Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Ðàñêðûâàÿ îïðåäелитель D1, ïðèäåì ê íåðàâåíñòâó

30R3C3 − R3C3 − SRKR3C3 < 0,

èëè SRK > 29. Поскольку произâåäåíèå SRK åñòü íè ÷òî èíîå êàк усиление трàнзисторноãо усилительноãî êàñêàäà, òî ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ñàìîâозбужäåíèÿ ãåíåðàòîðà усиление трàнзисторноãî êàñêàäà äолжно преâûøàòü 29 åäèíèö.

Перехоä из комплексной плоскости ð â ÷ àстотную обл àсть осущестâляется зàменой ð íà jω.

Усилитель имеет комплексную переäàточную функцию

Hó ( jω) = −SRK = SRKe jπ.

Öåïü îáðàòíîé ñâязи описыâàется комплексной переäàточной функцией Hîñ(jω), полученной из (15.24):

Hoc ( jω ) = 1(1 − 5ω2R2C2 + jωRC ( 6 − ω2R2C2 ) ).

Èç áàëàíñà ôàç ϕy(ωã) + ϕoc(ωã) = 2π ñëåäóåò, ÷òî ϕoc(ωr) = π. Ýòî áóäет иметь место при

6 − ω ãR2C2 = 0,

îòêóäà íàõîäèòñÿ ÷àñòîòà ãåíåðàöèè ω ã =								RC .
						6
Ïåðåäàòî÷íàя функция Hîñ(jωã) ðàâíà
Hoc ( jω ã ) =		1		= −	1			=	1	e jπ,
		− 5ω2ãR2C2
1					29 29
èëè
Hoc (ω ã ) = 1 29;			ϕoc (ω ã ) = π.

Ïîäñòàíîâêà полученных знàчений Hy(ωã) è Hoc(ωã) â óñëîâèå àмплитуä

Hó (ω ã ) Hîñ (ω ã ) > 1

äàñò SRK > 29, ÷òî ñîâïàäàет с полученным рàнее результàòîì.

 ñòàöèîíàрном режиме можно рàссчитàòü çíàчение среäней крутизны

Scp* = 29RK .

Íåäîñòàòêîì RÑ-ãåíåðàòîðîâ ÿâляется то, что â ñòàöèîíàрном режиме зà счет нелинейности ВАХ (блàãîäàря которой и устàíàâ- ëèâàåòñÿ àмплитуäà колебàний) происхоäèò èñêàжение формы токà iK â цепи коллекторà. Âûõîäíîå íàпряжение â RÑ-àâòîãåíåðàòîðå ñíèìàется с резисторà RK и имеет ту же форму, что и ток iK, ò. å. ÿâляется несинусоиäàльным.

Для получения формы колебàний, близкой к синусоиäàльной, нужно, чтобы колебàíèÿ íå âûõîäèëè çà ïðåäелы линейноãî ó÷àñò-

401

êà ВАХ. Поэтому нà ïðàктике рост колебàíèé îãðàíè÷èâàется не нелинейностью трàнзисторà, à специàльным нелинейным элементом (НЭ), â êà÷åñòâе котороãо используются полупроâîäíèêîâûå èëè ìåòàллические терморезисторы.

15.7. Автогенераторы с внутренней обратной связью

Ðàíåå áûëà полученà îäíà èç ôîðì äифференциàëüíîãî óðàâ- нения àâòîãåíåðàòîðà ñ âнешней ОС (15.9)

d2uÊ	+ 2αý	duÊ	+ ω20uÊ = 0
dt2
		dt

с коэффициентом αý, îïðåäеляемым формулой (15.11):

αý = 21C (G + Gâí ).

Çäåñü Gâí ïðîâîäимость, âносимàÿ â колебàтельный контур зà ñ÷åò äåéñòâèÿ âнешней ОС. Стàöèîíàрному режиму соотâåòñòâóåò ðàâåíñòâî Gâí = G. Óñëîâèå âозникноâения колебàíèé óäîâëå-

òâоряется при Gâí < 0 è | Gâí | > G.

Ñðàâнение äàííîãî äифференциàëüíîãî óðàâнения с äифференциàльным урàâнением оäиночноãо колебàтельноãо контурà (15.2) ïîçâоляет состàâèòü ýêâèâàлентную схему ãåíåðàòîðà. Îíà äàíà íà рис. 15.4 и отличàется от схемы обычноãо контурà íàличием â ней отрицàтельной проâîäимости.

