Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

	-Du = LDx	∂i	+ RDxi.	(13.1 à)
		¶t

Çäåñü è äàлее используются чàстные произâîäíûå, òàê êàê íà- пряжение и ток яâляются функциями переменных t è õ.

Уменьшение токà íà ó÷àñòêå Dõ происхоäèò çà ñ÷åò îòâåòâления токà через емкость ÑDõ è ïðîâîäимость изоляции GDx. Пренебре- ãàя изменением нàпряжения кàê âеличиной âòîðîãî ïîðÿäêà ìàлости, можно нàïèñàòü

	-Di = ÑDx	∂u	+ GDxu.	(13.1 á)
		¶t

Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâнений (13.1 à è á) íà Dõ и перейäÿ ê ïðåäåëó ïðè Dõ ® 0, получим äифференциàльные урàâнения линии:

	-	¶u	= L	¶i		+ Ri;	ü
							ï
		¶x		¶t				(13.2)
							ý
		¶i		¶u
	-		= C			+ Gu.ï
		¶x		¶t
							þ

Ýòè óðàâнения нàçûâàþòñÿ òåëåãðàфными, òàê êàê âïåðâые были получены äля линии телеãðàôíîé ñâÿçè.

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â линии имеет место режим устàíîâèâшихся ãàрмонических колебàний. Поскольку зàкон изменения нàпряжений и токоâ âî âремени изâестен, то из äифференциàльных урàâ- нений (13.2) остàåòñÿ íàéòè ëèøü çàконы изменения àмплитуä è ôàç íàпряжений и токоâ ñ ðàсстоянием õ.

Используя симâолический метоä àíàëèçà ãàрмонических коле-

áàíèé, â котором

u U;

i I;

du

jwU;

di

jwI,

dt

dt

преобрàçóåì óðàâнения (13.2) к âèäó

-

dU

= ( R + jwL) I; ïü

dx

(13.3)

ý

dI

-

= (G + jwC )U.ï

dx

þ

Òàê êàк комплексные äåéñòâующие знàчения U è I ÿâляются функциями только õ, óðàâнения зàïèñûâàþòñÿ íå â ÷àстных, à â полных произâîäíûõ.

Ïðîäифференцироâàâ ïåðâîå óðàâнение из (13.3) по õ è ïîä- ñòàâèâ â íåãî âторое урàâнение, получим

d2Udx2 = ( R + jwL)(G + jwC )U. Ââåäя обознàчение

331

g =

,

(13.4)

( R + jwL)(G + jwC )

перепишем это урàâнение â âèäå

d2U

2

- g

U

= 0.

(13.5)

dx

2

Корни хàðàктеристическоãî óðàâнения p2

g 2 =0 ðàâíû p1,2 =

= ± g . поэтому

общее

решение

äифференциàëüíîãî óðàâнения

(13.5) äëÿ íàпряжения â точке õ èùåì â âèäå

U

= A e−γx + A

eγx.

(13.6 a)

x

1

2

Èç ïåðâîãî óðàâнения системы (13.3) имеем

Ix = -

1

dU x

=

g

(

A e−γx - A

eγx ). (13.6 á)

R + jwL dx

R + jwL

1

2

Ââåäÿ åùå îäно обознàчение

= R + jwL

Zâ

=

R + jwL

,

(13.7 a)

g

G + jwC

çàпишем решение äëÿ òîêà â точке õ â форме

Ix

=

1

( A e

−γx - A

eγx ).

(13.7 á)

Zâ

1

2

Постоянные интеãðèðîâàíèÿ A1 è A2 можно нàéòè èç íà÷àльных

óñëîâèé: ïðè õ = 0 Ux = U1 è Ix = I1, ãäå U1 è I1 íàпряжение и ток â íà÷àле линии. Тоãäà èç (13.6 à è á) äëÿ õ = 0:

U1 = A1 + A2; ü

I1Zâ = A1 - A2.ýþ

Îòêóäà

A1 = (U1 + I1Zâ )2; A2 = (U1 - I1Zâ )2.

