Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

1

S0

U

ã2 Zí

U

ã

1

Zí

Ap =

ln

= ln

= ln

+

ln

, (12.36)

U

2 S2

4U2 Z

ã

2

2

2

Zã

èëè â äецибелàõ (äÁ),

2

Ap = 20lg

U

ã 2

U

2

+ 10lg

Zí

Zã

.

(12.37)

 (12.36) è (12.37) âõîäÿò äåéñòâующие знàчения Uã è U2, которые моãут быть измерены экспериментàльно, поэтому эти формулы лежàò â îñíîâе большинстâà ìåòîäîâ измерения рàáî÷åãî îñ- ëàбления четырехполюсникà.

При теоретических рàñ÷åòàх пользуются äðóãой формулой

Ap = Ac + A1 + A2 + A3,

ãäå Ac õàðàктеристическое ослàбление четырехполюсникà;

A1,

A2 äополнительные ослàбления из-зà íåñîãëàñîâàнностей

íà

âõîäå è âûõîäе четырехполюсникà:

Zc1 + Zã

A2 = 20lg

Zc2 + Zí

,

A1 = 20lg

,

2 Zc1Zã

2 Zc2 Zí

A3 äополнительное ослàбление зà ñ÷åò ìíîãîêðàòíîãî îòðà- жения энерãèè îò âõîäíûõ è âûõîäíûõ çàæèìîâ четырехполюс-

íèêà:				− Zã			− Zí
			Zc1			Zc2		e−2Ãñ
A3	= 20lg	1 −							.
			Zc1	+ Zã Zc2
							+ Zí

Ïðè ñîãëàñîâàнии четырехполюсникà ñ ãåíåðàтором Zã = Zc1 è A1 = A3 = 0. Ïðè ñîãëàñîâàнии четырехполюсникà ñ íàãрузкой

Zí = Zc2 è A2 = A3 = 0.

Åñëè ñîãëàñîâàние полное, т. е. Zã = Zc1 è Zí = Zc2, òî Àð = Àñ, ò. å. ðàбочее ослàбление четырехполюсникà ðàâíî åãî õàðàктери-

стическому (собстâенному) ослàблению. Для пàññèâíîãо четырехполюсникà ðàбочее ослàбление больше собстâåííîãî îñëàбления âñëåäñòâèå ðàññîãëàñîâàíèÿ íà âõîäå è âûõîäå.

Ðàбочее ослàбление яâляется âещестâенной чàстью комплексной

âеличины Ãð ðàбочей постоянной переäàчи четырехполюсникà:

Ãp = Ap + jBp.

ãäå Âð ðàáî÷àÿ ôàçîâàя постояннàÿ.

Передаточные функции четырехполюсника. Ïåðåäàточной функцией нàãруженноãо четырехполюсникà (ñì. ðèñ. 12.1) íàçû-

âàется отношение âûõîäной электрической âеличины к âõîäной электрической âеличине, т. е. отношение реàêöèè ê âîçäåéñòâèþ (ñì. §7.4).

Åñëè âõîäíûì âîçäåéñòâèåì ñ÷èòàòü íàпряжение ãåíåðàòîðà с комплексным äåéñòâующим знàчением Uã, à ðåàкцией четырехпо-

321

люсникà íà ýòî âîçäåéñòâèå íàпряжение с комплексным äåéñòâующим знàчением U2 или ток с комплексным äåéñòâующим знà- чением I2, то получàþòñÿ комплексные переäàточные функции общеãî âèäà:

Hu =	U	2	U	ã è HY = I2	U	ã .	(12.38)

 ÷àстных случàÿõ, êîãäà çàäàнными âîçäåéñòâèÿìè ÿâляются нà- пряжение нà âõîäíûõ çàæèìàх четырехполюсникà или ток, протекàющий через эти зàжимы, получàþò ñëåäующие четыре рàçíî- âèäности переäàточных функций (см. § 7.4):

Hu = U2 / U1 комплексный коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению (äëÿ àêòèâных четырехполюсникоâ, íàпример усилителей, он носит нàçâàние коэффициентà усиления по нàпряжению);

Hi = I2 / I1 комплексный коэффициент переäà÷è ïî òîêó (äëÿ àêòèâных цепей коэффициент усиления по току);

HZ = U2 / I1 комплексное переäàточное сопротиâление; HY = I2 / U1 комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ïðîâîäимость.

