- •А.М. Попов
- •1.1. Комбинаторика.
- •1.2. Бином Ньютона.
- •3.1. Соответствия. Функции. Отношения.
- •3.2. Подстановки.
- •3.3. Отношение эквивалентности.
- •4.1. Определения.
- •4.2. Элементарные преобразования.
- •4.3. Решение и исследование систем линейных уравнений по Гауссу.
- •4.4. Решение систем линейных уравнений по Жордану.
- •5.1. Определения. Свойства.
- •5.2. Вычисление определителей.
- •5.3. Обратная теорема об определителях.
- •5.4. Разложение определителя по столбцам.
- •5.5. Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.
- •5.6. Определитель транспонированной матрицы.
- •5.7. Разложение определителя по строкам.
- •5.8. Определитель матрицы с углом нулей.
- •5.8. Теорема о полном разложении определителя.
- •5.9. Решение слу по Крамеру.
- •5.10. Теорема Лапласа.
- •6.1. Определения, примеры.
- •6.2. Простейшие свойства колец.
- •6.3. Делители нуля.
- •6.4. Кольцо классов вычетов.
- •6.5. Поля.
- •7. Линейные пространства
- •7.1. Определения, примеры.
- •7.2. Теоремы о базисах.
- •7.3. Изоморфизм линейных пространств.
- •7.4. Подпространства.
- •7.5. Теорема Кронекера-Капелли.
- •7.6. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •8. Системы линейных уравнений
- •8.1. Определение ранга матрицы через миноры.
- •8.2. Решение систем линейных уравнений (продолжение).
- •8.3. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
- •8.4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- •9. Матрицы
- •9.1. Операции над матрицами, их свойства.
- •9.2. Элементарные матрицы.
- •9.3. Определитель произведения матриц.
- •9.4. Обратная матрица.
- •9.5. Решение матричных уравнений.
- •9.6. Ранг произведения матриц.
- •10.1. Построение алгебры многочленов.
- •10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
- •10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.
- •10.4. Алгоритм Евклида.
- •10.6. Производная.
- •10.7. Кратные корни многочлена.
- •10.8. Основная теорема алгебры.
- •10.10. Разложение многочлена на простые множители
- •11. Поле рациональных функций
- •11.1. Построение поля отношений.
- •11.2. Поле рациональных функций.
- •12. Прямые суммы подпространств
- •13.1. Линейное отображение и его матрица.
- •13.2. Матрица композиции линейных отображений.
- •13.3. Сумма линейных отображений и её матрица.
- •13.4. Умножение линейного отображения на элемент
- •13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и
- •14. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •14.1. Изменение координат вектора при изменении
- •14.2. Изменение матрицы линейного отображения
- •14.3. Эквивалентные матрицы.
- •15. Образ и ядро линейного отображения Пусть : l l - линейное отображение.
- •16. Инвариантные подпространства
- •16.1. Свойства инвариантных подпространств.
- •16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.
- •16.3. Прямая сумма линейных операторов.
- •16.4. Собственные векторы и собственные значения
- •16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.
- •16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над r и над с.
- •17. Диагонализируемые линейные операторы
- •18. Евклидовы векторные пространства
- •18.1. Определения, примеры.
- •18.2. Свойства евклидовых пространств.
- •19. Ортогональные линейные операторы
- •19.1. Определение. Свойства.
- •19.2. Ортогональная группа.
- •19.3. Структура ортогонального оператора.
- •20. Самосопряженные линейные операторы
- •20.1. Сопряженные линейные пространства.
- •20.2. Сопряженные линейные операторы.
- •20.3. Самосопряженные линейные операторы.
- •20.4. Структура самосопряженного оператора.
- •21. Унитарные векторные пространства
- •21.1. Определения, примеры.
- •22. Унитарные линейные операторы
- •22.1. Определение. Свойства.
- •22.2. Унитарная группа.
- •22.3. Структура унитарного оператора.
- •23. Эрмитовы линейные операторы
- •23.1. Сопряженное линейное пространство.
- •23.2. Сопряженные линейные операторы.
- •23.3. Эрмитовы линейные операторы.
- •23.4. Структура эрмитова оператора.
- •24. Билинейные и квадратичные формы
- •24.1. Определение билинейной функции. Общие свойства.
