Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

ξ (x)− F(x)
x1	x2	x
à)
ξ (x)− F(x)

x1

x2 x

ã)

ξ (x)− F(x)
x1	x2	x
á)
ξ (x)− F(x)

x1

x2 x

ä)

Ðèñ. 16.16

ξ (x)− F(x)
x1	x2	x
â)
ξ (x)− F(x)

x1

x2 x

å)

F(x) = x2 + α1x + α2. Оценить точность àппроксимàöèè äëÿ ðàз- личных узлоâ интерполяции.

5.Êàêîé èç âàðèàíòîâ àппроксимàöèè (ðèñ. 16.16, àå) çàäàííîé

íà интерâàëå (x1, x2) функции ξ(x) полиномом пятой степени F(x) ñîîòâåòñòâóåò íàилучшему приближению по критерию Че- бышеâà?

Îòâåò: ä).

6.Êàкие из перечисленных функций уäîâëåòâоряют услоâиям физической реàлизуемости оперàторных переäàточных функций и почему:

1)			p2			,	2)		1		,		3)		1		,
	p2 + 0,5p + 1							p2	+ 3p + 1					p2	− p + 1
4)			j5p		,		5)		5p			,	6)	p2	− p + 1		,
		p2	+ p + 1					p2						p2	+ p + 1
									+ j5p + 1

7)p2 − 3p + 1. p2 + p − 1

Îòâåò: 1), 2), 6) è 7).

7.Ïî çàäàííûì êâàäðàòàì ìîäóëÿ ïåðåäàточных функций цепей нàéòè èõ îïåðàторные переäàточные функции:

1)

ω4

+ 5ω2

+ 4

, 2)

0,5ω4

+ 5ω2 + 4,5

.

ω4 + 25ω2

+ 144

ω4 + 20ω2 + 64

Îòâåò: 1)

p2 + 3p + 2

,

2)

p2

+ 4p + 3

.

p2 +

7p + 12

p2

+ 6p + 8

441

8.Íàйти схему и âеличины элементоâ мостоâîãо четырехполюсни- кà постоянноãî õàðàктеристическоãо сопротиâления, реàлизующеãî ïåðåäàточную функцию (при R = 1)

H ( p ) = p2 - p + 1. p2 + p + 1

1/2

Îòâåò: 1

1 1/2

9.В результàте синтезà цепи получены нормироâàííûå çíàчения

элементоâ R1 = 0,25, R2 = 0,75, L1 = 1, L2 = 0,5, C1 = 2, C2 = = 0,5. Îïðåäелить истинные пàðàметры элементоâ, если сопро-

òèâление нормироâàíèÿ Rí = 103 Îì, à ÷àñòîòà нормироâàíèÿ wí = 106 ñ 1.

Îòâåò: R1 = 250 Îì,					R2 = 750 Îì, L1 = 1 ìÃí,
L2 = 0,5 ìÃí,					Ñ1 = 2 ×10 9 Ô, Ñ2 = 0,5 ×10 9 Ô.
10. Îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция цепи имеет âèä:
H ( p ) =						1012		.
		p3 + 2 ×104 p2 + 2 ×108 p + 1012
Выполнить нормироâàíèå äàнной функции, если чàñòîòà íîð-
ìèðîâàíèÿ wí = 104 ñ 1.
)					1
Îòâåò: H ( p ) =	)		3		)2	)	.
	p			+ 2p		+ 2p + 1

11.×òî òàкое положительно-âещестâенные функции (ПВФ)?

12.Êàêèå èç ïðèâåäенных äробно-рàöèîíàльных функций яâляются ПФВ:

1)	p2		,	2)	p2	+ p + 1		,	3)	p2	+ 1		.
	p2 + p + 1					p + 1				p2 + p + 1

Îòâåò: 2) è 3).

13.Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò âõîäные функции реàêòèâíûõ äâухполюсникоâ?

14.Опишите процеäуры синтезà ðåàêòèâíûõ äâухполюсникоâ ïî ìåòîäàм Фостерà è Êàóýðà.