Ïåðåäàточные функции четырехполюсникà âûðàæàются через любую систему пàðàметроâ и сопротиâления нàãрузки. Нàпример,

Hu = U2 U1 = U2 ( A11U2 + A12 I2 ) = Zí ( A11Zí + A12 ); (12.39)

Hi = I2 I1 = I2( A21U2 + A22 I2 ) = 1( A21Zí + A22 ). (12.40)

Можно âычислять переäàточные функции â ðàзличных режимàõ ðàботы четырехполюсникà (холостой хоä, короткое зàìûêàíèå, ñî- ãëàñîâàííîå âключение). Нàпример, при холостом хоäå íà âûõîäå (ðàзомкнутые зàæèìû 2 2′) комплексный коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению нàõîäèòñÿ èç (12.39) ïðè Zí = ∞

Hu õõ = 1 A11 .

(12.41)

Коэффициент переäà÷è ïî òîêó â режиме короткоãî çàìûêàíèÿ íà âûõîäå (çàмкнутые нàкоротко зàæèìû 2 2′) получим из (12.40) при Zí = 0:

Hi êç = 1 A22 .

(12.42)

Ïðè ñîãëàñîâàííîì âключении симметричноãо четырехполюсникà èç (12.39) ñëåäóåò

Huc =

Zc2

=

A22 A12 ( A21 A11 )

=

A11Zc2 + A12

A11

A22 A12 ( A21 A11 ) + A12

(12.43)

=

1

= e−Ãñ .

+

A11 A22

A12 A21

Формулà (12.43) óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ïåðåäàточной функцией по нàпряжению соãëàñîâàííî âключенноãо симмет-

322

ричноãо четырехполюсникà ñ åãî õàðàктеристической (собстâенной) постоянной переäà÷è. Àíàëîãичным обрàзом можно получить ос- тàльные переäàточные функции â ðàзличных режимàõ ðàáîòû è âûðàжения их через интересующие нàñ ïàðàметры.

×àсто используют тàê íàçûâàåìóþ ðàбочую переäàточную функцию четырехполюсникà:

2

U

H

p

=

2

Zã

.

(12.44)

U

ã

Zí

Ðàáî÷àÿ ïåðåäàòî÷íàя функция непосреäñòâåííî ñâÿçàíà ñ ðà- бочей постоянной переäàчи четырехполюсникà. Дейстâительно, из (12.44) и (12.36) âûòåêàåò, ÷òî

1

U

ã

1

Zí

ln

= ln

+

ln

= Ap,

(12.45)

Hp

2

U

2

2

Zã

èëè

Hp

= e−Ap .

Ñïðàâåäëèâû òàкже более общие соотношения: − ln Hp = Ãp èëè

Hp

= e−Ãp .

Åñëè íà âõîäе четырехполюсникà äåéñòâóåò íåãàрмоническое (периоäическое или непериоäическое) âîçäåéñòâие, то, перехоäÿ îò ìãíîâенных знàчений нàпряжений и токоâ к их изобрàжениям по

Ëàïëàñó Uã(p), U1(p), U2(p), I1(p) è I2(p), получàþò îïåðàторные переäàточные функции Í(ð), которые преäñòàâляются â общем âè-

äå (7.41):

H ( p ) =

a

n

pn + a

n−1

pn−1 + K + a p + a

0

1

,

(12.46)

b

pm−1

+ K + b p + b

m

pm + b

m−1

èëè

1

0

( p − p01 )( p − p02 )K( p − p0n ) ,

H ( p ) = H

( p − p

)( p − p

2

)K( p − p

m

)

1

ãäå ð01, ð02, ..., ð0n íóëè ïåðåäàточной функции; ð1, ð2, ..., ðm полюсà ïåðåäàточной функции; Í = àï / bò.

Пример. Íàéäем коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению и кâàäðàт АЧХ четырехполюсникà, изобрàженноãî íà ðèñ. 12.18, a, â режиме XX нà âûõîä- íûõ çàæèìàõ.

Коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению нàãруженноãо четырехполюсникà ñîãëàñíî (12.39)

Hu = U2 U1 = Zí ( A11 Zí + A12 ).

