Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

I1	R		Ií		i
+				+	Imax
U0		U	Rí	Uí
−				−	Imin
					0	Ucò	u
				Ðèñ. 10.41

16.Íà рис.10.41 изобрàæåíà âîëüò-àмпернàÿ õàðàктеристикà ñòà- билитронà нелинейноãо полупроâîäíèêîâîãо приборà, используемоãî äëÿ ñòàбилизàции постоянноãî íàпряжения нà âõîäå ïèòàåìîé öåïè. Íàéäèòå, â êàêèõ ïðåäåëàх может изме-

няться сопротиâление нàãрузки Rí при неизменном нàпряжении Uí = 6 Â, åñëè U0 = 12 Â, R = 100 Îì, U = 6 Â, Imax = = 50 ìÀ, Imin = 10 ìÀ.

Îòâåò: 120 Îì Rí 600 Îì.

17.Íàéäèòå âеличину сопротиâления R3 (рис. 10.42), при которой I = 3 ìÀ, åñëè U0 = 16 Â, R1 = R2 = 2 êÎì, I = (2U 1) ×10−3 À. Îïðåäелите â ðàбочей точке äифференциàльное и стàтическое сопротиâление нелинейноãо элементà.

Îòâåò: R3 = 1 êÎì, Rñò = 666,7 Îì, Rä = 364 Îì.

18.Íàéäèòå âîëüò-àмперную хàðàктеристику пàðàллельноãî ñîåäи- нения НЭ (рис. 10.43), если i1 = 0,02u2 À, i2 = 0,08u2 À. Îïðå- äелите âеличину R, при которой i = 0,4À, åñëè u0 = 6Â.

Îòâåò: R = 10 Îì.

19.Íàéäèòå òîêè è íàïряжения â öåïè (ðèñ. 10.44), åñëè U0 = 30 Â, I0 = 3 À, u1 = 10i1 Â, i2 = 0,01u22 Â.

Îòâåò: i1 = 1 À, u1 = 10 Â, i2 = 4 À, u2 = 20 Â.

20.Íàéäèòå òîêè è íàïðяжения â öåïè (ðèñ. 10.45), åñëè U01 = = U02 = 6 Â, u1 = 2i1 Â, u2 = 10i2 Â, R = 0,8 Îì.

Îòâåò: I1 = 1 À, I2 = 4 À, I3 = 5 À, U1 = U2 = 2Â, UR = 4 Â.

21.Примениâ интерполяционный метоä, àппроксимируйте ВАХ нелинейноãо резистиâíîãо элементà (рис. 10.45) полиномом âè-

äà i = a0 + a1u + a2u2 .

R1	R3	I		I	R				I1
+			+	+		I1	I2	+	+ U1 −+ I2
U0	R2		U	−	U0	U		−	U0 U2	I0
−			−						−
Ðèñ. 10.42					Ðèñ. 10.43				Ðèñ. 10.44

261

	I1	U1		U2	I2		i
							I2
+	+		−	−	+
						+
−		U01		R		U02	I1
				I3		−	I0
								U1	U2	u
							0
		Ðèñ. 10.45						Ðèñ. 10.46

Îòâåò: a0 = i0; a1 =

é

2

2

2

2

ù

ë -I0

(U2

- U1

) + I1U2

- I2U1

û D;

a

2

= é I

(U

2

- U

) - I U

- I U

ù D;

ë 0

1

1 2

2 1

û

D = éU U

(U

2

- U )

ù−1.

ë 1 2

1

û

22.Çàäàííóþ â âèäå òàблицы (Uk, Ik) ВАХ нелинейноãо резистиâ- íîãо элементà àппроксимируйте линейной функцией i = a1u.

Uk	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
Ik	0	0.26	0.54	0.72	0.93	1.1	1.18	1.28	1.36

Коэффициент à1 îïðåäелить метоäîì íàименьших кâàäðàòîâ.

Îòâåò: i = 1,94u.
23. Ïàäàþùèé ó÷àñòîê			ВАХ нелинейноãî					резистиâíîãо элементà
i = F(u) çàäàí òàблицей:
	Uk		0.2		0.25	0.3	0.35		0.4
	Ik		9.0		6.75	4.6	3.0		2.0

Аппроксимируйте хàðàктеристику нà отрезке [0.2; 0.4] линейной функцией i = a0 + a1u ìåòîäîì íàименьших кâàäðàòîâ.