442

ГЛАВА 17. ФИЛЬТРУЮЩИЕ ЦЕПИ И ИХ СИНТЕЗ

17.1. Классификация фильтров

Электрический фильтр это устройстâо, которое прàктически не ослàбляет спектрàльные состàâляющие сиãíàëà â çàäàнной полосе чàñòîò è çíàчительно ослàбляет (поäàâëÿåò) âсе спектрàльные состàâляющие âне этой полосы.

Полосà ÷àñòîò, â которой ослàбление мàëî, íàçûâàåòñÿ полосой пропускàíèÿ. Полосà ÷àñòîò, â которой ослàбление âелико, нàçû-

âàåòñÿ полосой непропускàíèÿ (çàäåðæèâàíèÿ). Ìåæäу этими полосàìè íàõîäится перехоäíàÿ îáëàñòü.

Ïî ðàсположению полосы пропускàíèÿ íà øêàëå ÷àñòîò ðàçëè- ÷àþò ñëåäующие фильтры:

нижних чàñòîò (ÔÍ×), â которых полосà пропускàíèÿ ðàñïîëà- ãàåòñÿ íà øêàëå ÷àñòîò îò ω = 0 äо некоторой ãðàничной чàстоты

ω = ωï	,	à полосà непропускàíèÿ (çàäåðæèâàíèÿ)	îò		÷àстоты
ω = ωç	äо бесконечно больших чàñòîò (ðèñ. 17.1, à);		îò		÷àстоты
âерхних чàстот (ФВЧ) с полосой пропускàíèÿ
ω = ωï		äо бесконечно больших чàстот и полосой непропускàíèÿ îò
÷àстоты		ω = 0 äî ω = ωç (ðèñ. 17.1, á);
полосоâûå (ÏÔ), â которых полосà пропускàíèÿ ωï1 Kωï2 ðàñ-
ïîëàãàåòñÿ ìåæäу полосàми непропускàíèÿ 0Kωç1				è ω ç2K∞
(ðèñ. 17.1, â);

çàãðàæäàющие (режекторные) (ЗФ или РФ), â которых межäó

полосàми пропускàíèÿ 0Kωï1						è ω ï2 K∞ íàõîäится полосà непро-
Àð						Àð

0	ωï	ωç		ω 0		ωç		ωï		ω
		à)						á)
Àð					Àð
0	ωç1 ωï1	ωï2	ωç2	ω	0	ωï1	ωç1	ωç2	ωï2	ω
		â)						ã)
				Ðèñ. 17.1

443

ïóñêàíèÿ ω ç1 Kω ç2 (ðèñ. 17.1, ã);

ìíîãополосные, имеющие несколько полос пропускàíèÿ.

Íà ðèñ. 17.1, à ã ïîêàçàíû òàêæå óñëîâные обознàчения фильтроâ êàæäîãî òèïà â ñîîòâåòñòâèè ñ ÃÎÑÒ.

Âñîîòâåòñòâии с используемой элементной бàçîé ê íàстоящему моменту âûäелились несколько клàññîâ фильтроâ. Исторически перâûìè (è âсе еще широко применяемыми) яâляются пàññèâные фильтры, соäåðæàщие элементы L è Ñ. Они носят нàçâàíèå LC- фильтроâ.

Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íà ïðàктике требоâàëàñü êðàéíå âûñîêàя избирàтельность (рàзличие ослàблений â полосàх пропускàния и непропускàíèÿ â äесятки тысяч рàç). Ýòî ïðèâåëî ê ïîÿâлению фильтроâ ñ ìåõàническими резонàòîðàìè: êâàðöåâûõ, ìàãнитострикционных, электромехàнических.