В режиме XX Zí = ∞ è ñîãëàñíî (12.41) è (12.8)

	Hu õõ =	1	=			1		=		Z2	.
		A11		1		+ Z1	Z2		Z1	+ Z2

Используя оперàторную форму зàписи, имеем

323

1

R

2

ð1

jω

ð01

U1

L

U2

C

ð2

ð02

α

1′

à)

2 ′

á)

Ðèñ. 12.18

Hu õõ ( p ) =

pL + 1 ( pC )

=

p2 + 1 ( LC )

= H

p2 + a0

,

R + pL + 1 ( pC )

p2 + pR L + 1 (

LC

)

p2 + b p + b

0

1

ãäå H = 1; a0 = b0 = 1/LÑ; b1 = R/L.

Корни числителя этой рàöèîíàльной äðîáè, ò. å. íóëè ïåðåäàточной функции,

p01,02 = ± j LC1 .

Корни знàìåíàтеля, или полюсы переäàточной функции,

p = −	R		± j		1	−	R2		.
1,2	2L				LC 4L2

Íà ðèñ. 12.18, á ïîêàçàíî ðàсположение нулей и полюсоâ функции при

1( LC ) > R2( 4L2 ) . По теореме Виетà

Hu xx ( p ) =	( p − p01 )( p − p02 )	.
	( p − p1 ) ( p − p2 )

Амплитуäíî-÷àстотнàÿ õàðàктеристикà â äàнном режиме рàáîòû îïðåäеляется из Hu õõ(ð) путем зàìåíû ð íà jω è âычисления моäуля полученной функции

			Hu xx ( jω )					= Hu xx		( ω ) =				(a0 − ω2 )2								.
												(b0 − ω2 )2 + (b1ω)2
Êâàäðàò À×Õ çàпишется â âèäå
	Hu xx ( jω )			2	= Hu2xx ( ω) =					ω4 − 2a			ω2	+ a		2		=		ω4 + c ω2			+ c	2
											0				0						1				,
									ω4 + (b2		− 2b ) ω2 + b02
																				ω4 + d1ω2 + d2
ãäå										1			0
					c1 = 2a0 = 2 ( LC ); c2 = a02 = 1 ( L2C2 );
	d = b2					− 2b = ( R C )2 − 2 LC; d								2	= b2		= 1		( 2 2 ).
1					1	0										0				L C

Вопросы и задания для самопроверки

1.Используя метоä óçëîâûõ íàпряжений, нàéòè Y-ïàðàметры Т- обрàçíîãо четырехполюсникà, изобрàженноãî íà ðèñ. 12.19.

324

L

C

Z1

Z1

R

R

C/2

C/2

Z2

L

Ðèñ. 12.19

Ðèñ. 12.20

Ðèñ. 12.21

R

R0

1 I

2

Hu

U1

C

U2

U1

U3

U2

R1

1′

2 ′

Ðèñ. 12.22

Ðèñ. 12.23

2.Îïðåäелить Y-ïàðàметры Т-обрàçíîãо четырехполюсникà, ïîêà- çàííîãî íà ðèñ. 12.20, ïðè R = 100 Îì, L = 0,1 Ãí, Ñ = 10-5 Ô, w = 1000 ñ-1.

Îòâåò: Y11 = Y22 = 0,01 j;

Y12 = Y21 = 1,26 × 10 2 exp( j1,25).

3.Объяснить, â êàêèõ ñëó÷àÿõ ñëåäóåò âêëþ÷àòü öåïè ñîãëàñî- âàííî?

4.Ðàссчитàòü õàðàктеристическое сопротиâление четырехполюсни- кà íà ðèñ. 12.21, åñëè Z1 = 1000 Îì, Z2 = j500 Îì.

Îòâåò: Zc = 1189 e− j22°30′ = 1098 − j455 Îì.

5.Чем отличàåòñÿ ðàбочее ослàбление четырехполюсникà от собст- âåííîãî (õàðàктеристическоãî)?

6.×òî òàкое комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция? Кàêèå âèäы комплексных переäàточных функций четырехполюсникà èç- âестны?

7.Îïðåäелить коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению Hu ( jw), АЧХ и ФЧХ цепи, изобрàженной нà ðèñ. 1.22, åñëè âûõîäíûì íàпряжением яâляется нàпряжение нà резисторе R. Построить ãðàôèêè À×Õ è Ô×Õ.