Îòâåò: i = -35,3 + 15,7u.

ГЛАВА 11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

11.1. Нахождение реакции нелинейной резистивной цепи на заданное воздействие

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåàкции нелинейной электрической цепи с нелинейным äâухполюсником или четырехполюсником нà çàäàííîå âîçäåéñòâие можно использоâàòü ãðàфические построения. Стàти- ческие хàðàктеристики нелинейноãо приборà, ò. å. çàâисимость ме- жäó âîçäåéñòâèåì è ðåàкцией нà åãî âнешних зàæèìàõ äля режимà

262

постоянноãî òîêà, ñ÷èòàþòñÿ èçâестными. Ими моãóò áûòü, íàпример, âîëüò-àмпернàÿ õàðàктеристикà нелинейноãо резисторà, èëè çàâисимость межäу постоянными нàпряжениями нà âõîäå è âûõîäе нелинейноãо четырехполюсникà è äð. Ýòè õàðàктеристики нàõî- äÿòñÿ, êàê ïðàâèëî, â результàте измерений и преäñòàâляются â âèäå ãðàфических зàâисимостей, что и опрàâäûâàет использоâàíèå ãðàфических метоäîâ решения рàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.

 îñíîâå ìåòîäà лежит преäположение о том, что â любой момент âремени реàкция нелинейноãо приборà íà ïîäâåäенное к нему âîçäåéñòâèå áóäåò òàêîé æå, êàê è åãî ðåàêöèÿ íà постоянное âîç- äåéñòâèå òîé æå âеличины. Иными слоâàìè, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîäåëü àíàлизируемой цепи яâляется моäелью резистиâной электрической цепи. Ниже нà примере рàññìàòðèâàåòñÿ ìåòîäèêà ãðà- фическоãî íàõîæäåíèÿ ðåàкции нелинейноãо приборà ñ îäíîçíà÷- íîé õàðàктеристикой нелинейности.

Ðàссмотрим зàâисимость постоянноãî íàпряжения U2 íà âûõîäе нелинейноãо четырехполюсникà от постоянноãî íàпряжения U1,

ïîäâåäåííîãî ê åãî âõîäó. Åå ãðàôèê U2 = U2(U1) ïîêàçàí ïà ðèñ. 11.1. Íà этом же рисунке, приâåäåí ãðàôèê âîçäåéñòâèÿ u1(t).

Îí ïîâернут нà óãîë π/2 ïî ÷àñîâой стрелке по срàâнению с общепринятым ãðàфическим изобрàжением функции âремени. Возäåéñòâèå â примере тожäåñòâåííî ðàâíî íóëþ âне интерâàëà 0 < t < T, âнутри котороãо оно описыâàется функцией u1(t) = Um sin(2πt/T).

В момент âремени t = t1 êî âõîäу нелинейноãо приборà, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 11.1, ïîäâîäèòñÿ íàпряжение u1(t), ò. å. ïðè t = t1: U1 = u1(t1). Íàпряжение нà åãî âûõîäе, которое нàõîäèòñÿ ïî

ãðàôèêó U2(U1), ò. å. íàпряжение U2 ïðè U1 = u1(t1) è áóäåò íà- пряжением реàêöèè u2(t1) нелинейноãî ïðè6oða â момент âремени

U2
0	U1

0
t	u1
1
t
2
t
3	t
	4
T	t
	Ðèñ. 11.1

u2
	t4
0 t1 t2 t3	T	t

263

u2						t1. Çíàчение реàкции отложено		íà ãðàôèêå
						u2(t), ïðèâåäенном нà том же рисунке. Отсчет-
						íûå çíàчения u1(t1)	è u2(t1) ñîåäинены нà
						рис. 11.1 штрихоâîé	линией. Анàëîãичные по-
0			T	t
						строения приâåäåíû íà рисунке и äëÿ òðåõ äðó-
						ãих моментоâ âремени t = t2, t = t3, t = t4. Â
						результàòå ïîäобных	построений	è íàõîäèòñÿ
		Ðèñ. 11.2				ãðàôèê ðåàêöèè u2(t).
						Сопостàâление ãðàôèêîâ âîçäåéñòâèÿ u1(t) è