Ïîäñòàíîâêà полученных знàчений постоянных интеãðèðîâàíèÿ â (13.6) äàåò ñëåäующие урàâнения äëÿ îïðåäеления нàпряжения Ux è òîêà Ix â произâольной точке õ äлинной линии

U x

Ix

U

+ I

Z

−γx

U

− I

Z

γx

=

1

1

â

e

+

1

1

â

e

;

2

2

(13.8)

U

+ I

Z

−γx

U

- I

Z

γx

=

1

1

â

e

-

1

1

â

e

.

2Zâ

2Zâ

Ýòî åñòü óðàâнения переäà÷è îäíîðîäíîé äлинной линии. Ïà- ðàметры g è Zâ получили нàçâàíèå коэффициентà ðàспрострà-

Ïðè àíàëèçå ðàáîòû äлинной линии поä U è I â äàльнейшем буäем понимàть их комплексные àмплитуäû (áåç ââåäåíèÿ èíäåêñà: Um è Im).

332

нения и âîëíîâîãо сопротиâления линии. Их физический смысл буäåò ðàссмотрен позже.

Если учесть, что

( eγx + e−γx )2 = ch gx è ( eγx - e−γx )2 = sh gx,

òî óðàâнения переäàчи (13.8) можно переписàòü â более компàктной форме:

U

x =

U

1 ch gx - I1Zâ sh gx;ü

U1

ï

(13.9 a)

I

= -

sh gx + I

ch gx.

ý

x

1

ï

Zâ

þ

В конце линии x = l è Ux = U2, Ix = I2. Óðàâнения (13.9 à)

примут âèä

U

2 =

U

1 ch gl - I1Zâ sh gl;ü

U1

ï

(13.9 á)

I

= -

sh gl +

I

ch gl.

ý

2

1

ï

Zâ

þ

Ðàçðåøàя эту систему урàâнений относительно нàпряжения U1

è òîêà I1 â íà÷àле линии, получàåì

U

1 =

U

2 ch gl + I2 Zâ sh gl;ü

U

ï

(13.9 â)

I

=

2

sh gl + I

ch gl.

ý

1

2

ï

Zâ

þ

Ýòè óðàâнения соâïàäàþò ñ èçâестными нàì óðàâнениями переäà÷è (12.35) äля симметричноãо четырехполюсникà ïðè g l = Ãñ è Zâ = Zñ, ÷òî âполне понятно, тàê êàк линия сâÿçè ïðåäñòàâляет собой симметричный четырехполюсник.

13.3. Падающие и отраженные волны

Обознà÷èì â óðàâнениях переäà÷è (13.8) Uï = (U1 + I1Zâ)/2 è U0 = (U1 I1Zâ)/2. С учетом этих обознàчений зàïèñü óðàâнений переäà÷è îäíîðîäíîé äлинной линии упростится и буäет иметь âèä

U

x

= U

e

−γx + U

e

γx = U

x ïàä

+ U

x îòð

;

ï

0

(13.10)

U

U

I

x

=

ï

e−γx -

0

eγx = I

x ïàä

+ I

x îòð

,

Zâ

Zâ

ãäå

U

x ïàä

= U

e

−γx; U

x îòð

= U

eγx

;

ï

0

I

=

U

ï

e

−γx; I

= -

U

0

eγx.

x ïàä

x îòð

Zâ

Zâ

333

Íàпряжение и ток состоят из сумм äâóõ ñëàãàåìûõ. Ïåðâûå ñëàãàемые уменьшàþòñÿ ñ óâеличением рàсстояния от нà÷àëà линии õ, âторые âîçðàñòàþò. Ñîçäàåòñÿ âïå÷àтление о сущестâîâàíèè â линии äâóõ òèïîâ âîëí: ïàäàþùåé è îòðàженной. Чтобы убеäиться â ýòîì, ðàссмотрим мãíîâенные знàчения нàпряжения и токà.

Помня, что â (13.10) âñå âеличины â общем случàе комплексные

Uï = Uï e jϕï ; U0 = U0 e jϕ0 ;

g = ( R + jwL)(G + jwC ) = a + jb;

Zâ = ( R + jwL)(G + jwC ) = Zâ e jϕâ ,

можно по изâестным прàâèëàм (см. § 3.2) перейти от (13.10) äля комплексных знàчений к урàâнениям переäà÷è äëÿ ìãíîâенных знàчений нàпряжений и токоâ. Для простоты положим jï = j0 = 0.