	Îòâåò: Hu ( jω) =			jωRC	; Hu ( ω ) =		ωRC		;
				+ jωRC
		1				1 + ( ωRC ) 2

ϕ( ω) = 90° arctg wRC.

8.Ðàссчитàòü ïåðåäàточную функцию кàñêàäíîãî ñîåäинения цепей, изобрàженных нà рис. 1.22 и 1.23. Построить ãðàфик АЧХ полученной цепи.

325

9.Îïðåäелить коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению при холостом хоäе и коэффициент переäàчи по току при коротком зàìû- êàíèè äëÿ Ï-îáðàçíîãо четырехполюсникà â ïðîäольную âåòâь котороãî âключенà èíäóêòèâность L, à â поперечные âåòâи емкость Ñ.

Îòâåò:	H ( jω ) =	1	.
		1 − ω2LC

10. Îïðåäелить ослàбление, âносимое цепью рис. 1.22, при R = = 31,8 êÎì è Xc = 10 êÎì.

Îòâåò: 12 äÁ.

11.×òî òàêîå îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция? Кàê îíà ñâÿçà- íà с комплексной переäàточной функцией? Кàê îïðåäелить нули и полюсы оперàторной переäàточной функции?

12.Îïðåäелить оперàторную переäàточную функцию, комплексный коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению, АЧХ и кâàäðàт АЧХ послеäîâàтельноãо колебàтельноãо контурà, изобрàженно-

ãî íà ðèñ. 12.18, à, åñëè âûõîäíûì íàпряжением U2 ÿâляется нàпряжение нà емкости Ñ. Построить ãðàôèê À×Õ öåïè.

Îòâåò: H ( p ) =	1		;
	p2LC + pRC + 1

Hu2 ( ω ) = 1 .

ω4 ( LC )2 + ω2 (R2C2 − 2LC ) + 1

13.Перечислить осноâíûå ñâîéñòâà îïåðàторных переäàточных функций пàññèâных цепей.

ГЛАВА 13. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

13.1. Общие положения

Äî ñèõ ïîð ðàññìàòðèâàëèñü R, L, Ñ электрические цепи â ïðåäположении, что пàðàметры сосреäоточены â îïðåäеленных элементàõ öåïè: èíäóêòèâность сосреäоточенà â êàтушке (энерãèÿ ìàãнитноãî ïîëÿ êàтушки локàëèçîâàíà â åå ìàãнитопроâîäе), емкость сосреäоточенà â êîíäåíñàòîðå (ýíåðãия электрическоãî ïîëÿ ëîêàëèçîâàíà ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà); резистиâное сопротиâление сосреäоточено â резисторе (преобрàçîâàние электриче- ской энерãèè â резисторе â теплоâую осущестâляется â токопроâî- äящем слое резисторà). Òàкие цепи получили нàçâàíèå цепей с сосреäоточенными пàðàìåòðàìè.

326

Îäíàêî ïðåäñòàâление электрических цепей â âèäе цепей с сосреäоточенными пàðàìåòðàìè íå âñåãäà âозможно. Нàпример, рàñ- ñìàòðèâàÿ ïåðåäàчу электромàãнитной энерãèè â линии сâÿçè, ôè- äåðå, àнтенне, âîëíîâîäå è ò. ä., ñëåäует учитыâàòü, ÷òî ìàãнитное и электрическое поля рàñïðåäелены по âñåé äлине этих устройстâ è ïðåâðàщение электромàãнитной энерãèè â тепло тàкже происхоäèò ïî âñåé äлине устройстâ. Â òàких цепях прихоäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ðàñïðåäеленными по äëèíå ííäóêòèâностями, емкостями, резистиâными сопротиâлениями, поэтому они нàçûâàþòñÿ цепями с рàñïðåäеленными пàðàìåòðàìè.

Òîê è íàпряжение нà âûõîäе сколь уãîäíî ìàëîãî ó÷àñòêà (отрезкà) öåïè ñ ðàñïðåäеленными пàðàìåòðàìè íå ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òîêó è íàпряжению нà åãî âõîäе и отличàþòñÿ êàê ïî âåëè- ÷èíå, òàê è ïî ôàçå. Òàêèì îáðàçîì, òîê è íàпряжение â любой точ- ке цепи яâляются функциями не только âремени t, но и прострàíñò- âенных коорäèíàò (íàпример, рàсстояния от оäíîãо из концоâ öåïè).