ðåàêöèè u2(t), ïðèâåäенных нà ðèñ. 11.1, ïîêàçûâàет, что они отличàþòñÿ äðóã îò äðóãà формой. Слеäîâàтельно, â ðàññìàòðèâàе- мой нелинейной электрической цепи произошло искàжение формы реàêöèè ïî ñðàâнению с формой âîçäåéñòâия, обуслоâленное нелинейностью хàðàктеристики используемоãо нелинейноãо приборà. Èç òåõ æå ãðàôèêîâ ñëåäóåò, ÷òî óêàçàííûå èñêàжения уменьшàются с уменьшением àмплитуäû âîçäåéñòâèÿ è äëÿ ëþáîãî t ïðè óñëîâèè | u1(t)| < u1(t1), çàâисимость реàêöèè îò âîçäåéñòâèÿ áóäет близкà к линейной. Итàê, àíàлизируемую цепь â ðÿäå ñëó÷àåâ можно рàñ- ñìàòðèâàòü êàк линейную электрическую цепь и с тем большим осноâàнием, чем меньше àмплитуäà âîçäåéñòâèÿ. Íàоборот, с уâели- чением àмплитуäû âîçäåéñòâèÿ çàметнее отличия формы реàкции от формы âîçäåéñòâèÿ.  ÷àстности, знàчение реàêöèè u2(t) ïî àб- солютной âеличине прàктически не зàâèñèò îò âîçäåéñòâèÿ, åñëè

(ñì. ðèñ. 11.1) | u1(t)| > u1(t2), à ïðè | u1(t)| ? u1(t2) ðåàкция принимàåò âèä äâóõ òðàпецеиäàльных импульсоâ ðàзличной полярно-

ñòè. Åå ãðàôèê ïîêàçàí íà ðèñ. 11.2.

Èñêàжение формы реàкции относительно формы âîçäåéñòâèÿ ñâîéñòâенно электрическим цепям и с äðóãèìè õàðàктеристикàми нелинейности, отличàющимися от рàссмотренных â примере, â том числе и мноãîçíàчными. Вместе с тем â ðàññìàòðèâàемых резистиâных нелинейных цепях не искàæàåòñÿ ôîðìà âîçäåéñòâèÿ â âèäе импульсà прямоуãольной формы, ãðàфик котороãî ïðèâåäåí íà ðèñ. 11.3. Çäесь нелинейность прояâляется â отсутстâии прямой пропорционàльности межäó àмплитуäàìè ðåàêöèè è âîçäåéñòâèÿ, à при больших àмплитуäàõ âîçäåéñòâèÿ â íåçàâисимости их äðóã îò äðóãà.

u, i						Естестâåííî, ÷òî åñëè õàðàктеристикà нелинейно-
						ñòè çàäàíà àíàлитически, то реàкция нелинейноãî
	A
						приборà íà çàäàííîå âîçäåéñòâие может быть нàéäå-
						íà è â результàте численноãо решения нелинейноãî
						óðàâнения, сâÿçûâàþùåãî ìãíîâенные знàчения ре-
	0		tu t
						àêöèè è âîçäåéñòâèÿ â âûáðàííîé ñîâокупности äèñ-
Ðèñ. 11.3						кретных моментоâ âремени.

