Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

âеличину àмплитуäû uâûõ(t) ãенерируемоãо колебàíèÿ â ñòàöèî- íàрном режиме.

Пример. Исслеäуем устойчиâость цепи, изобрàженной нà ðèñ. 14.8, a, В ней можно âûäелить усилительный элемент с переäàточной функцией Íó = Ê è öåïü îáðàòíîé ñâÿçè (ðèñ. 14.8, ã) ñ ïåðåäàточной функцией (14.17)

	Hoc ( p ) =		pτ		,
		p2τ2	+ 3pτ + 1

ãäå τ = RC.

Кроме тоãî, íàпомним, что нà усилитель сиãíàл поступàет через âõîäíóþ öåïü (ðèñ. 14.8, â), ïåðåäàòî÷íàя функция которой (см. (14.16))

Hâõ ( p ) = 1 ( p2τ2 + 3pτ + 1).
Получим хàðàктеристическое урàâнение цепи:
1 − Hó ( p ) Hoc ( p ) = 0
èëè	pτ
1 − K		= 0.
	p2τ2 + 3pτ + 1
Îòêóäà окончàтельно получàåì
p2τ2 + ( 3 − K ) pτ + 1 = 0.			(14.26)
Корни хàðàктеристическоãî óðàâнения (14.16)

p =	− ( 3 − K ) τ ±		( 3 − K )2 τ2 − 4τ2	= −α ± jω	c
1,2		2τ2

çàâисят от коэффициентà усиления усилителя Ê. Ðàсположение корней p1 è p2 íà плоскости комплексноãо переменноãî ð äëÿ ðàзных коэффициентоâ усиления и соотâåòñòâующие этому ãðàôèêè ñâîáîäных колебàíèé â öåïè ïîêàçàíû íà ðèñ. 14.10.

Устойчиâîñòü äàнной цепи можно исслеäîâàть и с помощью критерия Нàéêâèñòà. Комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция рàзомкнутой цепи рàâíà

Hp ( jω) = Hó ( jω) Hoc ( jω) = Kjωτ( −ω2τ2 + j3ωτ + 1) =

æ p

-arctg

3wt

ö

Kωτ

jç

÷

=

2

2

2

e è

1-w

t

ø.

(1 − ω2τ2 )2

+ 9ω2τ2

Íà ðèñ. 14.4 ïðèâåäåíû ãîäîãðàôû Hð(jω) устойчиâîé (Ê = 2, êðèâàÿ 1) и неустойчиâîé (Ê = 3, êðèâàÿ 2; Ê = 4, êðèâàÿ 3) öåïè.

Критерий устойчивости Михайлова. Этот простой и эффектиâ- ный критерий был преäложен â 1938 ã. À.Â. Ìèõàéëîâûì è áàзируется он нà õàðàктере поâåäåíèÿ àðãументоâ полиномà Ãóðâèöà v(jω) при изменении чàстоты ω îò íóëÿ äо бесконечности.

Положим, что полином Гурâèöà степени m

v ( p ) = pm + bm−1pm−1 + K + b1p + b0

(14.27)

371

	jω			u2c(t) = A1e−α1t + A2e−α2t
p1	= −α1		K < 1
p2	= −α2	α	0	t
	jω		a)	u2c(t) = Ae−αt sin(ωct + θ)
p1 = −α + jωc			1 < K < 3

α

0

t

p2 = −α

− jωc

á)

p1 = jωc

jω

K = 3

u2c(t) = Asin(ωct + θ)

p2 = −jωc

α

0

t

â)

jω

u2c(t) = Aeαt sin(ωct + θ)

p1 = α + jωc

K > 3

α

0

t

p2 = α − jωc

Ðèñ. 14.10

имеет l ïàр комплексно-сопряженных корней с отрицàтельной âå-

ùåñòâенной чàñòüþ pk = -ak ± jwk . Îñòàльные m 2l корней âещестâенные отрицàтельные числà: ps = −α s . Если учесть при

этом, что произâåäение линейных множителей äâух комплексносопряженных корней рàâíî

( p - pk1 ) ( p - pk2 ) = [ p - ( -ak + jwk ) ] [ p - ( -ak - jwk ) ] =

= ( p + a

k

)2

+ w2 = p2

+ 2a

k

p + a2

+ w2 = p2

+ c p + d ,

k

k

k

1

1

ãäå c = 2a

k

; d = a2

+ w2,

1

1

k

k

то полином Гурâèöà (14.27) можно рàзложить нà ñëåäующие ли-

нейные множители

v ( p ) = ( p + a1 ) ( p + a2 )K( p + am−2l ) ( p2 + c1p + d1 ) ×

×( p2 + c2p + d2 )K( p2 + clp + dl )