Òîãäà

ìux (t ) =

U

ï

e−αx sin ( wt - bx ) +

U

0

eαx sin ( wt + bx ),

ï

U

U

).(13.11)

íi

(

t

) =

ï

e−αx sin ( wt - bx - j

) -

0

eαx sin ( wt + bx - j

â

â

ï

x

Zâ

Zâ

î

Ïðîàíàлизируем снà÷àëà ïåðâûå ñëàãàåìûå ýòèõ óðàâнений, которые обознà÷èì

ìux ïàä (t ) =				U		ï			e−αx sin ( wt - bx ),
ï	U									(13.12)
í					ï				e−αx sin ( wt - bx - jâ ).
ïix ïàä (t ) =
			Zâ
î

 êàæäом сечении линии (т. е. â êàæäой точке õ) колебàíèÿ íàпряжения и токà ÿâляются ãàрмоническими. Амплитуäà этих колебàний уменьшàåòñÿ ïî ìåðå óäàления от нà÷àëà линии по зà- êîíó å αõ.  êàæäой послеäующей точке линии колебàíèÿ îòñòàþò ïî ôàзе от колебàíèé â ïðåäûäущей точке (нà ýòî óêàçûâàåò çíàк «минус» переä bõ).

Åñëè â момент âремени t1 ñäåëàòü ôîòîãðàôèþ ðàñïðåäеления,

íàпример, нàпряжения ux ïàä âäоль линии, то онà áóäет иметь âèä êðèâîé 1 (ðèñ. 13.3). Â ñëåäующий момент t2 ôàçà íàпряжения â

êàæäой точке линии изменится нà âеличину w (t2 t1), è âñÿ êàð- òèíà êàк бы сместится âäîëü îñè õ âïðàâî (êðèâàÿ 2 íà ðèñ. 13.3). Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ áóäåò íàáëþäàòüñÿ è â момент âремени t3 > t2 (êðèâàÿ 3 íà ðèñ. 13.3).

Åñëè ñäåëàть послеäîâàтельно ряä ìãíîâенных фотоãðàôèé è çàтем их проецироâàòü íà ýêðàí, òî ñîçäàåòñÿ âïå÷àтление äâижущейся âîëíû íàпряжения âäîëü öåïè. Ôàктически же âäîëü öåïè ðàспрострàняется состояние рàâíîé ôàçû. Íàпример, можно âзять точку цепи õ1, ñîîòâåòñòâующую мàксимуму нàпряжения â момент âремени t1 (òî÷êà À íà ðèñ. 13.3) è îïðåäелить скорость ее пере-

334

мещения. Скорость рàспрострàнения âäоль цепи состояния рàâíîé ôàçû íàçûâàåòñÿ ôàçîâой скоростью рàспрострàнения.

В момент âремени t1 â точке õ1 имеется опреäеленное фàçîâое состояние wt1 bõ1. Ýòî æå ôàçîâое состояние буäåò íàáëþäàòüñÿ â точке õ2, íî óæå â момент âремени t2: wt2 bõ2. Ïðèðàâíèâàÿ èõ

получàåì wt1 bõ1 = wt2 bõ2.

Ôàçîâую скорость рàспрострàнения (км/с) нàéäåì êàк отношение рàсстояния õ2 õ1, ïðîéäåííîãо точкой A, êî âремени t2 t1:

vô = ( x2 - x1 )(t2 - t1 ) = wb.

Òàêèì îáðàçîì, óðàâнения (13.12) описыâàþò âîëíû íàпряжения и токà, ðàспрострàняющиеся от нà÷àëà к концу линии. Тàêèå âîëíû íàçûâàþòñÿ ïàäàющими.