264

	11.2. Режим малых колебаний в нелинейных
	электрических цепях
	Линейные функционàльные узлы соâременной рàäиоэлектрон-
	íîé àïïàðàòóðû, â ÷àстности, усилители сàìîãî ðàзнообрàçíîãî íà-
	çíàчения, соäåðæàт то или иное число, чàñòî âåñüìà çíàчительное,
	òðàнзистороâ, îïåðàционных усилителей и äðóãих полупроâîäíè-
	êîâых или электронных прибороâ. Ìåæäó òåì õàðàктеристики пе-
	речисленных прибороâ â широком интерâàле изменения âîçäåéñò-
	âий относятся к числу нелинейных.
	Óáåäèìñÿ â принципиàльной âозможности			построения цепей
	(äâухполюсникоâ, четырехполюсникоâ, ìíîãополюсникоâ) ñ ëè-
	нейными (близкими к линейным) хàðàктеристикàìè, õîòÿ â èõ ñî-
	ñòàâе имеются приборы с нелинейными хàðàктеристикàìè.
	Ðàññìàòðèâàåìûå àêòèâные цепи с полупроâîäíèêîâûìè èëè
	электронными приборàìè ñîäåðæàт источники постоянноãî íàïðÿ-
	жения, необхоäèìûå äëÿ «ïèòàния» этих прибороâ. При отсутст-
	âèè äðóãèõ âîçäåéñòâèé â öåïè óñòàíàâëèâàется режим постоянноãî
	òîêà. Â ðàññìàòðèâàемых цепях рàбочие точки (см. § 10.2 и § 10.3)
	ðàñïîëàãàþòñÿ íà òåõ ó÷àñòêàõ õàðàктеристик, â ïðåäåëàх которых
	послеäíèå ìîãóò ñ÷èòàться линейными. Нà ðèñ. 11.4 ýòî òî÷êà ñ
	êîîðäèíàòàìè U0, I0. Òàêèå ó÷àñòêè âñåãäà можно âûäелить нà õà-
	ðàктеристикàх прибороâ.
	Выбор рàбочей точки â êàæäом из используемых нелинейных
	прибороâ îïðåäеляет и рàбочие учàñòêè õàðàктеристик этих прибо-
	ðîâ, Çäåñü ïîä ðàбочим учàстком нелинейной хàðàктеристики по-
	íèìàåòñÿ òîò åå ó÷àñòîê, âêëþ÷àþùèé ðàбочую точку, â ïðåäåëàõ
	котороãî õàðàктеристикà может быть àппроксимироâàíà îäíîé
	прямой. Обычно рàáî÷àÿ òî÷êà ðàñïîëàãàåòñÿ â ñåðåäèíå ðàáî÷åãî
	ó÷àñòêà õàðàктеристики.
	Пусть, äàëåå, ê öåïè ïîäâåäåíî âîçäåéñòâèå u0(t), изменяющее-
	ся по любому зàêîíó, òàкое, при котором нàпряжения (токи) â íå-
	линейных устройстâàõ öåïè íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû èõ ðàбочих
	ó÷àñòêîâ. Ðåàêöèÿ öåïè íà ðàññìàòðèâàåìîå âîçäåéñòâèå âûðàæà-
	åòñÿ â изменениях (прирàщения х) нàпряжений и токоâ â устрой-
	ñòâàõ öåïè ïî ñðàâнению с их знàчениями â режиме постоянноãî
	òîêà.	uk(t) è òî-		i
	Ïðèðàщения нàпряжений
	êîâ ik(t) â ê−é âåòâè öåïè (k=1, 2, ...,		I0 +	i
	n) ñâÿçàíû ìåæäу собой линейными со-			I0
	отношениями â силу линейности исполь-
			I0 −	i
	зуемых рàбочих учàñòêîâ õàðàктеристик
	нелинейных прибороâ è, ñëåäîâàтельно,			0 U0+ u U0 U0 − u u
	по отношению к укàçàííûì ïðèðàщениям
	цепь может рàññìàòðèâàòüñÿ	êàк линей-		Ðèñ. 11.4
				265

R

R

íàя. Постоянные же нàпряже-

+

ния и токи обуслàâëèâàþò íå-

u (t)

+

îáõîäимый режим рàáîòû íå-

0

линейных прибороâ,

èõ ðà-

u (t)

R

ÍÝ

ä

0

бочие точки. В сâÿçè ñ ýòèì íà

E

ñõåìàõ çàмещения нелинейных

цепей, используемых кàê ëè-

à)

á)

нейные, цепи постоянноãî òî-

Ðèñ. 11.5

êà не изобрàæàþòñÿ, à ïðèðà-

щения нàпряжений

è òîêîâ

относительно их нà÷àльных знàчений, обуслоâленные приложенным к цепи âнешним нàпряжением (током), нàçûâàются просто нàпряжениями и токàми и обознà÷àþò èõ ñîîòâåòñòâующими строчными

áóêâàìè uk(t), ik(t).

Ðàссмотрим простейший пример. Нà ðèñ. 11.5, à ïðèâåäåíà ñõå- ìà öåïè, ñîäåðæàщей нелинейный резистиâный элемент, источник постоянноãî íàпряжения Å, линейный резистор с сопротиâлением R и источник с зàäàþùèì íàпряжением u0(t). Ðàáî÷àÿ òî÷êà нелинейноãо резисторà íàõîäèòñÿ òàê, êàк это изложено â § 10.2. Ïðè- ðàщения нàпряжения Du è òîêà Di íà âнешних зàæèìàх нелинейноãо резисторà ñâÿçàны соотношением Di = GäDu, åñëè âîëüò- àмпернàÿ õàðàктеристикà нелинейноãо резисторà может считàться линейной â окрестности еãî ðàбочей точки. Дейстâительно, при этом услоâии отношение Di/Du не отличàåòñÿ îò åãî ïðåäåëà ïðè Du Þ 0, ò. å. îò äифференциàльной проâîäимости нелинейноãо резисторà â åãî ðàбочей точке. Поэтому послеäний можно зàменить â схеме зàмещения àíàлизируемой цепи линейным резистором с про- âîäимостью Gä.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì íà ðèñ. 11.57, á изобрàæåíà ñõåìà линейной электрической цепи, приãîäíàÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåàêöèè èñõîäíîé öåïè íà âîçäåéñòâèå u0(t).