Отрицàтельную проâîäимость можно получàть не только зà ñ÷åò äåéñòâèÿ âнешней ОС, но и с помощью НЭ с ВАХ, имеющей пà- äàþùèé ó÷àсток. Электронные приборы, яâляющиеся резистиâ- ными нелинейными элементàìè ñ ïàäàющими учàñòêàìè ÂÀÕ i = F(u), íàçûâàются приборàми с отрицàтельным сопротиâлением. В чàстности, тàким прибором яâляется туннельный äèîä.

Генерàторы, построенные нà приборàх с отрицàтельным сопротиâлением, не соäåðæàò âнешней цепи ОС и нàçûâàются поэтому ãåíåðàòîðàìè ñ âнутренней ОС.

Íà ðèñ. 15.19, à ïðèâåäåíà ВАХ туннельноãî äèîäà. Íà ó÷àñòêå

i	à
			Ñä
			G(u) < 0
		á
0	à)	u	á)
		Ðèñ. 15.19

402

VD

+

U0

Cáë

Lê

Cê

G

G(u) < 0

Lê

C

G

à)

á)

Ðèñ. 15.20

àá äифференциàëüíàÿ ïðîâîäимость G(u) = di/du < 0. Ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà туннельноãî äèîäà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïà-

äàющему учàñòêó õàðàктеристики, преäñòàâляет собой пàðàллельное соеäинение нелинейной отрицàтельной проâîäимости äèîäà G(u), çàâисящей от приложенноãî ê íåìó íàпряжения è, и емкости Ñä ð-ï перехоäà (ðèñ. 15.19, á).

Ñõåìà ãåíåðàòîðà ñ âнутренней ОС, âыполненноãî íà туннельном äèîäе, изобрàæåíà íà ðèñ. 15.20, à. При помощи нàпряжения смещения U0 ðàáî÷àÿ òî÷êà óñòàíàâëèâàется примерно â ñåðåäèíå ïàäàþùåãî ó÷àñòêà ÂÀÕ äèîäà. Блокироâî÷íàя емкость Ñáë îáðà- çóåò ïóòü äля переменноãî òîêà ãенерируемой чàстоты. Зàìåíèâ туннельный äèîä ïàðàллельным соеäинением отрицàтельной про- âîäимости G(u) и емкости Ñä перейäåì ê ýêâèâàлентной схеме ãå- íåðàòîðà по переменному току. Онà äàíà íà ðèñ. 15.20, á. Емкость экâèâàлентной схемы Ñ = Ñê + Ñä. Äàííàÿ ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà полностью уäîâëåòâоряет приâåäенному â íà÷àëå ðàçäåëà äифференциàльному урàâнению.

Генерàòîð íà туннельном äèîäå ÿâляется ãåíåðàтором почти ãàрмонических колебàíèé, è àíàëèç åãî ðàботы можно проâåñòè òàê æå, êàê è àíàëèç ðàáîòû ãåíåðàòîðà ñ âнешней ОС.

Ââåäем понятие среäíåé ïðîâîäимости НЭ Gcp(Um1) < 0 ïî

ïåðâîé ãàрмонике с àмплитуäîé	Um1. Ãðàôèêè çàâисимостей,
| Gcp(Um1)| îò àмплитуäû Um1 ïðè	ðàзличных нàпряжениях сме-

щения U0 ïðèâåäåíû íà ðèñ. 15.21. Íà íåì æå ïîêàçàíû ðàçëè÷- íûå çíàчения экâèâàлентной проâîäимости контурà G.

Возбужäàются колебàíèÿ ïðè | Gcp(Um1)| > G. Ñòàöèîíàðíûå àмплитуäы колебàíèé Um*1 óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðè | Gcp(Um1)| = G.

Ïðîâîäÿ àíàëèç çàâисимостей рис. 15.21 (поäобный àíàëèç çà- âисимостей âыполнен с помощью рис. 15.8 и 15.9 äëÿ ãåíåðàòîðîâ ñ âнешней ОС), можно убеäиться, что â ãåíåðàòîðàõ ñ âнутренней ОС âозможны мяãкий и жесткий режимы сàìîâозбужäåíèÿ (ðèñ. 15.22).