èëè äàëåå ïîëàãàÿ, ÷òî p = jw, получим

v ( jw) = ( jw + a1 ) (

jw + a2 )K( jw + am−2l ) ( -w2 + jwc1 + d1 ) ×

(14.28)

×( -w2 + jwc2 + d2 )K(

-w2 + jwcl + dl ).

372

Êàк комплексную âеличину (14.28) можно преäñòàâèòü â ïîêàçà- тельной форме

ãäå

v ( jw) =

v ( jw)

e jϕv ( ω),

(14.29)

m−2l

jv ( w) = arg v ( jw) =

( w) +

l

( w),

å jk

å js

(14.30)

k=1

ω

s=1

jk ( w) = arctg

,

(14.31)

ak

( w) = p + arctg

æ

w

ö

ds

js

ç

-

ds

÷.

(14.32)

cs

2

è

ds

w ø

Êàê ñëåäóåò èç (14.29), (14.30), (14.31) ñ óâеличением w от 0 äî ¥ jv ( w) монотонно âîçðàñòàåò îò 0 äî mp/2. Ýòî ñâîéñòâî àðãó- ìåíòà полиномà Ãóðâèöà и лежит â îñíîâе критерия Михàéëîâà, который формулируется слеäующим обрàçîì: если при изменении чàстоты w îò 0 äî ¥ àðãумент полиномà Ãóðâèöà jv ( w) âîç- ðàñòàåò íà óãîë mp/2 (ãäе m степень полиномà), òî öåïü áó- äет устойчиâîé.

Дейстâительно, если среäи корней v(p) åñòü õîòÿ áû îäèí âещест- âенный положительный корень, то â ñëàãàåìîì òèïà (14.30) ïîÿâèòñÿ ñëàãàåìîå jk ( w) < 0 и поэтому соãëàñíî (14.30) jv ( w) < mp/2.

Критерий Михàéëîâà имеет простой ãеометрический смысл: ãî- äîãðàô v(jw) устойчиâой цепи при изменении w от 0 äî ¥ áóäет послеäîâàтельно обхоäèòü â положительном нàïðàâлении (протиâ ÷àñîâой стрелки) m êâàäðàíòîâ комплексной плоскости. Нà рис. 14.11 получены ãîäîãðàфы устойчиâîé à и неустойчиâîé á öåïè 4-ãî ïîðÿäêà:

j	á
ω2
ω1	m = 4

ω2 ω = 0 +

à

ω3

Ðèñ. 4.11

373

 ïåðâîì ñëó÷àå ãîäîãðàô v(jw) îáõîäèò 4 êâàäðàíòà монотонно

(послеäîâàтельно) протиâ ÷àñîâой стрелки, при этом àðãумент âîç-

ðàñòàåò äî âеличины jv ( w) = 4p/2 = 2p.

Âî âтором случàе неустойчиâîé öåïè jv ( w) изменяется скà÷êîì îò 2-ãî êâàäðàíòà â 4-é, ïðè ýòîì jk ( w) < 2p .

Вопросы и задания для самопроверки

1.Êàê ðàссчитыâàåòñÿ ïåðåäàòî÷íàя функция цепи с обрàòíîé ñâÿ- çüþ?

2. Çàïèñàòü óðàâнение переäà÷è äля цепи, изобрàженной нà ðèñ. 14.1, â.

U

ã

= ( Z

11

+ Z

ã

) I

1

+ Z

12oc

I

2

ü

Îòâåò:

ý.

U

âûõ = Z21I1 + ( Z22 + Zí )

I

2 þ

3.Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция äифференциàòîðà íà îïåðàционном усилителе рàâíà ( pRC). Построить ãðàôèê À×Õ òàêîãî äифференциàòîðà.

4.Îïðåäелить переäàточную функцию цепи, изобрàженной нà ðèñ. 14.9.