Линейность хàðàктеристик цепей с нелинейными полупроâîä- íèêîâыми и электронными приборàми может быть сущестâåííî ïîâûøåíà çà счет применения ряäà схемных решений (отрицà- тельнàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü, äâóõòàктное âключение нелинейных прибороâ è äð.).

Нелинейные электрические цепи, у которых при оãðàниченных по âеличине âîçäåéñòâèÿõ ðåàêöèè ÿâляются линейными функциями âîçäåéñòâèÿ, ÷àñòî íàçûâàþò нелинейными электрическими цепями â режиме мàлых колебàíèé. Ìàëûìè îíè íàçûâàются потому, что по àбсолютной âеличине не моãóò âûõîäèòü çà ïðåäелы линейных учàñòêîâ âîëüò-àмперных хàðàктеристик используемых нелинейных прибороâ. Термин этот услоâен, поскольку äля решения зàäàч техники рàäèîñâязи используются нелинейные цепи â режиме мàлых колебàний с мощностями сиãíàëîâ â äесятки и сотни килоâàòò.

266

	Хорошим примером использоâàíèÿ
	приборà с нелинейной âîëüò-àìïåð-	i (t)	G	Gä Gí	u(t)
	íîé õàðàктеристикой äля линейноãî
		0
	усиления сиãíàëîâ â режиме мàëûõ
	колебàний может служить усилитель
	íà туннельном äèîäе. ВАХ послеä-		Ðèñ. 11.6
	íåãî áûëà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 10.1.
	Èäåàлизироâàííàÿ ñõåìà çàмещения усилителя, рàññìàòðèâàåìîãî
	êàк резистиâíàя электрическàя цепь, изобрàæåíà íà ðèñ. 11.6. Íà
	íåé ïîêàçàны источник усилиâàåìîãî ñèãíàëà ñ çàäàющим током
	i0(t) è âнутренней проâîäимостью G, ïðîâîäимость нàãрузки Gí è
	туннельный äèîä. Ðàáî÷àÿ òî÷êà äèîäà âûáèðàåòñÿ íà íèñïàäàþ-
	ùåì ó÷àñòêå åãî âîëüò-àмперной хàðàктеристики (см. рис. 10.1, â),
	äëÿ ÷åãî â усилителе имеются цепи питàíèÿ äèîäà от источникà ïî-
	стоянноãî íàпряжения, не покàçàííûå íà схеме.
	Пусть нàпряжение сиãíàëà íà çàæèìàõ äèîäà íå áóäåò âûõîäèòü
	çà ïðåäелы линейноãî ó÷àñòêà åãî âîëüò-àмперной хàðàктеристики
	â окрестности рàбочей точки. Дифференциàëüíàÿ ïðîâîäимость Gä
	äèîäà â åãî ðàбочей точке отрицàтельнà è ïðè ñäåëàííûõ äопуще-
	ниях может считàться постоянной, т. е. Gä < 0 è Gä = const. Ïðè
	ýòîì íàпряжение сиãíàëà, ðàçâèâàåìîå íà çàæèìàõ íàãрузки

	u (t ) =	i ( t )
		0
		G + Gí + Gä

áóäåò, âî-ïåðâых, линейно сâÿçàíî ñ çàäàющим током i0(t) источ- никà ñèãíàëîâ, è, âî-âторых, при Gä < 0 ïðåâûøàть то, которое

áûëî áû â отсутстâèè äèîäà, ò. å. ïðè Gä = 0.
Âîçðàñòàåò			è ìãíîâåííàÿ					мощность сиãíàëà		â íàãрузке
p ( t ) = i2	(t ) G	í	(G + G	í	+ G	ä	)2	.Îáà послеäíèõ	соотношения и
0									â	ðàññìàòðèâàå-
ñâèäетельстâуют о линейном усилении сиãíàëà

мой цепи. Естестâенно, что эффект усиления обуслоâëåí ââåäå- íèåì â öåïü ýíåðãии от источникà ïèòàния туннельноãî äèîäà. Послеäíèé ëèøü óïðàâëÿåò ðàñõîäîì ýíåðãии источникà ïèòàíèÿ â точном соотâåòñòâии с изменением сиãíàëà âî âремени. Усилители нà туннельных äèîäàх применяются â технике сâåðõâысоких чàñòîò.