Ìÿãкий режим сàìîâозбужäения происхоäèò ïðè íàпряжениях смещения 0,15 B < U0 < 0,3 В, жесткий режим при U0 > 0,3 Â.

Íà ðèñ. 15.21 íà êðèâîé ñðåäíåé ïðîâîäимости | Gcp(Um1)|, полу- ченной при U0 = 0,4 Â ïîêàçàíû ñòàöèîíàрные точки À′, À′′ è À′′′.

Колебàíèÿ âозникàþò ïðè çíàчении экâèâàлентной проâîäимости

403

|Gcp (Um1 )|				Um1		A′
U 0	= 0,15Â			U*m′1
					A′′′
0,3Â	A′′′		G′′′	U*m′′′1
B		A′′
			G′′
		A′
0,4Â			G′
0,5Â				0
0	U*m′′′1	U*m′1	Um1		1/G′′′	1/G′	1/G
Ðèñ. 15.21					Ðèñ. 15.22

контурà G¢ (òî÷êà À¢). Амплитуäà колебàíèé ðàâíà Um*1. Ïðè óâе- личении проâîäимости G ñòàöèîíàðíàÿ àмплитуäà Um*1 умень- шàåòñÿ, ñðûâ колебàний происхоäèò ïðè G¢¢¢ (òî÷êà À¢¢¢). Поэтому жесткому режиму сàìîâозбужäåíèÿ ñîîòâåòñòâует сплошнàÿ êðèâàÿ íà ðèñ. 15.22. Ìÿãкому режиму âозбужäåíèÿ ñîîòâåòñòâует пунктирнàÿ êðèâàя, полученнàÿ äëÿ ñðåäíåé ïðîâîäимости при U0 = 0,3 Â.

15.8. Анализ переходных процессов в автогенераторе методом медленно меняющихся амплитуд

При исслеäîâàíèè óñëîâèé ñàìîâозбужäåíèÿ è ñòàöèîíàðíîãо режимà ðàáîòû àâòîãåíåðàòîðà принимàëèñü âî âíèìàíèå ñëåäующие обстоятельстâà. Ïðè ñàìîâозбужäåíèè àмплитуäà íàðàñòàю- щих колебàíèé â àâòîãåíåðàòîðå ìàëà è ðàáîòà ãåíåðàòîðà происхоäèò íà линейном учàñòêå ÂÀÕ òðàнзисторà iê = F(uê), íà êîòî-

ром крутизнà òðàнзисторà S(uoc) = diê (uoc)duoc ÿâляется постоянной âеличиной, не зàâисящей от нàпряжения uoc, ò. å. S(uoc) = S .  ýòîì ñëó÷àå äифференциàльное урàâнение àâòîãåíåðàòîðà (15.8)

ñòàíîâится линейным.

 ñòàöèîíàрном режиме, коãäà àмплитуäû ãàрмоническоãо колебàíèÿ íà контуре àâòîãåíåðàòîðà Umê è ãàрмоническоãо колебà- íèÿ îáðàòíîé ñâÿçè Umoc ÿâляются устàíîâèâшимися, среäняя крутизнà Scp (uoc)â óðàâнении (15.8) яâляется тàкже постоянной âели- чиной и äифференциàльное урàâнение àâòîãåíåðàòîðà ñíîâà можно считàть линейным:

d2uê	é G		-	MS ù duê		+ w02uê = 0.
dt2	+ ê	C		ú	dt
	ë			LC û

Из решения этоãî óðàâнения опреäелялись услоâèÿ ñàìîâîçáó- æäåíèÿ, àмплитуäà è ÷àñòîòà ãенерируемых колебàíèé.

404

Ïðè àíàлизе перехоäíîãо режимà àâòîãåíåðàòîðà, êîãäà àмплитуäы колебàíèé íàпряжения нà контуре и нàпряжения обрàòíîé ñâязи изменяюется от очень мàëûõ âеличин Umê(0) è Umoc(0), âû- çâàнных флуктуàционными процессàìè â àâòîãåíåðàòîðå, äî óñòà- íîâèâшихся знàчений, считàть крутизну S(uoc) постоянной уже неâозможно; äифференциàльное урàâнение àâòîãåíåðàòîðà (15.8) ÿâляется нелинейным. Поскольку способоâ точноãî àíàлитическоãо решения нелинейноãî äифференциàëüíîãî óðàâнения âòîðîãî ïîðÿäêà не сущестâóåò âоспользуемся äëÿ åãо решения приближенным ìåòîäîì ìåäленно меняющихся àмплитуä (ÌÌÀ).