Ïî-âèäимому, сàìûå çíàчительные äостижения â îáëàсти теории и проектироâàния фильтроâ ñâÿçàны с успехàми микроэлектроники. Требоâàния микроминиàтюризàöèè ðàäиоэлектронной àïïàðàòóðû çàñòàâèëè îòêàçàться от использоâàíèÿ èíäóêòèâностей, которые имеют большие ãàáàритные рàзмеры, особенно нà низких чàñòîòàõ, è íå ïîääàются исполнению â микроминиàтюрном âèäå. Ïîÿâились àêòèâíûå RC-фильтры, состоящие из резистороâ, êîíäåíñàòîðîâ è àêòèâных прибороâ (íàпример, трàнзистороâ). Эти фильтры моãóò áûòü âыполнены â âèäе микромо- äульной конструкции или интеãðàльной схемы. Применение àê- òèâíûõ RC-фильтроâ îãðàíè÷èâàåòñÿ ïîêà ñðàâнительно небольшим äèàïàзоном чàñòîò äî äесяткоâ (èíîãäà сотен) килоãåðö.

Ðàçðàáîòêà цифроâых систем сâÿçè è äостижения â îáëàсти цифроâûõ âычислительных мàшин стимулироâàëè ñîçäàние фильтроâ íà áàзе элементоâ цифроâîé è âычислительной техники цифроâых фильтроâ. В силу специфики элементной бà- зы цифроâых фильтроâ íå áóäåì äàлее упоминàòü î íèõ, õîòÿ ðàñ÷åò òàких фильтроâ произâîäèòñÿ ìåòîäàми теории электри- ческих цепей. Зàинтересоâàííûå ÷èòàòåëè ìîãóò îáðàтиться к специàльной литерàтуре по цифроâым фильтрàì.

Âèäåàльном случàå (èäåàльный фильтр) хàðàктеристикà ðàáî- ÷åãî îñëàбления, нàпример äля ФНЧ, имеет âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 17.2, à. Ñ ðàбочим ослàблением сâÿçàíà ðàáî÷àÿ àмплитуä-

íî-÷àстотнàÿ õàðàктеристикà

Àð

|Hð ( jω)|

(À×Õ):

Hp ( jω )

= e− A p ( ω ) . Íà

1

ðèñ. 17.2,

á

изобрàæåíà

À×Õ

èäåàëüíîãî

фильтрà

нижних

0

÷àñòîò.

ωï

ω

ωï ω

Ðåàльные

фильтры

(ò. å.

à)

á)

фильтры, состоящие

èç

ðåàëü-

Ðèñ. 17.2

ных элементоâ) имеют

õàðàê-

444

Àð, Hï			|Hð ( jω)|2
			1
			-2Àð max
		min	e
					-2Àð min
					e
		ð
Àð max		À
0	ωï ωç	ω	0	ωï ωç	ω
	à)			á)
		Ðèñ. 17.3

теристики рàáî÷åãî îñëàбления и àмплитуäíî-÷àстотную, отличные от иäåàльных.

Требоâàния к электрическим хàðàктеристикàм фильтроâ çàäàþòñÿ â âèäå äопустимых преäåëîâ изменения этих хàðàктеристик. Тàê, ðàбочее ослàбление â полосе пропускàíèÿ íå äолжно преâû- øàть некотороãî ìàêñèìàëüíîãî äопустимоãî çíàчения Àð max, à â полосе непропускàíèÿ íå äолжно быть ниже некотороãо минимàëüíî äопустимоãî çíàчения Àð min. Нетруäно изобрàзить эти требоâà- íèÿ ãðàфически, кàê ýòî ñäåëàíî íà ðèñ. 17.3, à äëÿ ÔÍ×. Íà этом рисунке ωï è ωç ãðàничные чàстоты полос пропускàния и непропускàíèÿ.

Çíàя требоâàíèÿ ê Àð , можно пересчитàòü èõ â требоâàíèÿ ê À×Õ èëè, êàк это принято â теории фильтроâ, â требоâàíèÿ ê êâàäðàòó À×Õ (ðèñ. 17.3, á):

	2	ïe	−2Ap max	, 0 < w < wï,
Hp ( jw)		ì
		= í	−2A		w > w
		ïe	p min ,			.
		î			ç

Õàðàктеристики проектируемых фильтроâ äолжны «уклàäû- âàòüñÿ» â эти требоâàíèÿ (ðèñ. 17.3, à è á).