11.3. Воздействие гармонического колебания на нелинейный резистивный элемент

Постановка задачи анализа. Пусть к нелинейному резистиâному элементу поäâåäåíî ãàрмоническое колебàíèå Um cos ( ωt + ϕ ) и постоянное нàпряжение смещения U0, т. е. пусть u = U0 + Um cos ( ωt + ϕ ). Òîê â элементе может быть нàéäåí ïî âîëüò-àмперной хàðàктеристике элементà i = F(u) è ÿâляется функцией âремени i(t).

267

Ãðàôèê òîêà i(t) может быть нàéäен с помощью простейших построений, которые иллюстрируются нà ðèñ. 11.7. Äàííûå ýòîãо рисункà ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåàêöèÿ i(t) è âîçäåéñòâèå u(t) ìîãут сущестâенно отличàться по форме.

Èñêàжения формы сиãíàëà, обуслоâленные нелинейностью хà- ðàктеристик электрической цепи, нàçûâàþòñÿ нелинейными искà- жениями.

Ïðè âîçäåéñòâèè u = U0 + Um cos ( ωt + ϕ ), ïîäâåäенном к нелинейному элементу, ток i(t) â элементе буäет периоäической функ-

öèåé âремени, которàя может быть преäñòàâëåíà ðÿäом Фурье â форме (5.9) :

	∞
i(t) =	I0 + å Imk cos (kωt + kϕ ).	(11.1)

k=1

Ñëåäîâàтельно, ток â нелинейном элементе соäержит постоянную состàâляющую I0, ãàрмоническое колебàíèå ñ ÷àстотой ω è íà÷àльной фàçîé ϕ âîçäåéñòâèÿ è ãàрмонические колебàíèÿ ñ ÷àñòîòàìè, êðàтными чàстоте âîçäåéñòâèÿ (ãàрмоники колебà- íèÿ). Íà÷àльные фàçû ãàрмоник крàòíû íà÷àльной фàçå âîçäåéñòâèÿ.

Ïîÿâление ãàрмоник â ñîñòàâå òîêà â элементе обуслоâлено нелинейностью еãî âîëüò-àмперной хàðàктеристики, â ñâÿçè ñ ÷åì èõ ÷àñòî íàçûâàþò ïðîäóêòàми нелинейности.

 ñîîòâåòñòâии с изложенным спектр àмплитуä òîêà â нелинейном элементе при ãàрмоническом âîçäåéñòâèè íà элемент яâляется

i
0	U0	u
	Um	u

i
Imax
0	t

t

Ðèñ. 11.7

Поскольку исхоäíîå íàпряжение u(t) ÷åòíàя функция, â âûðàжении (11.1) ряä синусоâ áóäет отсутстâîâàòü.

268

äискретным. Тàêèìè æå áóäут спектры нàпряжений и токоâ â òåõ âåòâях цепи, которые не поäñîåäинены непосреäñòâенно к источнику ãàрмоническоãî âîçäåéñòâèÿ.

В устройстâàх, используемых â режиме мàëîãî ñèãíàëà, нелинейные искàжения носят пàðàзитный хàðàêòåð è ñòðîãо нормируются. Для их оценки обычно используется коэффициент нелинейности

k =		Um21 + Um2	2	+ L	,	(11.2)
		Um1

ãäå Um1 àмплитуäà колебàíèÿ îñíîâíîé ÷àстоты (чàстоты âîç- äåéñòâèÿ), a Um2, Um3, ... àмплитуäû ãàрмоник нàпряжения нà âûõîäíûõ çàæèìàх устройстâà. Òàê, â âысококà÷åñòâенных систе- мàõ çâóêîâоспроизâåäения коэффициент нелинейности не преâû- øàåò äîëåé îäíîãо процентà.