Ñ2

R2

R1

K

Ñ1

Ðèñ. 14.9

Îòâåò:	H ( p ) =						K (1 + pR2C2 )										.
		é p2C C R R + p ( R C + R C								2	+ R C	2	- KR C		) + 1	ù
		ë	1	2	1	2	1	1	2		1		1	2		û

5.×òî òàêîå ãîäîãðàф петлеâîãо усиления? Кàê ïî ãîäîãðàôó îïðåäелить тип обрàòíîé ñâÿçè?

6.Êàк формулируется критерий устойчиâîñòè Íàéêâèñòà? Äëÿ êà- ких цепей он используется?

7.Сформулируйте критерий устойчиâîñòè Ðàóñà-Ãóðâèöà. Êàê ñîñòàâèòü îïðåäелитель Гурâèöà? Ïðèâåäите примеры.

8.Îïðåäелить комплексную переäàточную функцию Hð(jw) öåïè íà ðèñ. 14.9 ðàзомкнутой обрàòíîé ñâязью. Исслеäóéòå çàâисимость устойчиâîñòè öåïè îò âеличины коэффициентà усиления Ê.

Îòâåò: Hp ( jw ) =					KjwR1C2							.
	-w2R R C C			2	+ jw( R C + R C			2	+ R C	2	) + 1
1		2	1		1	1	2		1

9.  ÷åì ãеометрический смысл критерия устойчиâîñòè Ìèõàéëîâà?

10. Îïðåäелить относительные изменения коэффициентоâ усиления трех усилителей, охâàченных ООС с коэффициентом переäà÷è Hîñ = 0,01, если их коэффициенты усиления без ОС рàâíû

H1ó = 5 × 102; H2ó = 5 × 103; H3ó = 5 × 104, à относительнàÿ ñòà- бильность коэффициентà усиления состàâëÿåò 1%.

Îòâåò: dH1H1 = 1,66%; dH2 H2 = 0,0196%; dH3 H3 = 0,002%.

374

ГЛАВА 15. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ

15.1. Физические процессы в автоколебательных цепях

Àâтоколебàтельными íàçûâàþòñÿ àêòèâные электрические цепи, â которых без посторонних âîçäåéñòâèé ñàмостоятельно âîçíè- êàют электрические колебàíèÿ. Òàкие колебàíèÿ íàçûâàþòñÿ àâ- токолебàниями, à ñàми электрические цепи, â которых âозникàþò àâтоколебàíèÿ, àâòîãåíåðàòîðàìè (èëè, ÷àùå, ãåíåðàòîðàìè).

Àâòîãåíåðàторы используются â ðàäиотехнике и сâÿçè äля получения электромàãнитных колебàíèé.  çàâисимости от формы âûðàáàòûâàемых колебàíèé ðàçëè÷àþò ãåíåðàòîðû ãàрмониче- ских и неãàрмонических колебàний. По принципу рàáîòû ãåíåðà- òîðû äелятся нà ãåíåðàòîðû ñ âнешней обрàòíîé ñâÿçüþ è ñ âнутренней обрàòíîé ñâязью, т. е. с отрицàтельным сопротиâлением. Нàконец, рàзличие â элементной бàçå ïàññèâíîé ÷àсти схемы ãåíåðàòîðà ïîçâоляет âåñòè ðå÷ü îá LC-ãåíåðàòîðàõ èëè î RC-ãåíåðàòîðàõ.  êà÷åñòâå àêòèâных элементоâ â ãåíåðàòîðàх применяются электронные лàмпы, биполярные и полеâûå òðàнзисторы, туннельные äèîäû è äð.

 äàííîé ãëàâå íàибольшее âíèìàíèå áóäåò óäелено LC-ãåíå- ðàòîðàì ãàрмонических колебàíèé ñ âнешней ОС, использующим â êà÷åñòâå àêòèâíîãо элементà биполярные трàнзисторы. Оäíàêî ñëåäóåò óêàçàть, что, хотя изучение сâîéñòâ àâòîãåíåðàòîðîâ произâîäèòñÿ íà примере конкретных схем, результàты исслеäîâàния носят äîñòàточно общий хàðàêòåð.

Çàòåì áóäóò ðàссмотрены особенности построения RÑ-ãåíåðà- òîðîâ è ãåíåðàòîðîâ ñ âнутренней ОС.

Физические процессы в автоколебательных цепях. Íà ðèñ. 15.1, à ïîêàçàí ïàðàллельный колебàтельный контур, состоящий из элементоâ L, Ñ è G. Если контуру сообщить некоторое количестâî ýíåðãèè, òî â íåì âозникнут сâîáîäные колебàíèÿ.

Ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà (ÇÒÊ):

				iC + iG + iL = 0.
				uê (t)
iL	iC		iG
L	C	G	Uê	0	t
			+
	à)				á)
				Ðèñ. 15.1

375

Êàæäîå èç ñëàãàåìûõ ýòîãî óðàâнения можно âûðàзить через нà- пряжение uê íà элементàх контурà. Òîãäà

C dudtê + Guê + L1 ò uêdt = 0.

Дифференцируя äàííîå óðàâнение по âремени и äåëÿ îáå åãî ÷àñòè íà Ñ, получàåì

d2uê	+	G	×	duê	+	1	uê = 0.	(15.1)
		C				LC
dt2				dt

Íàпомним, что при сопротиâлении контурà R = l/G > 2r èëè

G< l/(2r) перехоäный процесс имеет колебàтельный хàðàктер. Величинà a = G/(2C) ÿâляется коэффициентом зàòóõàíèÿ êîí-

òóðà, à âеличинà w0 = 1LC резонàнсной чàстотой контурà. В этих обознàчениях (15.1) перепишется â âèäå

	d2uê	+ 2a	duê	+ w02uê = 0.	(15.2)
	dt2
			dt
Дифференциàльное урàâнение (15.2) имеет слеäующее решение:
uê (t ) = Umêe−αt sin ( wct + q ),					(15.3)

ãäå Umê íà÷àëüíàÿ àмплитуäà íàпряженèÿ íà êонтуре, зàâèñÿ-

ùàÿ îò ââåäенной â контур энерãèè; ω c = ω 02 − α 2 ÷àñòîòà ñâî- áîäных собстâенных колебàíèé; q íà÷àëüíàÿ ôàçà.

Òàê êàê a = G/(2C) > 0, то колебàние (15.3) имеют зàòóõàþùèé õàðàêòåð (ñì. ðèñ. 15.1, á, при q = 0), что объясняется потерями â контуре из-зà íàличия резистиâíîé ïðîâîäимости G. Чтобы пре- âðàòèòü òàêîé ãåíåðàòîð â ãåíåðàòîð íåçàòóõàющих колебàний, нужно âозмещàòü â нем потери, т. е. пополнять контур энерãèåé.

Причем, если энерãèè â контур ââîäèòñÿ ðîâно столько, сколько необхоäèìî äля компенсàции потерь, то это экâèâàлентно âнесению â контур отрицàтельной проâîäимости Gâí, при этом результирую- щàÿ ïðîâîäимость контурà îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òîãäà a = 0 è â контуре âозникàþò íåçàòóõàющие колебàíèÿ.

 ñëó÷àå æå, êîãäà ýíåðãèè â контур ââîäится больше, чем это необхоäèìî äля компенсàции потерь (т. е. отрицàтельнàÿ ïðîâî- äимость Gâí больше G è, ñëåäîâàтельно, Gâí + G < 0), â контуре âозникàþò íàðàñòàþùèå ïî àмплитуäе колебàíèÿ, òàê êàк коэффициент зàòóõàíèÿ ñòàíîâится отрицàтельным.

Ýíåðãèþ â контуре можно пополнять, нàпример, зà счет собстâенных колебàний, снятых с контурà и усиленных усилителем. Рàáîòàþùàÿ íà òàком принципе схемà àâòîãåíåðàòîðà ïîêàçàíà íà ðèñ. 15.2.

Ðàссмотрим процесс âозникноâения колебàíèé â àâòîãåíåðàòîðå, èëè ìåõàíèçì ñàìîâозбужäåíèÿ ãåíåðàòîðà, è óñòàíîâление

376

колебàíèé îïðåäеленной àмплитуäû,

M

+

Uï

ò. å. ñòàöèîíàрный режим ðàáîòû

ãåíåðàòîðà.

uoc

+

Причиной âозникноâения колебà-

Loc

L

C G

uê

íèé â àâòîãåíåðàòîðå ÿâляются флук-

+

iL

iC

iG

òóàöèè (ñëó÷àéíûå âозмущения) токà

â элементàõ ðåàльной схемы (зà ñ÷åò

iÊ

теплоâîãî

äâижения

электроноâ

â

Á

Ê

àêòèâíûõ

элементàõ

è

резисторàõ,

VT

uÁÝ +

äðîáîâîãо эффектà è ò. ä.), à òàêæå

Ý

çà ñ÷åò âнешних помех. Флуктуàöèè

U0

òîêà iÊ, протекàþùåãо через контур,

+

âûçûâàþò

флуктуàöèè

íàпряжения

Ðèñ. 15.2

íà

контуре

èê.