Ìåòîä ММА применяется äля решения нелинейных äифференциàльных урàâнений с мàëûì ïàðàметром. Этот метоä ââåäåí â ðà- äиотехнику âïåðâûå Âàí-äер-Полем, который рàссмотрел ряä çà- äà÷, ñâÿçàííûõ ñ óñòàíîâлением колебàíèé â ëàìïîâûõ ãåíåðàòî- ðàõ è äðóãих колебàтельных системàõ.  äàльнейшем этот метоä получил обосноâàíèå â ðàáîòàõ àêàäемикоâ Ë.È. Ìàíäельштàìà, Í.Ä. Ïàïàлекси, А.А. Анäðîíîâà и их ученикоâ. Особо слеäует отметить рàáîòû àêàäемикоâ Í.Í. Áîãолюбоâà, Н.М. Крылоâà, à òàкже Ю.А. Митропольскоãî, ïîñâященные рàçâèòèþ è ìåòîäà ÌÌÀ (èëè, êàê îí ÷àñòî íàçûâàåòñÿ, ìåòîäà укороченных урàâ- нений).

Поскольку â àâòîãåíåðàòîðàõ äëÿ ïîâышения стàбильности чàñ- òîòû ãенерируемых колебàíèé è ïîäàâления âысших ãàрмоник токà коллекторà, ÿâляющихся проäуктом нелинейности ВАХ трàнзисто- рà, используется âысокоäобротный контур (Q ? 1), òî àмплитуäà íàпряжения нà контуре, à òàêæå àмплитуäà íàпряжения обрàòíîé ñâязи, изменяются тàê ìåäленно, что их прирàщение Um çà âремя периоäà колебàíèé T ìíîãо меньше сàìîé àмплитуäы колебàíèé

Um = Um . Ýòî óñëîâèå «ìàлости» изменения àмплитуäы колебà- íèé è áóäет использоâàíî äëÿ àíàëèçà перехоäных процессоâ â àâ- òîãåíåðàòîðå.

Ïîêàæåì, ÷òî óêàçàííîå óñëîâèå «ìàлости» изменения àмплиту- äы колебàíèé â àâòîãåíåðàòîðå, Um = Um , äåéñòâительно âыполняется при больших äобротностях контурà Q. Íàпряжение нà колебàтельном контуре àâòîãåíåðàòîðà изменяется по зàêîíó

uê (t) = U0 e−αt sin ω0t ,

ãäå α = G2C коэффициент зàòóõàния контурà; U0 íà÷àльное знàчение àмплитуäы колебàíèé, âûçâàнное флуктуàциями токà â òðàнзисторе; ω0 ÷àñòîòà ñâîáîäных колебàíèé â контуре.

Ââåäем обознàчение

Umê (t) = U0 e−αt

(15.25)

и перепишем âûðàжение äëÿ u(t):

uê (t) = Umê (t) sin ω0t,

405

ãäå Um(t) описыâàåò çàкон изменения àмплитуäû àâтоколебàíèé âî âремени.

Ïðîäифференцироâàâ (15.25), íàéäем скорость изменения àм- плитуäû

	dUmê (t)	= -aU0e−αt	= -aUmê (t).	(15.26)
	dt
Перепишем (15.26) â ïðèðàщениях
	DUmê (t) = -aUmê (t)Dt.			(15.27)

Пусть отрезок âремени Dt = T, òîãäà DUmê (t ) = -aTUmê (t) .

Åñëè aT = 1, òî óñëîâèå

Um = Um âыполняется. Чтобы убеäèòü-

ñÿ â ýòîì, âûðàçèì äекремент зàòóõàíèÿ aT ïàðàллельноãо контурà

через äобротность Q:

G

2p

Gp

= pG

= pGr =

p

,

aT =

×

=

LC

L

(15.28)

2C

w0

C

C

Q

ãäå Q = 1(Gr ) äобротность контурà; r õàðàктеристическое сопротиâление контурà.

Для контурà âысокой äобротности (Q ? 1) äекремент зàòóõà-

íèÿ aT = 1, поэтому
Umê = Umê ,	(15.29)

â чем и требоâàëîñü óáåäиться.

Воспользуется услоâèåì (15.29) äля перехоäà от полноãî äифференциàëüíîãî óðàâнения àâòîãåíåðàòîðà (15.8) к укороченному.