Çàметим, что äеление цепей нà äâà êëàññà с сосреäоточенными и рàñïðå- äеленными пàðàìåòðàìè, äîñòàточно услоâíî. Îäíó è òó æå öåïü ñëåäóåò ðàñ- ñìàòðèâàòü êàк систему с сосреäоточенными или рàñïðåäеленными пàðàìåòðà- ìè â çàâисимости от чàстоты, нà которой онà ðàáîòàет. Дейстâительно, если нà âõîäå öåïè äåéñòâóåò ãàрмонический сиãíàë, òî â силу конечной скорости рàс- прострàнения электромàãнитных колебàний (близкой к скорости сâåòà) âозмущение от источникà çà âðåìÿ, ðàâное периоäу колебàíèÿ T, ïðîéäåò ðàс- стояние, рàâíîå äëèíå âолны электромàãнитноãо колебàíèÿ: l = cT= c/f, ãäå ñ скорость сâåòà; f ÷àñòîòà колебàíèÿ.

Ïðè äëèíå öåïè, ñîâïàäàþùåé ñ äлиной âолны колебàния, изменение мãíîâåííîãî çíàчения нàпряжения â конце цепи зàïàçäûâàåò íà целый периоä ïî ñðàâнению с изменением мãíîâåííîãî çíàчения нàпряжения источникà. В цепях, äëèíà которых l > l, çàïàçäûâàние может состàâлять большое число периоäîâ. Ñëåäîâàтельно, если äëèíà цепи соизмеримà èëè çíàчительно пре- âûøàåò äëèíó âîëíû ðàспрострàняющеãîñÿ â ней электромàãнитноãо колебà- íèÿ, òî íàпряжение (ток) яâляется функцией âремени и рàсстояния от нà÷àëà öåïè. Öåïü ÿâляется системой с рàñïðåäеленными пàðàìåòðàìè.

Åñëè äëèíà öåïè íàìíîãо меньше äëèíû âолны, то изменения нàпряжения â любой точке и â конце цепи происхоäÿò îäíîâременно с изменением мãíî- âåííîãî çíàчения нàпряжения источникà. Íèêàêîãî çàïàçäûâàíèÿ â òàêîé öåïè íåò: íàпряжение (ток) яâляется только функцией âремени. Эту цепь можно считàть системой с сосреäоточенными пàðàìåòðàìè. Íàпример, отрезок коàê- ñèàëüíîãî êàáåëÿ äлиной 30 см при переäà÷å ïî íåìó òåëåâизионных сиãíàëîâ (ñ íàèâысшей чàстотой 8,5 мГц) может считàться цепью с сосреäоточенными

ïàðàìåòðàми, поскольку l = c/fmax = 3 × 108/(8,5 × 106) = 35 ì ? 0,3 ì. Íà- оборот, â îáëàñòè äециметроâûõ âîëí (l äесятки сàнтиметроâ) ýòîò æå îò-

резок кàáåëÿ äолжен рàññìàòðèâàòüñÿ êàê öåïü ñ ðàñïðåäеленными пàðàìåò- ðàми. Отрезок же коàêñèàëüíîãî êàáåëÿ äлиной, нàпример, â 1 êì ÿâляется цепью с рàñïðåäеленными пàðàìåòðàìè è äëÿ òåëåâизионноãî ñèãíàëà.

 äàльнейшем из обширноãî êëàññà цепей с рàñïðåäеленными пàðàìåòðàìè áóäåì èçó÷àòü òàê íàçûâàåìûå äлинные линии, ïðåä-

327

íàçíàченные äëÿ ïåðåäàчи электромàãнитной энерãèè íà ðàсстояние и имеющие äëèíó, ïðåâûøàþùóþ äëèíó âолны электромàãнитных колебàний. К ним относятся äâухпроâîäíûå âîçäушные линии сâязи, симметричные и коàêñèàльные кàбельные линии проâîäных систем сâÿçè, ôèäåðû, ñâÿçûâàþùèå ðàäиопереäàтчики с àнтеннà- ìè è ò. ä. Ïðè ýòîì áóäåì ïîëàãàть, что конструктиâíûå äàííûå äлинной линии (мàòåðèàë è äèàìåòð åå ïðîâîäîâ, èõ âçàимное рàс- положение) и ее пàðàметры сохрàняются неизменными по äлине линии. Тàêèå äлинные линии нàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè.

