24.7. Закон инерции для квадратичных форм.

Теорема (закон инерции). Если форма F в базисе е имеет нормальный вид F(z) = z₁²+…+z_s²– z_s+1²-…-z_s+t², то числа s и t от базиса не зависят, то есть для любого базиса е, в котором F имеет нормальный вид, числа s и t будут теми же самыми.

Доказательство. Докажем, что s равно максимальной размерности подпространства в L, на котором F  0. Отсюда и будет следовать независимость s от базиса. Очевидно, если е = {е₁,е₂,…,е_n}, то подпространство L₁ = <е₁,е₂,…,е_s> такое, что  0. Таким образом, существует подпространство размерности s, на котором F  0.

Покажем, что не существует подпространства размерности большей s, на котором F  0. Предположим противное: пусть L₂ – подпространство, на котором F  0, и dimL₂  s. Рассмотрим подпространство L₃ = <е_s+1,…,е_n>. Очевидно,  0. По теореме 3 из п.12 dimL₂L₃ = dimL₂ + dimL₃ – – dim(L₂+L₃)  s + (n – s) – n = 0  если L₂L₃  х, х  0, то F(х) 0 и F(х) 0 - противоречие, то есть L₂ не существует, и для s теорема доказана.

Далее рассмотрим форму – F. Теперь числа t и s меняются ролями, и t – это максимальная размерность подпространства в L, на котором – F  0. То есть t также не зависит от базиса.



Определение. Число s называется положительным индексом инерции формы F и обозначается I⁺(F). Число t называется отрицательным индексом инерции формы F и обозначается I ^-(F).

Из доказанной теоремы следует корректность определения индексов инерции.

Следствие. Квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I⁺ = s, I ^- = t, которые независимы и составляют полную систему инвариантов, так как определяют квадратичную форму с точностью до эквивалентности. Другими словами, любой класс эквивалентных квадратичных форм однозначно определяется парой чисел (s, t).

Упражнение. Посчитать количество классов эквивалентных форм.

24.8. Критерий Сильвестра.

Пусть е – произвольный базис в линейном пространстве L над R. Для квадратичной формы F обозначим через М_k левый угловой минор порядка k матрицы [F] в базисе е : М_k = .

Теорема (критерий Сильвестра положительной определен­ности квадратичной формы). F  0  все М_k  0.

Доказательство.

. Пусть F  0. Тогда в некотором базисе е форма F имеет

нормальный вид, и = Е. Если Т =,то = Т ^tT = =Т ^tЕТ= Т ^tТ, и det[F] = |Т ^tТ| = |T|²  0. Рассмотрим подпространство L_k= <е₁,е₂,…,е_k>. Очевидно, ограничение формы F на это подпространство  0  det = М_k  0  k.

 . Пусть все М_k  0. Тогда det[F] = М_п  0. Рассмотрим подпространство L_п-1 = <е₁,…,е_п-1>. Заменим базисный вектор е_п на базисный вектор и_п , f-ортогональный к L_п-1. Для этого будем искать и_п в виде и_п = е_п - ₁е₁ -…- _п-1е_п-1, причём потребуем, чтобы при i =1,…, п-1 f(и_п , е_i)= 0 . Запишем эти уравнения в виде f(е_п - ₁е₁ -…- _п-1е_п-1, е_i)= 0 или в виде f(₁е₁ +…+ _п-1е_п-1, е_i) = f(e_п , е_i). Воспользовавшись линейностью f по первому аргументу, получим систему

(п-1)-го линейного уравнения с (п-1) неизвестным ₁,…,_п-1: ₁f(е₁,е_i)+…+_п-1f(е_п-1, е_i)= f(e_п , е_i), i =1,…, п-1. Определителем этой системы является М_п-1  0. Поэтому у этой системы существует единственное решение, которое можно найти, например, по правилу Крамера. Очевидно, система векторов е = {е₁,…,е_п-1,u_п} линейно независима, то есть является базисом в L. В этом базисе

, и det = М_п-1_п > 0. Так

как М_п-1>0, то _п> 0. Далее мы от е_п-1 перейдем к и_п-1, f-ор- тогональному к L_п-2, и получим _п-1> 0, и т.д. В конце концов мы получим базис и, в котором =diag(₁,…, _n),

F(y) = ₁y₁²+…+_ny_n². Так как все _i  0, то F > 0.



Лекция 36.