Перепишем (15.29), рàçäåëèâ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà периоä колебàíèé

DUmê = Umê = Umêw0 .

T T 2p

Перейäåì ñíîâà к бесконечно мàëûì ïðèðàщениям àмплитуäы колебàíèé, ïîëàãàя, что периоä колебàíèé äîñòàточно мàë ïî ñðàâ- нению со âременем изменения àмплитуäû

dUmê	<<	Umêw0		.	(15.30)
dt			2p

Íåðàâåíñòâо (15.30) еще более усилится, если прàâóþ ÷àñòü óì-

ножим нà 2p:
	dUmê	<< w U	mê	.	(15.31)
	dt	0

Ïðîäифференцироâàâ (15.31), получим нерàâåíñòâî äëÿ 2-îé

произâîäíîé
	d2Umê	<< w0	dUmê	.	(15.32)
	dt2		dt

406

Воспользуемся (15.31) и (15.32) äля перехоäà îò äифференци- àëüíîãî óðàâнения àâòîãåíåðàòîðà (15.8), ñîñòàâленноãо относительно нàпряжения нà контуре uê(t), ê äифференциàльному урàâ- нению, состàâленному относительно оãèáàþùåé àмплитуäû ýòîãî íàпряжения Umê(t). Òåì ñàìûì óäàстся понизить поряäîê äифференциàëüíîãî óðàâнения.

Вычислим перâóþ è âторую произâîäíûå âûðàжения uê(t) = = Umê (t) sin w0t и учтем нерàâåíñòâà (15.31) è (15.32):

duê (t)

=

dUmê (t)

sin w0t + Umê (t)w0 cos w0t »

(15.33)

dt

dt

» Umê (t)w0 cos w0t;

d2uê (t)

=

d2Umê (t)

sin w0t +

dUmê (t)

w0 cos w0t +

dt2

dt2

dt

+

dUmê (t)

w

0

cos w t -U

mê

(t)w2 sin w t »

(15.34)

dt

0

0

0

» 2

dUmê (t)

w

0

cos w t - U

mê

(t)w2 sin w t.

dt

0

0

0

Ïîäñòàâèì (15.33) è (15.34) â óðàâнение àâòîãåíåðàòîðà (15.8):

2

dUmê (t)

w

0

cos w t - U

mê

(t)w2 sin w t +

dt

0

0

0

+

æ

2a -

MS(uîñ) öU

mê

(t)w

0

cos w t + U

mê

(t)w2 sin w t = 0.

ç

LC

÷

0

0

0

è

ø

После преобрàçîâàíèÿ ýòîãî âûðàжения имеем окончàтельно:

dUmê (t)

æ

MS(uîñ) ö

+ ç a -

÷Umê (t) = 0.

(15.35)

dt

2LC

è

ø

Получили тàê íàçûâàемое «укороченное» нелинейное äифференциàльное урàâнение 1-ãî ïîðÿäêà äëÿ ìåäленно меняющейся àмплитуäы колебàíèé, èëè óðàâнение Âàí-äåð-Ïîëÿ.

Òàêèì îáðàзом, использоâàíèå óñëîâèé ìåäленности изменения àмплитуäû ïîçâолило перейти от мãíîâенных знàчений нàпряжения нà контуре uê ê àмплитуäíûì Umê и понизить поряäîê óðàâ- нения. Зàметим, что урàâнение (15.35) по-прежнему остàется нелинейным, тàê êàê â íåãî âõîäÿò ìãíîâåííàя крутизнà ÂÀÕ, çàâèñÿ-

ùàÿ îò ìãíîâåííîãî íàпряжения uîñ. Îäíàêî, îò ìãíîâенной крутизны можно перейти к среäней крутизне â ñèëó òîãî, ÷òî â âûñî-

êîäобротном контуре можно пренебречь âысшими ãàрмоникàìè. Òîãäà óðàâнения (15.35) можно переписàòü â âèäå

dUmê (t)	æ	MSñð ö
	+ ç a -		÷Umê = 0.	(15.36)
dt	è	2LC ø

407

Ýòî óðàâнение, строãî ãîâîðÿ, òàêæå ÿâляется нелинейным (тàê êàê ñðåäняя крутизнà çàâèñèò îò àмплитуäû); îäíàêî â òàêîì óðàâнении перâîãî ïîðÿäêà можно рàçäелить переменные и полу- чить еãо решение.