Спектр

ýòèõ

ñëó-

÷àéíûõ âозмущений âåñüìà широк и соäержит состàâляющие âñåõ

÷àñòîò.

Ñîñòàâляющие нàпряжения èê ñ ÷àñòîòàми, близкими к резо-

íàнсной чàстоте контурà ω0, имеют нàибольшую àмплитуäó, òàê

êàê ìîäуль комплексноãî ýêâèâàлентноãо сопротиâления контурà

ÿâляется нàибольшим и рàâíûì R0ý именно нà резонàнсной чàстоте

ω0. Âûäеленное нà контуре ãàрмоническое с чàстотой ω0 íàпряже-

ние через цепь ОС, обрàçîâàííóþ âторичной обмоткой трàнсфор-

ìàòîðà, ïåðåäàåòñÿ íà âõîä òðàнзисторà, ñîçäàâàÿ íàпряжение èê.

Ýòî íàпряжение âûçîâåò óâеличение коллекторноãî òîêà iÊ, ÷òî, â

ñâою очереäü, ïðèâåäåò ê óâеличению нàпряжения нà контуре èê.

Êàê ñëåäñòâèå ýòîãî óâåëè÷àòñÿ íàпряжение обрàòíîé ñâÿçè uoc è

íàпряжение èê è, çíà÷èò, âíîâü óâåëè÷àтся коллекторный ток и

íàпряжение нà контуре èê è ò. ä. Òàêèì îáðàçîì, â çàмкнутой сис-

òåìå àâòîãåíåðàòîðà ñàìîâозбужäàются колебàíèÿ ÷àстоты, близкой

к резонàнсной чàстоте контурà ω0.

Î÷åâèäíî, âàæíûì óñëîâèåì âозникноâения колебàíèé ÿâляется

òî, ÷òî ôàçà íàпряжения uÁÝ äîëæíà áûòü òàкой, при которой уâå-

личение нàпряжения èê âûçûâàåò óâеличение коллекторноãî òîêà

iÊ è, òåì ñàмым, порожäàåò íîâîå óâеличение èê. Äàííîå óñëîâèå è

åñòü óñëîâèå áàëàíñà

ôàç. Áàëàíñ ôàç

äîñòèãàåòñÿ

ïðàâильным

âключением âторичной обмотки трàнсформàòîðà. Ïðè äðóãîì åå

âключении âîçðàñòàíèå íàпряжения нà контуре èê ïðèâåäåò ê

уменьшению коллекторноãî òîêà, ò. å. áàëàíñ ôàç íàрушится и сà-

ìîâозбужäения не произойäåò.

Îáðàòíàÿ ñâязь, при которой âыполняется бàëàíñ ôàç, ÿâляется

положительной ОС. В протиâíîì ñëó÷àå ÎÑ отрицàтельнàÿ.

Ñàìîâозбужäåíèå àâòîãåíåðàòîðà âозможно только при нàличии

положительной ОС.

Процесс сàìîâозбужäения колебàíèé â контуре с энерãетиче-

ской точки

зрения объясняется

òåì, ÷òî

от источникà

ïèòàíèÿ ñ

377

помощью трàнзисторà â контур зà îäин периоä колебàния посту- пàåò ýíåðãии больше, чем рàñõîäуется ее â резистиâном сопротиâ- лении контурà. Ýòî ýêâèâàлентно, кàк уже отмечàëîñü ðàíåå, âнесению â контур отрицàтельной проâîäимости Gâí, ïðåâûøàþùåé ïî âеличине экâèâàлентную проâîäимость контурà G, ÷òî ïðèâîäит к отрицàтельному знàчению коэффициентà çàòóõàния контурà α è, ñëåäîâàтельно, к âозникноâåíèþ â контуре нàðàñòàющих колебà- íèé.