- •24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.
- •24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.
- •24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.
- •24.6. Канонический и нормальный вид квадратичных и симметричных билинейных форм.
- •24.7. Закон инерции для квадратичных форм.
- •24.8. Критерий Сильвестра.
- •25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
- •25.1. Приведение формы ортогональным преобразова-
- •25.2. Приведение пары форм.
- •26. Эрмитовы формы
- •26.1. Определение и основные свойства эрмитовых форм.
- •26.2. Нормальный вид эрмитовых форм.
- •27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве
- •27.1. Приведение эрмитовой формы унитарным преобразованием координат.
- •27.2. Приведение пары форм.
- •28.1. Теорема Лагранжа.
- •28.2. Факторгруппы.
- •28.3. Морфизмы групп.
- •28.4. Теорема о разложении морфизма.
- •28.5. Циклические группы.
9.5. Решение матричных уравнений.
Рассмотрим матричное уравнение АХ = В, где А – (п,п)-матрица с |A| 0, В - (п,т)-матрица, а Х – неизвестная (п,т)-матрица. Покажем, что существует единственное решение этого уравнения.
1. Пусть решение Х0 , то есть АХ0= В. Тогда А-1АХ0=А-1В Х0 = А-1В - это означает единственность решения.
2. Подставим Х0 = А-1В в наше уравнение. Получим
А(А-1В) = АА-1В = ЕВ = В, то есть Х0 = А-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.
Покажем, как на практике можно решать матричные уравнения. Как мы видели в 9.3 при |A| 0 существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рr такие, что Pr…P2P1A = D = =diag(d1,…,dn). Умножая это равенство слева на элементарные матрицы III-го типа P1(d1 -1), P2(d2 -1),…,Pп(dп -1), получим
P1(d1 -1)P2(d2 -1)…Pп(dп -1)Pr…P2P1A = Е. Таким образом, мы видим, что существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рq такие, что Pq…P2P1A = E. Следовательно, Pq…P2P1 = А-1. Отсюда можно получить два вывода.
1. А-1= Pq…P2P1E, то есть для нахождения обратной матрицы надо над строками матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида (А|Е), и над «длинными» строками этой матрицы делают ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица А-1.
2. Для матричного уравнения АХ =В решение Х0 = А-1В = =Pq…P2P1В. Значит, для нахождения Х0 надо над строками матрицы В проделать те же ЭП, что проделывались над строками матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. То есть над «длинными» строками матрицы (А|В) надо делать ЭП так, чтобы слева получилась матрица Е. Тогда справа получится матрица А-1В.
Теперь рассмотрим матричное уравнение YA = В, где А –
(п,п)-матрица с |A| 0, В - (т,n)-матрица, а Y – неизвестная (т,n)-матрица. Как и ранее, можно показать, что существует единственное решение Y= BA-1 этого уравнения. На практике решать такие матричные уравнения можно двумя способами. 1-й способ – это транспонировать наше уравнение:
(YA)t = AtY t = В t, найти, как и ранее, с помощью ЭП над «длинными» строками решение X матричного уравнения AtХ = В t, и затем получить Y = Х t.
2-й способ заключается в следующем. Матрицу А с |A| 0 можно привести к единичной не только элементарными преобразованиями над строками, но также и аналогичным образом элементарными преобразованиями над столбцами. То есть существуют элементарные матрицы Р1, Р2,…,Рt такие, что AP1P2…Pt = E. Следовательно, P1P2…Pt = А-1, и
А-1= EP1P2…Pt , то есть для нахождения обратной матрицы надо над столбцами матрицы Е проделать те же ЭП, что проделывались над столбцами матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида , и над «высокими» столбцами этой матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрицаЕ. Тогда снизу получится матрица А-1.
Для матричного уравнения YA = В решение Y = BA-1 = =ВP1P2…Pt получается проделыванием над столбцами матрицы В тех же ЭП, которые проделывались над столбцами матрицы А при приведении её к единичной матрице Е. На практике это делают так: записывают матрицу вида , и над «высокими» столбцами этой матрицы делают ЭП так, чтобы сверху получилась матрицаЕ. Тогда снизу получится матрица ВА-1.