Îáðàтимся ко âторым слàãàåìûì âûðàжений (13.11), которые обознà÷èì

u

x îòð

(t ) =

U

0

eαx sin ( wt + bx ),

ü

ï

U

0

eαx sin ( wt + bx - jâ ).ïý

ix îòð (t ) = -

Zâ

þ

Ýòè ñëàãàåìûå

описыâàþò

âолны точно тàêîãî

æå õàðàêòåðà,

êàê è ïàäàþùèå, íî ðàспрострàняющиеся â îáðàòíîì íàïðàâлении, т. е. от концà линии к нà÷àëó. Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ îòðàженными âîëíàìè íàпряжения и токà. Амплитуäû îòðàженных âîëí óáûâàþò îò êîíöà линии к нà÷àëó, íàибольшàÿ àмплитуäà íàáëþ- äàåòñÿ â конце линии.

 ñîîòâåòñòâèè ñ ðàссмотренной кàртиной можно скàçàòü, ÷òî â óñòàíîâèâшемся режиме ãàрмонических колебàíèé íàпряжение и ток â любой точке линии склàäûâàþòñÿ èç ïàäàþùèõ è îòðàæåí-

íûõ âîëí íàпряжения и токà, ò. å. ux = ux ïàä + ux îòð; ix = ix ïàä + + ix îòð. Îòðàженные âîëíû âозникàþò â конце линии.

Îïðåäелим соотношения межäó ïàäàющими и отрàженными âîëíàìè â конце линии. Полàãàÿ â (13.10) x = l и обознà÷àÿ íà- пряжение и ток â конце линии U2 è I2, получàåì U2 = U2 ïàä +

Ux ïàä	1	2	3	U ï	e −αx
	À À
0	x1 x2	x3			x

Ðèñ. 13.3

335

+ U2 îòð; I2 = I2 ïàä + I2 îòð. Ýòè ðàâåíñòâà â ñîîòâåòñòâии с обознà- чениями, принятыми â (13.10), и с учетом тоãî, ÷òî U2 = I2 Zí

(Zí сопротиâление нàãрузки линии), можно переписàòü ñëåäующим обрàçîì:

I2 Zí = U2ïàä + U2îòð; I2 Zâ = U2ïàä − U2îòð.

Ñêëàäûâàÿ ýòè ðàâåíñòâà è âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî âторое, имеем:

U		2ïàä	= I	2	Zí + Zâ			è
					2
U		2îòð	= I	2	Zí − Zâ	.
					2

Отношение комплексной àмплитуäû îòðàженной âолны к комплексной àмплитуäå ïàäàþùåé âîëíû íàçûâàåòñÿ коэффициентом отрàжения по нàпряжению:

σ

=

U

2îòð

=

Z

í

− Z

â

.

(13.13)

u

U

2ïàä

Zí + Zâ

Îòñþäà

U2îòð = σuU2ïàä.

Коэффициент отрàжения по нàпряжению покàçûâàåò, êàêóþ ÷àñòü àмплитуäû ïàäàþùåé âîëíû â конце линии состàâëÿåò àмплитуäà îòðàженной âолны. Амплитуäà îòðàженной âîëíû òîêà

I

= −

U

2 îòð

= −σ

U

2 ïàä

= −σ

I

.

2 îòð

2 ïàä

u

Z

u

Z

â

â

 òî æå âðåìÿ I2 îòð = σi I2 ïàä, ãäå σi

коэффициент отрàæå-

íèÿ ïî òîêó. Îòñþäà âèäíî, ÷òî σi

= σu , т. е. коэффициент от-

ðàжения по току рàâåí ïî çíàчению и протиâоположен по знàку коэффициенту отрàжения по нàпряжению.

Ðàссмотрим некоторые чàстные режимы рàботы линии. Если линия зàмкнутà íàкоротко нà конце (короткое зàìûêàíèå (ÊÇ)), ò. å. Zí = 0, то коэффициент σu = 1, à коэффициент σi = 1. Ïà- äàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû íàпряжения â конце линии имеют рàâíûå àмплитуäû è ñäâинуты по отношению äðóã ê äðóãó íà 180°. Амплитуäà результирующей âîëíû íàпряжения â конце линии бу- äåò ðàâíà íóëþ. Â òî æå âðåìÿ ïàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû òî- êà áóäут иметь рàâíûå àмплитуäû, ÷òî ïðèâåäåò ê óâеличению токà â конце короткозàмкнутой линии.

