0. 10.2. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

Теорема 1. В кольце P[x] деление с остатком существует и единственно, то есть  f(x), g(x) P[x], g(x) 0,  единственная пара q(x), r(x) P[x] такая, что f(x) = g(x)q(x)+ r(x) и ст.r(x) ст.g(x). (r(x) называется остатком от деления f на g).

Доказательство существования деления индукцией по степени многочлена f.

Пусть f = _kх^k + _k-1х^k-1 +…+ ₁х + ₀,

g = _mх^m + _m-1х^m-1 +…+ ₁х + ₀ .

1. Если ст.f  ст.g, то f = g0+ f, то есть q, r существуют, q= 0, r = f.

2. Если ст.f  ст.g, то рассмотрим f₁ = f - _k(_m)^-1 x ^k-mg. Очевидно, ст.f₁  ст.f, и по предположению индукции можно считать, что для f₁ и g утверждение верно, то есть  q₁, r₁ P[x] такие, что f₁ = gq₁ + r₁ , и ст.r₁  ст.g. Но тогда

f = f₁ + _k(_m)^-1x ^k-mg = gq₁ + r₁ + _k(_m)^-1x ^k-mg =

= g(q₁+_k(_m)^-1x ^k-m)+r₁= gq + r, где q = q₁+_k(_m)^-1x ^k-m, r = r₁,

и ст.r₁  ст.g. Таким образом, существование деления с остатком в P[x] доказано.

Докажем единственность. Пусть f = gq + r = gq₁ + r₁, и ст.r  ст.g, ст.r₁  ст.g. Тогда g(q – q₁)= r₁ - r, и если q  q₁, то ст.g(q – q₁) ст.g, а ст.(r₁ – r)  ст.g - противоречие. Значит, q = q₁, r = r₁. Это и означает единственность деления с остатком в P[x].



Теорема Безу. Пусть f  P[x], a P. Если r – остаток от деления многочлена f на (х – а), то r = f(a).

Доказательство. Пусть f =(x – a)q +r, ст.r  ст.(х – а)=1  r P, и при х = а f(а) =(а – a)q(а) +r  r = f(а).

Следствия.

1. Если многочлен f(x) имеет корень а, то есть f(a) = 0, то (х – а) | f(a), f(x) = (х – а)g(x).

2. Если многочлен f(x) имеет различные корни а₁,а₂,…, а_k, то f(x) = (х – а₁)(х – а₂)… (х – а_k)h(x).

Доказательство. В самом деле, если f(x) имеет корень а₁, то f(x) = (х – а₁)f₁(x). Далее, если f(а₂) = 0, то

f(а₂) = (а₂ – а₁)f₁(а₂) = 0  f₁(а₂) = 0  f₁(x) = (х – а₂)f₂(x)  f(x) = (х – а₁)(х – а₂) f₂(x). И так далее.

3. Если f(x) имеет k различных корней, то k  ст.f.

Лекция 21.

10.3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов.

Определение. Многочлен F называется кратным многочлена f, если f |F. Многочлен F называется общим кратным многочленов f и g, если f |F, g |F. Многочлен т называется наименьшим общим кратным многочленов f и g, если т  0 и т имеет наименьшую степень среди всех общих кратных.

Очевидно, fg – общее кратное для f и g, то есть общие

кратные для f и g существуют, а следовательно, существуют и наименьшие общие кратные.

Теорема. Если М - общее кратное для f и g, а т - наименьшее общее кратное, то т | M.

Доказательство. Разделим М на т с остатком: М=тq+ r, и ст.r  ст.т  r = M – mq , и так как f и g делят правую часть равенства, то f | r, g |r, то есть r – общее кратное для f и g. Но т – наименьшее общее кратное для f и g, а ст.r  ст.т  r = 0  т | M.



Следствие. Если т₁ и т₂ наименьшие общие кратные для f и g, то т₁|т₂ и т₂|т₁  т₂ = aт₁, т₁ = bт₂  т₂ = abт₂  т₂(1 – ab) = 0  1 – ab = 0  ab = 1  a, b  P. Следовательно, любые два наименьших общих кратных для f и g

отличаются на ненулевой множитель из Р. Наоборот, если т – наименьшее общее кратное для f и g , то  а  Р, а  0, ат - также наименьшее общее кратное для f и g, и значит, {am |а  Р, а  0} – множество всех наименьших общих кратных для f и g.

Определения.

1. Многочлен D называется наибольшим общим делителем многочленов f и g , если D имеет наибольшую степень среди всех общих делителей f и g.

2. Многочлены f и g называются взаимно простыми, если 1 является их наибольшим общим делителем.

Теорема. 1) Если т – наименьшее общее кратное для f и g, то D =(fg)/m – их наибольший общий делитель. 2) Если d - общий делитель многочленов f и g, а D – их наибольший общий делитель, то d |D.

Доказательство. Очевидно, D | f, так как f / D = m /g = =hP[x]. Аналогично, D | g. Следовательно, D - общий делитель для f и g. Если d – произвольный общий делитель для f и g , то M = (fg)/d – общее кратное для f и g , так как М / f = = g / d P[x] и аналогично М / g P[x]. По предыдущей теореме т | M, то есть М = qm  (fg)/d = q(fg) / D  D =qd  d |D  ст.D  ст.d  D – наибольший общий делитель для f и g.

Теперь если D – произвольный наибольший общий делитель многочленов f и g, то ст.D = ст.D, и D|D  D = aD, а  Р  d |D.



Следствия.

1. Если D – наибольший общий делитель многочленов f

и g, то {aD | a  P, a  0} – множество всех наибольших общих делителей многочленов f и g .

2. Если f и g – взаимно простые многочлены, то fg является их наименьшим общим кратным.

Определение. Пусть т, п  N. Разделить т на п с остатком – это найти такие q и r, что m = nq + r, 0  r  n .

Замечание. Для множества N натуральных чисел можно дать определения, аналогичные определениям из 10.3 и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3.

Упражнение. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3, для N.