Ïîêà àмплитуäà íàпряжения uÁÝ áûëà ìàëà, ðàáîòà происхо- äèëà íà линейном учàñòêå ÂÀÕ òðàнзисторà. Ñ óâеличением àìïëè-

òóäы колебàíèé â контуре âîçðàñòàåò íàпряжение ОС uîñ è, ñëå- äîâàтельно, âõîäíîå íàпряжение трàнзисторà uÁÝ. Ïðè ýòîì âñå

сильнее скàçûâàется нелинейность ВАХ трàнзисторà. Íàконец, при äîñòàточно больших àмплитуäàх колебàний ток коллекторà iÊ перестàåò óâеличиâàòüñÿ, çíàчения нàпряжения нà контуре uê, îá- ðàòíîé ñâÿçè uîñ è âõîäíîå uÁÝ ñòàбилизируются, â àâòîãåíåðàòîðå óñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíûé äèíàмический режим с постоянной àм- плитуäой колебàíèé è ÷àстотой ãåíåðàции, близкой к резонàнсной чàстоте колебàтельноãо контурà ω0. Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàрные колебàíèÿ â àâòîãåíåðàòîðå óñòàíàâëèâàются только блàãîäàðÿ íà- личию нелинейности ВАХ трàнзисторà.

 ñòàöèîíàрном режиме энерãия, поступàþùàÿ â контур, âñÿ ðàññåèâàåòñÿ â ýêâèâàлентной резистиâíîé ïðîâîäимости контурà, ò. å. âносимàÿ â контур отрицàтельнàÿ ïðîâîäимость Gâí îêàçû- âàåòñÿ ðàâíîé ýêâèâàлентной проâîäимости G и полностью компенсируют ее; коэффициент зàòóõàния контурà α îáðàùàåòñÿ â нуль. В контуре сущестâóþò íåçàòóõàþùèå ãàрмонические колебàíèÿ.

15.2. Обобщенная схема автогенератора

Èç ïðåäûäóùåãî ðàссмотрения слеäóåò, ÷òî ñõåìà àâòîãåíåðà- òîðà äîëæíà ñîäåðæàòü àêòèâный элемент с нелинейной âîëüò- àмперной хàðàктеристикой, колебàтельную систему (â äàííîì ñëó- ÷àе контур), âнешнюю цепь положительной ОС, по которой коле- бàíèå ñ âûõîäà колебàтельной системы поäàåòñÿ íà âõîä àêòèâíîãо элементà. Òàêèå àâòîãåíåðàòîðû ÿâляются ãåíåðàòîðàìè ñ âнешней ОС; структурнàÿ ñõåìà построения тàêèõ ãåíåðàòîðîâ ïðèâåäåíà íà ðèñ. 15.3.

Çàметим, что нелинейный àêòèâный элемент с колебàтельной системой обрàзуют нелинейный резонàнсный усилитель. Поэтому можно преäñòàâить обобщенную структурную схему àâòîãåíåðàòîðà ñ ðàзомкнутой цепью обрàòíîé ñâÿçè (ðèñ. 14.17, à). Комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция âñåé öåïè

Hp ( jω) = Uîñ ( jω)Uâõ ( jω) = Hó ( jω) Hîñ ( jω).

378

Нелинейный резонансный усилитель

Активный

Колебательная

Цепь обратной

элемент

система

связи

Ðèñ. 15.3

Äëÿ òîãо, чтобы â ãåíåðàторе происхоäèëî ñàìîâозбужäение колебàний, необхоäимо, чтобы моäуль комплексноãî íàпряжения |Uîñ(jw)| íà âûõîäе схемы был больше моäуля комплексноãî íà- пряжения |Uâõ(jw)| íà âõîäе схемы, откуäà

Hp ( jw) = Hó ( jw) × Hîñ ( jw) > 1.

При приближении к стàöèîíàрному режиму моäуль комплексноãо коэффициентà ïåðåäàчи усилителя |Hó(jw)| çà ñ÷åò âлияния нелинейности нà÷èíàет уменьшàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå íàступит äèíàмическое рàâíîâåñèå (ñì. § 14.3):

Hp ( jw) = Hó ( jw) × Hîñ ( jw) = 1.

Ýòî óñëîâèå ñîîòâåòñòâóåò ñòàöèîíàрному режиму и изâестно поä íàçâàíèåì áàëàíñà àмплитуä. Учитыâàÿ, ÷òî

Hp ( jw) = Hp ( jw) e jϕð ( ω); Hó ( jw) = Hó ( jw) e jϕó ( ω); Hîñ ( jw) = Hîñ ( jw) e jϕîñ ( ω),

получàåì ôàçîâûé ñäâèã â ðàзомкнутой цепи àâòîãåíåðàòîðà jð ( w) = jó ( w) + jîñ ( w).