При холостом хоäå (XX) â конце линии Zí = ∞ коэффициент σu = 1 è σi = 1, ò. å. êàðòèíà изменится нà протиâоположную: ток â íàãрузке буäåò ðàâåí íóëþ, à íàпряжение уâеличится âäâîå. Ñëó÷àé, êîãäà Zí = Zâ , ðàссмотрен ниже.

336

13.4. Вторичные параметры однородной линии

Волновое сопротивление. Îäíèì èç âторичных пàðàметроâ îä- íîðîäной линии яâляется âîëíîâое сопротиâление линии, опреäе- ляемое через перâичные пàðàметры формулой (13.7)

Zâ = ( R + jω L)(G + jωC ).

Ïðè ω = 0 Zâ = ρâ = RG è ϕâ = 0, ò. å. âîëíîâое сопротиâление чисто àêòèâное. Точно тàêîé æå õàðàктер имеет Zâ ïðè ω → ∞:

Zâ = ρâ = LC, ϕâ = 0.

Äëÿ âñåõ ðåàльно сущестâующих цепей R / G > L / C, поэтому моäóëü âîëíîâîãо сопротиâëåíèÿ ñ óâеличением чàстоты уменьшà- ется, стремясь к âеличине LC . Óãîë ϕâ изменяется от нулеâîãî çíàчения при ω = 0 äî íóëåâîãî çíàчения при ω → ∞. Ñëåäîâàтельно, нà êàêîé-òî ÷àстоте он буäет иметь мàксимум. Можно покàçàòü, ÷òî óãîë ϕâ íà âñåõ ÷àñòîòàõ ÿâляется отрицàтельным. Нà ðèñ. 13.4 ïîêàçàíû ãðàôèêè ÷àстотных зàâисимостей моäóëÿ è óãëà âîëíîâî- ãо сопротиâления оäíîðîäной линии.

Чтобы âыяснить физический смысл âîëíîâîãо сопротиâления, âоспользуемся âûðàжениями äля комплексных àмплитуä ïàäàþùèõ âîëí íàпряжения и токà èç (13.10):

U

=

U

1 + Zâ I1

e−γx

(13.14)

x ïàä

è

2

U

1 + Zâ I1

I

=

e−γx.

x ïàä

2Zâ

Из этих отношений слеäóåò, ÷òî Zâ = U x ïàä

Ix ïàä , ò. å. âîëíîâîå

сопротиâление линии âûðàæàет соотношение межäó àмплиту-

äàìè è ôàçàìè íàпряжения и токà ïàäàþùåé âîëíû â любой точке линии. Ïðè ýòîì

|Z â|
R G
L C
0	x
ϕâ
	Ðèñ. 13.4

337

U

x ïàä

e jϕux ïàä

U

x ïàä

j(ϕux ïàä −ϕix ïàä )

jϕ

Z

â

=

=

e

=

Z

â

e

â ,

îòêóäà

Ix ïàä

e jϕix ïàä

Ix ïàä

Zâ

=

U

x ïàä

è ϕâ = ϕux ïàä − ϕix ïàä.

Ix ïàä

Zâ = −U x îòð Ix îòð .

Àíàëîãичным обрàзом можно скàçàòü, ÷òî

Волноâое сопротиâление не зàâèñèò îò äлины линии

îíî ïî-

стоянно â любой точке линии.

Пример. Îïðåäåëèì âîëíîâое сопротиâление âîçäушной меäной линии из проâîäîâ äèàметром 2r = 4 ìì è ðàсстоянием межäó ïðîâîäàìè lïð = 20 ñì è êàбельной линии с бумàжной изоляцией жил äèàметром 2r = 0,5 ìì íà ÷àñòî- òàõ f = 0; 0,8 è 10 êÃö äëÿ âîçäушной цепи и f = 0 è 0,8 êÃö äëÿ êàбельной цепи.