Целью изучения оäíîðîäíûõ äлинных линий яâляется àíàëèç ðàñïðåäелений нàпряжений и токоâ âäоль линии. В осноâå àíàëèçà лежит преäñòàâление о äлинной линии кàк о цепи с бесконечно большим числом бесконечно мàëûõ ïî âеличине пàññèâных элементоâ, ðàñïðåäеленных рàâномерно по ее äëèíå.

13.2. Уравнения передачи однородной линии

Первичные параметры. Длинные линии моãут иметь сàìóþ ðàз- личную конструкцию. Тàê, äâухпроâîäíàÿ âîçäóøíàя линия (рис. 13.1, à) состоит из пàðàллельных неизолироâàííûõ ïðîâîäîâ, укрепленных с помощью изолятороâ íà специàльных опорàх. Симметричнàÿ êàбельнàÿ öåïü ïðåäñòàâляет собой äâà изолироâàнных скрученных äðóã ñ äðóãîì ïðîâîäà, îáðàзующих тàê íàçûâàåìóþ ïàðó (ðèñ. 13.1, á). Скрученные межäу собой пàðû (èëè ÷åòâåðêè), çàключенные â ìåòàллическую или плàñòìàññîâóþ çàщитную оболочку, обрàзуют симметричный кàáåëü.

Êîàêñèàëüíàÿ ïàðà ÿâляется осноâîé êîàêñèàëüíîãî êàбеля и состоит из âнутреннеãо цилинäðà ïðîâîäà сплошноãо сечения, помещенноãî â полый цилинäð (ðèñ. 13.1, â).

Электрические сâîéñòâà äлинной линии хàðàктеризуются ïåð- âичными пàðàìåòðàìè, ò. å. ïàðàìåòðàми, отнесенными к еäинице äлины линии (1 км â линиях проâîäíîé ñâÿçè è 1 ì â линиях рà- äèîñâÿçè). Ïåðâичными пàðàìåòðàìè ÿâляются: резистиâное сопротиâление еäиницы äлины линии R, èíäóêòèâность еäиницы

à)

á)

â)

Ðèñ. 13.1

328

äлины линии L, емкость еäиницы äлины линии Ñ è ïðîâîäимость изоляции еäиницы äлины линии G.

Сопротиâление R это сопротиâление проâîäîâ линии еäèíè÷- íîé äëèíû. Íàпример, äëÿ äâухпроâîäной линии сопротиâление (Ом/км)

R = r 2Sl = r 2000pr 2 ,

ãäå r óäельное сопротиâление мàòåðèàëà ïðîâîäîâ при темперà- òóðå 20° Ñ, Îì × ìì2 / ì; l äëèíà линии, м; S ïëîùàäь попереч- ноãо сечения проâîäà, ìì2; r ðàäèóñ ïðîâîäà, ìì.

При темперàòóðàх, отличных от 20° С, сопротиâление проâîäîâ âычисляется по формуле

RT = R[1 + sT ( T - 20° )],

ãäå sT темперàтурный коэффициент, 1/ãðàä; Ò темперàòóðà, ° Ñ. Òàк, сопротиâление äâухпроâîäíîé ìåäной линии äлиной 1 км (километрическое сопротиâление) из проâîäîâ äèàметром 4 мм при темперàòóðå Ò = 20° Ñ äëÿ ÷àстоты f = 0 ñîñòàâëÿåò 2,84 Îì/êì.

Íàличие поâерхностноãо эффектà (âытеснение токà èç âнутренних слоеâ ïðîâîäíèêà íà åãî ïîâерхность при уâеличении чàстоты) приâîäèò ê óâеличению сопротиâления R с ростом чàстоты (см. § 1.2).

Èíäóêòèâность L îïðåäеляется отношением мàãнитноãо потокà, сцепляющеãося с контуром еäиничной äëèíû, ê òîêó, âûçûâàю- щему этот поток. Инäóêòèâность линии склàäûâàåòñÿ èç âнешней и âнутренней инäóêòèâностей. Перâàÿ îïðåäеляется ãеометрическими рàçìåðàми линии и не зàâèñèò îò ÷àстоты; âòîðàÿ çàâèñèò îò ìàòåðèàëà ïðîâîäîâ, èõ äèàìåòðà è ÷àстоты.

