6.2. Простейшие свойства колец.

1.  a  K a0 = 0 a = 0.

Доказательство. 0 + 0 = 0  a(0 + 0) = a0 

a0 + a0= a0  -(a0)+ (a0 + a0)= -(a0)+ a0

(-(a0)+ a0) + a0= 0  0 + a0 = 0  a0 = 0.

Аналогично, 0 a = 0.

2. Если 1 = 0, то K = {0} – тривиальное кольцо.

Доказательство.  a  K a = 1 a = 0 a = 0.

3. Общий закон дистрибутивности:  m  1, n  1

()()=.

Доказательство индукцией по s = m + n.

При m = n = 1 утверждение очевидно: a₁b₁ = a₁b₁.

Пусть m  2 или n  2 и пусть для s = m + n – 1 утвержде­ние верно. Тогда ()()=(+a_m)(+b_n)=

=()(+b_n)+a_m(+b_n)=()()+()b_n +

+ a_m()+ a_m b_n = .

4. Правило знаков.  a, b  K (- a)b = a(- b) = - (ab).

Доказательство. 0=a(b+( – b))=ab+ a(- b)  a(- b)=- (ab).

Аналогично, (- a)b = - (ab).

Следствия.

1) Так как -(- х)= х, то (-a)(-b) = - (a(-b)) = - (- (ab) = ab.

2) Если K  1, то a(- 1) = (- 1)a = - (1 a) = - a.

5. Целые кратные элементов кольца.

Пусть по определению nZ na= при nN,

na = 0_K, при n = 0, na = - ((-n)a) при -nN.

Упражнения.

1) Доказать, что nZ -(na) = (-n)a = n(- a).

2) Доказать, что m,nZ,  a, b  K n(a+b)=na +nb,

(m+n)a = ma+na.

3) Доказать, что m, nZ,  a K m(na)=(mn)a.

4) Доказать, что nZ,  a, b  K n(ab)=(na)b = a(nb).

5) Доказать, что m,nZ,  a, b  K (ma)(nb)=(mn)(ab).

6) Доказать, что если K  1_K, то na = (n 1_K)a.

Замечание. Если nZ,  a K определить операцию

na = na, то свойства из упражнений 2), 3), 4), 6) означают, что кольцо K является унитарной алгеброй над Z.

6. В АКУ-кольце  a, b  K  nN справедлива фор­мула бинома Ньютона (а + b)ⁿ = .

Определение. Подмножество K₁ K называется под­кольцом в K, если K₁ само является кольцом относительно операций K.

Очевидно, в любом кольце K всегда существуют триви­альные подкольца K и {0}.

6.3. Делители нуля.

Определение. Если кольцо K a, b такие, что ab = 0, но

a  0, b  0, то a называется левым делителем нуля, а b –

правым делителем нуля. Элемент кольца называется делите­лем нуля, если он является одновременно левым и правым делителем нуля. Если a - делитель нуля, то пишут: a | 0.

Очевидно, в коммутативном кольце множества делите­лей нуля, левых делителей нуля и правых делителей нуля совпадают.

Аналогично, в коммутативном кольце мы будем писать a | с, если  b  K такой, что ab = c.

Если a | 1, то а – обратимый элемент кольца.

Если K – поле, то  a K, a  0, из определения поля a |1.

Примеры.

1. В кольце Z Z элементы вида (a,0) и (0,a)  a 0 (и

только такие) являются делителями нуля.

2. В кольце функций F[a,b] функция Дирихле D(x) и

1-D(x) – делители нуля, так как D(x)(1- D(x))= 0. Также |sgn(x)|(1 - |sgn(x)|) = 0, (|x| - x)(|x| + x)= 0.

Утверждение. Если a | 1, то a | 0.

Действительно, если  b  K такой, что ab = 1, то есть

b = a ^-1, и  c K, с 0, такой, что ac = 0, то b(ac) = b0 = 0, но (ba)c =1с = с= 0 - противоречие.



Следствие. В поле нет делителей нуля.

Лекция 12.