Äëÿ âîçäушной линии перâичные пàðàметры, âзятые из спрàâочникà: R = = 2,84 Îì/êì; Ñ = 6,3 íÔ/êì; L = l,93 ìÃí/êì; G = 0,57 × 10 Ñì/êì.

Ïðè f = 0 Zâ = RG =2,38 êÎì. Ïðè f = 800 Ãö (w = 2p 800 ðàä/ñ)

					2,84 + j2p × 800 ×1,93 ×10−3
	Zâ =	R + jw L	=				= 564e j7,4° Îì.
		G + jwC			0,57 ×10−6 + j2p × 800 × 6,3 ×10−9

Íà ÷àстоте f = 10êÃö wL ? R è wC ? G, поэтому Zâ = LC = 548 Îì. Äëÿ êàбельной линии: R = 190 Îì/êì, Ñ = 50 íÔ/êì, L = 0,7 ìÃí/êì,

G = 5 × 10 4 ìêÑì/êì. Íà ÷àстоте f = 0 Zâ =

= 615 êÎì. Äëÿ ÷àстоты

R G

f = 800 Ãö ñïðàâåäëèâо соотношение R ? wL è wC ? G. Ñëåäîâàтельно,

Zâ =

R

=

R

e

− j45°

=

870e

− j45°

Îì.

jwC

wC

Согласованное включение линии. Ðàссмотрим режим рàботы линии, коãäà Zí = Zâ.  ýòîì ñëó÷àе коэффициенты отрàжения σu = σi = 0 è îòðàженные âîëíû íàпряжения и токà áóäут отсут-

ñòâîâàòü (Ux îòð = 0 è Ix îòð = 0).

Íàпряжение и ток â любой точке линии, â том числе и нà âõî- äå (x = 0), áóäóò îïðåäеляться только пàäàющими âîëíàìè. Ñî-

ãëàñíî (13.14) Zâ = U1ïàä I1ïàä = U1 I1 = Zâx , ò. å. âõîäное сопротиâление тàкой линии рàâíî åå âîëíîâому сопротиâлению. Тà-

êèì îáðàçîì, âîëíîâое сопротиâление линии яâляется àíàëîãîì õàðàктеристическоãо сопротиâления симметричноãо четырехполюсникà.

Óêàçàнный режим рàботы линии яâляется режимом соãëàñî- âàííîãî âключения. При этом âñÿ ýíåðãèÿ ïîãëîùàåòñÿ â конце линии нàãрузочным сопротиâлением. Этот режим рàáîòû íàиболее âûãîäåí äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ ñâÿçè, òàê êàê îòðàжение энерãèè îò íàãрузки приâîäит помимо уâеличения рàáî÷åãî îñëàбления ли-

338

íèè ê ïîÿâлению тàê íàçûâàåìûõ ýõî-ñèãíàëîâ, íàêëàäûâàющихся нà îñíîâíîé ñèãíàë è èñêàæàþùèõ åãî.

Óðàâнения переäà÷è îäíîðîäной линии â режиме соãëàñîâàí- íîãî âключения моãóò áûòü ëåãко получены из (13.9 б и â), åñëè

учесть, что при соãëàñîâàííîì âключении U2 = I2 Zâ, U1 = I1Zâ , à òàêæå ÷òî ch gl + sh gl = e±γl :

U

=

U

2 e

γl

ü

U

=

U

1 e

−γl

ü

1

,ï

2

,ï

(13.15 à)

I

= I

eγl,

ý

I

= I

e−γl.

ý

1

2

ï

2

1

ï

þ

þ

Для любой точки линии

U

x

= U

1

e−γ x

è I

x

= I

1

e−γ x.

(13.15 á)

Коэффициент распространения. Êî âторичным пàðàìåòðàм линии относится тàкже коэффициент рàспрострàнения, ââåäенный â ðàссмотрение формулой (13.4):

g= ( R + jw L)(G + jwC ) = a + jb.

Âрежиме соãëàñîâàííîãî âключения линии из (13.15) имеем:

U1U x = I1Ix = eγ x èëè

U

1

e j( ϕu1 −ϕux ) =

I1

e j( ϕi1 −ϕix ) = eαx × e jβx.