Для решения урàâнения (15.36) прежäå âñåãо нужно âûáðàòü âûðàжение äëÿ ñðåäней крутизны. Если àппроксимироâàòü ÂÀÕ òðàнзисторà полиномом

iê = a0 + a1 ( uoñ - U0 ) + a2 ( uoñ - U0 )2 + K

è ñ÷èòàòü, ÷òî uoc = U0 + Umoc cos ωt , то можно нàéòè àмплитуäó ïåðâîé ãàрмоники токà

Im1 (Umoc ) = a1Umoc +			3 a3Um3 oc +	5 a5Um5 oc + K
			4	8
è ñðåäнюю крутизну по перâîé ãàрмонике
Sñð (Umoc ) =	Im1	= a1	+ 3 a3Um2 oc	+	5 a5Um4 oc + K.
Umoc			4		8

Это общее âûðàжение äëÿ ñðåäней крутизны приãîäíî äëÿ ðàñ÷åòà перехоäных процессоâ â àâòîãåíåðàòîðå êàê â ìÿãêîì, òàê è â жестком режимàх, но сложность рàсчетоâ при этом резко âîçðàñòàет. Поэтому äëÿ ïðàктических рàсчетоâ используют не полиномиàльную àппроксимàöèþ, à àппроксимàöèþ ãиперболическим тàíãенсом.

Ñðåäнюю крутизну трàнзисторà äëÿ ìÿãêîãо режимà ñàìîâозбужäåíèÿ ñ äîñòàточной äëÿ ïðàктических рàсчетоâ степенью точ- ности можно àппроксимироâàть функцией

	Sñð = S0		th aUmê	,	(15.37)
			aUmê
	ãäå S0 íà÷àльное знàчение крутизны S(0); a = S Ií ,				S çíà÷å-
	ние крутизны â ðàбочей точке,	Ií òîê íàсыщения трàнзисторà.
	Ïîäñòàâèâ âûðàжение äëÿ	крутизны (15.37) â			укороченное

óðàâнение äëÿ îãèáàþùåé àмплитуäы колебàíèé àâòîãåíåðàòîðà (15.36) è âынося коэффициент зàòóõàíèÿ a çà скобки, получим:

	dUmê (t)	æ			th aUmê (t) ö
		+ a ç	1	- m		÷Umê (t) = 0,	(15.38)
	dt				aUmê (t)
		è				ø

ãäå m = M Mêð ; Mêð = LGS0 .

Получим решение урàâнения (15.38) äëÿ äâух отрезкоâ âремени: 0 „ t „ t1 режим мàëûõ àмплитуä, êîãäà àðãумент aUmê „ 0,5.

 ýòî ñëó÷àå th aUmê ≈ aUmê è óðàâнение (15.38) буäет линейным оäíîðîäíûì äифференциàльным урàâнением 1-ãî ïîðÿäêà:

	dUmê (t)	+ a (1	- m )Umê (t) = 0; 0	„ t „ t1.	(15.39)
	dt

408

t1 „ t „ tóñò режим больших àмплитуä aUmê … 1,5, òîãäà th aUmê ≈ 1 è (15.38) áóäет линейным неоäíîðîäíûì äифференци-

àльным урàâнением 1-ãî ïîðÿäêà

	dUmê (t)	æ	m ö		t1 „ t „ tóñò.
		+ a çUmê (t) -	÷	= 0;		(15.40)
	dt
		è	a ø
Решение урàâнения (15.39) имеет âèä:
	Umê (t) = Umê (0)e−α(1−m)t;				0 „ t „ t1,	(15.41)

ãäå Umê(0) íà÷àльное знàчение àмплитуäы колебàíèé â момент t = 0 (íà ïåðâом интерâàëå âремени 0 „ t „ t1 ), обуслоâленное флуктуàциями â òðàнзисторе. Из (15.41) âèäíî, ÷òî àмплитуäà колебàíèé áóäåò óâеличиâàòüñÿ, åñëè m > 1, ò. å. M > Mêð èëè

Mêð L > GS .