Áàëàíñ ôàç, ò. å. ñîâïàäåíèå ôàç íàпряжений нà âõîäå è âûõî- äе схемы рис. 14.17, à, íàñòóïàåò ïðè jð(w) = 2p. Òàêèì îáðàçîì, ñäâèã ôàç â öåïè îáðàòíîé ñâÿçè çàâèñèò îò ñäâèãà ôàç â усилителе и äополняет еãî äî 2p. Åñëè íà ÷àстоте ãенерируемых колебàний усилитель âносит сäâèã ôàç jó = p (êàê, íàпример, â схеме рис. 15.2), то цепь обрàòíîé ñâÿçè äîëæíà íà ýòîé æå ÷àстоте âíî-

ñèòü ñäâèã ôàç jîñ(w) = p. В схеме àâòîãåíåðàòîðà ðèñ. 15.2 ïîâî- ðîò ôàçû íàпряжения uoc(t) íà 180° äîñòèãàåòñÿ, êàê ðàíåå îòìå- ÷àëîñü, ñîîòâåòñòâующим âключением обмоток кàтушки инäóêòèâ-

ности Loc.

379

15.3. LC-генератор с трансформаторной обратной связью. Классический метод анализа

Дифференциальное уравнение генератора. Îáðàтимся âíîâь к схеме рис. 15.2. По перâîìó çàêîíó Êèðõãîôà

iC + iG + iL = iÊ.

èëè
C	duê	+ Gu	ê	+	1	u		dt = i .	(15.4)
	dt				L ò		ê	Ê

Ýòè óðàâнения отличàþòñÿ îò ñîîòâåòñòâующих урàâнений оäèíî÷- íîãо колебàтельноãо контурà, полученных â § 15.1, òåì, ÷òî â ïðà- âîé ÷àñòè çàïèñàн коллекторный ток iÊ.

Вольт-àмпернàÿ õàðàктеристикà òðàнзисторà iÊ = F(èÁÝ U0) â окрестности рàбочей точки U0 ÿâляется, âообще ãîâоря, нелиней-

íîé, òàê êàк ток коллекторà iÊ нелинейно зàâèñèò îò íàпряжения èÁÝ U0. Èç ðèñ. 15.2 ñëåäóåò, ÷òî íàпряжение ОС, снимàåìîå ñ

êàтушки инäóêòèâности обрàòíîé ñâÿçè Lîñ, ðàâíî uîñ = èÁÝ U0, поэтому â äàльнейшем уäîáíî ðàññìàòðèâàòü ÂÀÕ iÊ = F(uîñ) = = iÊ(uîñ).

Çàметим äàëåå, ÷òî íàпряжение ОС uîñ âычисляется через коэффициент âçàимной инäóêòèâности Ì è òîê â êàтушке L (ñì. §3.7)

uoc = -MdiL dt.

 ñâою очереäü, òîê â êàтушке iL è íàпряжение нà íåé uê ñâÿ- çàны соотношением uê = LdiL/dt, поэтому нàпряжение ОС uîñ можно âûðàзить через нàпряжение нà контуре uê:

uoc = −Muê L.

(15.5)

Вернемся к урàâнению (15.4). Проäифференцируем еãî ïî âремени и рàçäåëèì îáå ÷àñòè íà Ñ:

d2u

ê

G

du

1

1

di

( u

îñ

)

+

×

ê +

uê =

Ê

.

(15.6)

C

LC

C

dt

dt2

dt

В отличие от урàâнения (15.1) äëÿ îäиночноãо колебàтельноãо контурà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâнения (15.6) присутстâóåò âûíóæäàþùàÿ

ñîñòàâëÿþùàÿ diÊ(uîñ)/dt. Произâîäную функции iÊ(uîñ) áóäåì èñêàòü êàк произâîäную сложной функции:

diÊ ( uîñ )	=	diÊ ( uîñ )	× duîñ	=	S ( uîñ ) M	× duê ,	(15.7)
		duîñ
dt			dt		L	dt

ãäå S(uîñ) = diÊ(uîñ)/duîñ äифференциàëüíàя крутизнà ÂÀÕ òðàнзисторà, нелинейно зàâèñÿùàÿ îò íàпряжения uîñ.

Ïðè äифференцироâàíèè íàпряжения uîñ ïî âремени учтено соотношение (15.5).

380