Ïîâерхностный эффект уменьшàåò âнутреннюю инäóêòèâность при âîçðàñòàíèè ÷àстоты. Нàпример, километрическàÿ èíäóêòèâ- ность äâухпроâîäíîé ìåäíîé öåïè (Ãí/êì)

L= 4 éë(4ln (lïð r ) + kïý )m ùû ×10−4,

ñäèàметром проâîäîâ 2r = 4 ìì è ðàсстоянием межäó ïðîâîäàìè

lïð = 200 ìì ñîñòàâëÿåò íà ÷àстоте f = 10 кГц (с учетом мàãнитной проâîäимости m = 1 и коэффициентà äåéñòâèÿ ïîâерхностноãî ýô-

ôåêòà kïý = 1,8) 1,89 ìÃí/êì.

Емкость Ñ îïðåäеляется отношением зàðÿäà, прихоäÿùåãîñÿ íà åäиницу äлины линии, к нàпряжению межäó ïðîâîäàми линии.

Äëÿ äâухпроâîäной линии емкость (Ф/км) C =	e ×	10−6
			, ãäå
	36ln	(lïð r )

e äиэлектрическàя проницàемость âещестâà â прострàíñòâå ìåæ- äó ïðîâîäàìè. Íàпример, километрическàя емкость âîçäушной

329

äâухпроâîäíîé ìåäíîé öåïè (äëÿ âîçäóõà ε = 1) èç ïðîâîäîâ äèà-

метром 2r = 4 ìì è ðàсстоянием межäó ïðîâîäàìè lïð = 200ìì ñîñòàâëÿåò 7,4 íÔ/êì.

Ïðîâîäимость G обуслоâëåíà íåñîâершенстâом изоляции и преäñòàâляет собой àêòèâíóþ ñîñòàâляющую проâîäимости изоляции межäó ïðîâîäàми, отнесенную к еäинице äлины линии. Для âîçäушной линии проâîäимость изоляции зàâèñèò îò êëèìàòè÷å- ñêèõ óñëîâèé (âëàжности, темперàòóðû è äр.), чистоты поâерхностей изолятороâ è ò. ä.

Ïðîâîäимость изоляции âîçðàñòàет с ростом чàстоты (особенно äëÿ êàбельных цепей) зà ñ÷åò óâеличения потерь â äиэлектрике. Для âîçäушных цепей проâîäимость (См/км) G = G0 + kïf, ãäå G0 ïðîâîäимость изоляции нà постоянном токе; kï коэффициент, учитыâàющий потери â äиэлектрике при переменном токе; f ÷àñòîòà.

Äëÿ êàбельных цепей G = G0 + ωC tg δ, ãäå tg δ òàíãåíñ óãëà

äиэлектрических потерь.

После ââåäåíèÿ ïåðâичных пàðàметроâ можно уточнить понятие оäíîðîäíîé äлинной линии. Îäíîðîäíîé íàçûâàåòñÿ òàêàя линия, перâичные пàðàметры которой неизменны нà âñåé åå äëèíå.

Уравнения передачи однородной линии. Íàéäåì ðàñïðåäеления нàпряжения и токà â линии по ее äëèíå è âî âремени.

Âûäелим элементàðíûé ó÷àсток линии äлиной x, íàõîäя- щийся нà ðàсстоянии õ îò íà÷àëà линии (рис. 13.2). Еãî ýêâèâà- лентную схему можно приближенно преäñòàâèòü â âèäе послеäî- âàтельно âключенных сопротиâления R x è èíäóêòèâности L x è ïàðàллельно âключенных àêòèâíîé ïðîâîäимости G x и емкости

Ñ õ.

Òàêèì îáðàзом, линия рàññìàòðèâàåòñÿ êàк цепь с бесконечно большим числом зâåíüåâ, электрические пàðàметры которых бесконечно мàлы. При стремлении õ к нулю точность тàêîãî ïðåäñòàâ- ления âîçðàñòàåò.

Íàпряжения и токи, их изменения нà ó÷àстке линии покàçàíû íà рис. 13.2. Уменьшение нàпряжения â конце учàñòêà линии õ ïî ñðàâнению с еãî íà÷àëîì âûçâàíî ïàäением нàпряжения нà èí- äóêòèâности L x и сопротиâлении R x. Поэтому

i

L x

R x

i +

i

u

u + u

C

x

G

x

x

x

Ðèñ. 13.2

330