U

x

Ix

Îòñþäà

U

I1

eαx =

1

=

è bx = ju1 - jux = ji1 - jix.

U

x

Ix

Для отрезкà линии еäиничной äëèíû (1 êì, 1 ì è ò. ä.) можно зàïèñàòü:

U

1

I1

a = ln

= ln

; b = ju1 - jux = ji1 - jix.

U

x

Ix

Вещестâåííàÿ ÷àсть коэффициентà ðàспрострàнения a хàðàктеризует изменение нàпряжения и токà ïî àбсолютной âеличине при рàспрострàнении энерãèè íà ðàсстояние, рàâíîå åäинице äлины линии. Онà íàçûâàåòñÿ коэффициентом ослàбления линии и измеряется â неперàх, отнесенных к еäинице äлины линии (â ïðîâîä- íîé ñâÿçè Íï/êì, â ðàäèîñâязи Нп/м). При использоâàíèè äесятичноãî ëîãàðèôìà âместо нàòóðàëüíîãî

a = 20lg U1U x = 20lg I1Ix

измеряется â äÁ/êì èëè äÁ/ì.

Ìíèìàÿ ÷àсть коэффициентà ðàспрострàнения b хàðàктеризуется изменением нàпряжения и токà ïî ôàçå. Îíà íàçûâàåòñÿ коэффициентом фàçû линии и измеряется â ðàä/êì èëè ðàä/м. Вместо рàäèàí ìîãут использоâàòüñÿ ãðàäóñû.

339

U1		e−αx
	Ux1 Ux2
		x	Ux4
		Ux3
		Ux3	Ux5
0	x1 x2	x3	U1
			Ux6
		Ux4
		Ux2	Ux1
		à)	á)
		Ðèñ. 13.5

Òàêèì îáðàзом, коэффициент рàспрострàнения линии γ õàðàк- теризует изменение нàпряжения и токà ïî àбсолютной âеличине и по фàçå ïðè ðàспрострàнении энерãèè íà ðàсстояние, рàâíîå åäè- íèöå äлины линии (1 км или 1 м) â óñëîâèÿõ ñîãëàñîâàííîãî âклю- чения линии.

Процесс изменения нàпряжения (токà) âäîëü ñîãëàñîâàííî íà- ãруженной линии можно проиллюстрироâàòü âекторной äèàãðàì- ìîé, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 13.5, à èëè òàê íàçûâàåìîé ñïèðàльной äèàãðàììîé, ïðèâåäенной нà ðèñ. 13.5, á.

Численные знàчения коэффициентоâ α è β можно нàéòè ïî ïåðâичным пà- ðàìåòðàм из общей формулы (13.4). Оäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ можно получить более простые âûðàжения. Тàê, íà âысоких чàñòîòàõ (äля электрической цепи из меäè, íàпример, это чàстоты 10 кГц), ãäå âыполняются услоâèÿ ωL > R è ωC > G, пользуются упрощенными формулàìè:

α ≈ R2 CL + G2 CL è β ≈ ω LC.

Âûâîä этих формул äàí â специàльной литерàòóðå è çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ. Äëÿ êàбельных цепей â îáëàсти низких чàñòîò (íàпример, от 0 äî 800 Ãö) âы- полняются соотношенèÿ R ? ωL è ωC ? G.  ýòîì ñëó÷àе можно покàçàòü, ÷òî α = β = ωCR2 . Вторичные пàðàметры α è β çàâèñÿò îò ÷àстоты сложным обрàçîì. Íà ðèñ. 13.6, à è á äàíû ãðàôèêè, êà÷åñòâåííî îòðàæàþùèå ýòó çàâисимость.

Пример. Îïðåäелим коэффициент рàспрострàнения âîçäушной меäной линии c пàðàìåòðàìè 2r = 4 ìì è lïð = 20 ñì íà ÷àстоте f = 800 Ãö.

Çíàчение коэффициентà γ íàéäем по полной формуле (13.4), âçÿâ ïåð- âичные пàðàметры из преäûäóùåãо примерà:

γ = ( R + jω L) (G + jωC ) =

340