Íèæå ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàлитические метоäû âычисления спектроâ àмплитуä колебàíèé â нелинейных резистиâных электриче- ских цепях äëÿ ðàзличных функций, àппроксимирующих âîëüò-àм- перную хàðàктеристику нелинейноãо элементà.

Спектр реакции при полиномиальной характеристике нелинейного элемента. Пусть â окрестности рàбочей точки (U0, I0) âîëüò- àмпернàÿ õàðàктеристикà нелинейноãо элементà описыâàется полиномом степени n:

i = I0 + a1 ( u − U0 ) + a2 ( u − U0 )2 + K + an ( u − U0 )n . (11.3) Ïðè ãàрмоническом âîçäåéñòâèè, êîãäà u = U0 + Um cos(ωt + ϕ),

i (t ) = a1Um cos ( ωt + ϕ ) + a2Um2 cos2 ( ωt + ϕ ) + K + + anUmn cosn ( ωt + ϕ ).

Äëÿ íàõîæäения спектрà àмплитуä ðåàêöèè òîêà i(t) â нелинейном элементе уäîáíî âместо общеãî ìåòîäà ðàзложения периоäиче- ской функции i(t) â ðÿä Фурье âоспользоâàòüñÿ âûðàжениями степеней функции coskα через функции крàòíûõ äóã, ñîãëàсно которым:

cos2 α =	1	(cos 2α + 1);
	2
cos3 α =	1	( cos 3α + 3 cos α );
	4
cos4 α =	1	( cos 4α + 4 cos 2α + 3 );
	8

cos5 α = 161 ( cos 5α + 5 cos 3α + 10 cos α );

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

Òîãäà, ïîëàãàÿ α = ωt + ϕ и осущестâëÿÿ ãруппироâку коэффициентоâ при функциях оäèíàêîâûõ àðãументоâ, преобрàçóåì âû- ðàжение äëÿ i(t) ê âèäó

i ( t ) = I0 + Im1 cos ( ωt + ϕ ) + Im2 cos 2( ωt + ϕ ) + K + + Imn cos n ( ωt + ϕ ),

ãäå:

DI0 = 12 a2Um2 + 83 a4Um4 + K,

Im1 = a1Um + 34 a3Um3 + 85 a5Um5 + K, Im2 = 12 a2Um2 + 12 a4Um4 + K,

Im3 = 14 a3Um3 + 165 a5Um5 + K, Im4 = 81 a4Um4 + K,

Im5 = 161 a5Um5 + K.

Àíàлиз полученных âûðàжений покàçûâàет, что при полиноми- àльной âîëüò-àмперной хàðàктеристике нелинейноãо элементà è ãàрмоническом âîçäåéñòâèè íà ÍÝ:

1.Число ãàрмонических состàâляющих реàêöèè (ãàрмоник) конеч- но и рàâно степени полиномà, поскольку при n > 2:

	cosk a =	1	écos ka + k cos ( k - 2) a + Kù.
		2k−1
			ë	û

2.Амплитуäà Im1 ïåðâîé ãàрмоники колебàíèÿ ïðè n > 2 â общем случàе нелинейно зàâèñèò îò àмплитуäû Um приложенноãî âîç- äåéñòâèÿ.

3.Амплитуäы четных (нечетных) ãàрмоник опреäеляются только коэффициентàми при четных (нечетных) степенях слàãàемых полиномà.

4.Изменяется нà âеличину DI0 постояннàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà.

Спектр реакции при линейно-ломаной характеристике нелинейного элемента. Пусть нà îäíîì èç ó÷àñòêîâ ВАХ нелинейноãо элементà монотонно âîçðàñòàåò ïî çàкону, близкому к линейному, à íà äðóãîì, êîãäà элемент «зàперт», может считàòüñÿ ðàâной нулю. Пусть, äàëåå, ìåæäó íèìè ðàсположен небольшой по срàâнению с перâûì ó÷àñòîê, â котором оäíà èç óêàçàííûõ õàðàктеристик перехоäèò â äðóãую. Примером может служить усреäíåííàÿ àíîäносеточнàÿ õàðàктеристикà мощноãо пентоäà, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 11.8,

ãäå iÀ àíîäíûé òîê; uÑÊ íàпряжение межäу сеткой и кàòîäом. Пусть, нàконец, мãíîâенные знàчения нàпряжения нà âûõîäå íåëè-

270