Для решения (15.40) проâåäåì ðàçäеление переменных и проинтеãрируем

æ

m ö

U(t)

d çUmê (t) -

÷

t

ò

è

a ø

= - ò a dt;

t1 „ t „ tóñò,

Umê

(t) - m

U(t1)

t1

Umê (t) - m

a

ln

a

= -a (t - t1);

t1 „ t „ tóñò,

(t ) -

m

U

mê

1

a

Umê (t) =

æ

m ö

m

; t1 „ t „ tóñò, (15.42)

çUmê (t1) -

÷ e−α(t−t1) +

a

è

a ø

ãäå Umê(t1) íà÷àльное знàчение àмплитуäы колебàíèé íà âтором

интерâàëå t1 „ t „ tóñò , ðàâное конечному знàчению àмплитуäû íà ïåðâом интерâàëå Umê (t1) = Umê (0)e−α(1−m)t1 .

Ïðè t → ∞ получим устàíîâèâшееся решение äëÿ àмплитуäû êî-

ëåáàíèé
Umê (tóñò) =	m	=	M	×	1	=	M S0	Ií	.	(15.43)
	a		Mêð		a
							L	SG

Èç (15.43) âèäíî, ÷òî óñòàíîâèâшееся колебàíèå Umê (tóñò) íå çàâèñèò îò íà÷àльных услоâèé, à çàâèñèò îò âеличины обрàòíîé

ñâÿçè ML, ïðîâîäимости контурà G è õàðàктеристик трàнзисторà.

Время устàíîâления колебàíèé â àâòîãåíåðàòîðå íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî àмплитуäà колебàний изменяется от Umê(0) äî 0,95

îò óñòàíîâèâøåãося решения, т. е. Umê (tóñò) = 0,95 ma . Îòêóäà имеем

409

0,95 m =	æU	mê	(t ) - m ö e−α(tóñò −t1) + m .			(15.44)
a	ç		1	÷	a
	è			a ø

Íà÷àльное знàчение àмплитуäы колебàíèé Umê(t1) íàéäåì èç

âûðàжения среäней крутизны нà ïåðâом интерâàëå Sñð = S è íà

âтором интерâàëå Sñð = S (aUmê (t1) ). Îòñþäà:

U

mê

(t ) = U

mê

(0) e−α(1−m)t1

= 1 .

(15.45)

1

a

Èç (15.45) íàõîäèì

t1 =

ln aUmê (0)

.

(15.46)

a(1 - m)

Ïîäñòàâèâ (15.46) â (15.44), получим

0,95

m

æ

1

-

m ö

−t1) +

m

;

a

= ç

a

a

÷ e−α(tóñò

a

è

ø

ln

0,05m = -a(t

óñò

- t ).

1 - m

1

Îòêóäà íàõîäèì

t

óñò

- t =

1

ln 20 m − 1;

1

a

m

tóñò =

1

ln 20 m − 1

-

1

ln aUmê (0).

(15.47)

a(m - 1)

a

m

Èç (15.47) âèäíî, ÷òî äлительность устàíîâления колебàíèé tóñò çàâèñèò îò íà÷àльной àмплитуäû Umê(0), коэффициентà çàòóõàíèÿ a, âеличины обрàòíîé ñâÿçè m è ïàðàìåòðà òðàнзисторà a. Ñ óâе- личением нà÷àльной àмплитуäы колебàíèé Umê(0) âðåìÿ óñòàíîâ- ления уменьшàåòñÿ.

Пример. Ðàссчитàòü âðåìÿ óñòàíîâления колебàíèé â àâòîãåíåðàòîðå äëÿ ñëåäующих услоâèé: âеличинà âçàимной инäукции â äâà ðàçà больше критиче-

ñêîé m = M Mêð = 2; íà÷àльное знàчение àмплитуäы колебàíèé â 100 ðàз меньше àмплитуäы колебàíèé â ñåðåäине перехоäíîãо процессà Umê(0) =

= 0,01a, äобротность контурà Q = 100.

Âûðàçèì â (15.47) коэффициент зàòóõàния a контурà через äобротность Q: a = w0 ( 2Q ), òîãäà из (15.47) получим

tóñò	=	2Q æ		- ln a	0,01	ö	=	2Q	(ln10	- ln 0,01) =
		w0	ç ln10		a	÷		w0
			è			ø

=

2Q

ln

10

=

2Q

× 3ln10

=

2QT

× 6,9

» 2QT èëè

tóñò

» 2Q.

w0

0,01

w0

2p

T

Ïðè Q = 100 óñòàíîâление колебàний происхоäèò çà 200 периоäîâ.

410