если |A| 0, то из решения по Гауссу система (5.1) - совместная и определенная, и её решения являются решениями уравнений |A| хk= k , которые имеют единственное решение хk = k / |A|. Следовательно, набор хk = k / |A|, k = 1,…,п, является единственным решением системы (5.1). Это решение и называется решением по Крамеру.
Если |A|= 0 и все k= 0, то по Крамеру систему решать нельзя. Можно решать её, например, по Гауссу. В этом случае система (5.1) либо имеет больше одного решения, либо несовместна.
Упражнение. Привести примеры систем с |A|= 0, которые имеют более одного решения, и систем, которые несовместны.
Лекция 10.
5.10. Теорема Лапласа.
Для любых s1 s2 … sm и t1 t2 … tm будем обозначать через минор (определитель) матрицыА, стоящий на пересечении столбцов с номерами s1, s2 ,…, sm и строк с номерами t1, t2 ,…, tm .
Пусть k1 k2 … kp - номера фиксированных столбцов (пп)-матрицы А, kp+1 kp+2 … kn – номера дополнительных (фиксированных) столбцов матрицы А.
Теорема Лапласа.
|A| = , (5.2)
где i1 i2 … ip – (переменные) номера всевозможных строк, по которым ведется суммирование, ip+1 ip+2 … in - номера дополнительных строк.
Доказательство. Очевидно, сумма в теореме Лапласа состоит из слагаемых. По теореме о полном разложении определителя минор содержит р! слагаемых, а минор содержит (п – р)! слагаемых. Если все эти слагаемые перемножить в каждом из произведений миноров, то получим всегор!(п – р)! = п! слагаемых – ровно столько же, сколько содержится в теореме о полном разложении определителя |A|. Кроме того, после перемножения все полученные слагаемые – это одночлены, множителями которых являются элементы матрицы А, выбранные по одному из каждого столбца с номерами k1, k2 ,…, kp и с номерами kp+1, kp+2,…, kn , то есть элементы матрицы А, выбранные по одному из всех столбцов, и аналогично по одному из всех строк. Это значит, что 1) среди этих одночленов нет подобных членов, и 2) эти одночлены в точности такие же, как одночлены, которые получаются при разложении |A| по теореме о полном разложении определителя. Последнее, что осталось проверить – это то, что все эти одночлены в правой части равенства (5.2) имеют такие же знаки, как и одночлены в разложении определителя |A|, или, как мы будем говорить – правильные знаки.
Лемма. Пусть k1=1, k2 =2,…, kp= р, и, следовательно,
kp+1= р+1, kp+2=р+2,…,kn=п. Запишем правую часть равенства (5.2) в виде + все остальные слагаемые. Докажем, что все одночлены из имеют правильные знаки.
Доказательство леммы. Произвольный одночлен из имеет вид
, где
1=,(1)= (- 1)r, 2=, (2) = (- 1)s, r – число инверсий подстановки 1 , s - число инверсий подстановки 2. Таким образом, в правой части формулы (5.2) одночлен имеет знак(- 1)r+s. А в левой части формулы (5.2) в разложении |A| одночлен имеет знак
()= (- 1)t, где
=, а t - число инверсий подстановки . Но, очевидно, t = r + s, так как у подстановки инверсии образуют лишь элементы j1, j2,…, jp между собой и элементы jр+1, jр+2,…, jп между собой, а между элементами из подмножеств j1, j2,…, jp и jр+1, jр+2,…, jп инверсий нет, так все элементы второго подмножества больше элементов первого подмножества и расположены правее.
Таким образом, в правой части формулы (5.2) все одночлены из имеют правильные знаки.
Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы. Докажем теперь, что все одночлены в (5.2) из слагаемого
имеют правильные знаки. В матрице A переставим k1-й столбец на 1-е место, меняя местами его каждый раз с соседними предыдущими столбцами, за (k1–1) шагов; затем k2-й столбец на 2-е место за (k2–2) шагов и т.д.; и наконец, kр-й столбец на р-е место за (kр–р) шагов. После этого столбцы с номерами kp+1, kp+2,…,kn займут в матрице места с номерами р +1, р +2,…,п . Теперь такую же процедуру проделаем со строками матрицы А: строки с номерами i1, i2,…, ip переставим на 1-е места за (i1 – 1)+(i2 - 2)+ +…+( ip – р) шагов. После этого строки с номерами iр+1, iр+2,…,iп займут места с номерами р+1, р +2,…,п . Полученную матрицу обозначим А. Её определитель
|A| = |A|. По лемме все одночлены из для|A| имеют правильные знаки. Но |A|=|A|, = ,
= , и значит, все одночлены из
имеют правильные
знаки для |A|.
Замечания.
1. Как и для разложения определителя по фиксированным р столбцам в формуле (5.2), имеет место аналогичное разложение по фиксированным р строкам, которое получается из (5.2) транспонированием.
2. Разложения определителя по произвольному столбцу (или произвольной строке) является частным случаем разложения (5.2) при р = 1.
3. Теорема об определителе с углом нулей также является частным случаем теоремы Лапласа.
Лекция 11.
ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