Помимо требоâàíèé ê ÷àстотной зàâисимости рàáî÷åãî îñëàбления (à çíà÷èò, è ê À×Õ) ìîãóò çадаваòüñÿ òàкже требоâàíèÿ ê ôà- çî÷àстотной хàðàктеристике фильтрà (ñêàæåì, äопустимые отклонения от линейноãî çàêîíà) è âеличине нелинейных искàжений (обуслоâленных, нàпример, нàличием железà â êàòóøêàõ èíäóêòèâности). Моãóò ïðåäúÿâляться требоâàíèÿ è ê äðóãèì õàðàктеристикàì è ïàðàìåòðàм фильтрà. Íèæå áóäем учитыâàть только требоâàíèÿ ê ðàбочему ослàблению и АЧХ.

Èäåàльные чàстотные хàðàктеристики фильтрà (ñì. ðèñ. 17.2, à) çàâåäîìî íåðåàлизуемы. Чàстотные хàðàктеристики реàльных фильтроâ ìîãут лишь приближàться к ним с той или иной степенью точности â çàâисимости от сложности схемы фильтрà.

445

17.2. Аппроксимация характеристик фильтров нижних частот

Функция фильтрации. В общем âèäе электрические фильтры описыâàþòñÿ ïåðåäàточной функцией âèäà:

Hp ( p ) =

a

n

pn

+ a

n−1

pn−1

+ K + a p + a

0

1

.

(17.1)

b

+ b

m

pm

pm−1 + K + b p + b

m−1

1

0

Êâàäðàò àмплитуäíî-÷àстотной хàðàктеристики тàких фильтроâ

Hp ( jw)

2

=

c0w2n + c1w2n−2

+ K + cn−1w2 + cn

(17.2)

d

w2m + d w2m−2

+ K + d

w2 + d

m

0

1

m−1

è, ñëåäîâàтельно, рàбочее ослàбление

æ d

w2m + d w2m−2

+ K + d

w2

+ d

m

ö

Ap = 10lg

ç

0

1

m−1

÷

(17.3)

c

w2n

+ c w2n−2

+ K + c

+ c

ç

w2

n

÷

è

0

1

n−1

ø

ìîãóò ïðè íàäëåæàùåì âыборе степени полиномà (ïîðÿäêà фильт- рà) и коэффициентоâ dk óäîâëåòâорить зàäàнным требоâàíèÿ (ñì. ðèñ. 17.3).

В теории фильтроâ принято иметь äело не с обычной уãëî-

âîé	÷àстотой w, à ñ нормироâàííîé ÷àстотой Ω = ω ωí , ãäå
ωí	нормирующàÿ ÷àñòîòà. Обычно â êà÷åñòâе нормирующей

÷àстоты âûáèðàþò ãðàничную чàстоту полосы пропускàíèÿ ωï ,

òàê ÷òî Ωï = ωï ωí = ωï ωï = 1.

В теории электрических фильтроâ âместо формул (17.2) и

(17.3) используют äðóãèå, òàêæå óíèâåðñàльные äëÿ ëþáîãî òèïà фильтрà:

Hp ( jW )

2

=

1

;

(17.4)

1 + e2y2 (

W )

( W ) = 10lg

A

é

2

y

2

(

W

) ù .

(17.5)

p

ë1

+ e

û

Функция y2 ( W ) íàçûâàется функцией фильтрàöèè, à e коэффициентом нерàâномерности ослàбления. В общем случàå y(W) ýòî äробно-рàöèîíàëüíàя функция с âещестâенными коэффициентàìè (â ÷àстности полином), уäîâëåòâоряющàÿ óñëîâèÿì: 1 y ( W ) 1 â полосе пропускàíèÿ è y ( W ) . 1 â полосе непропускàния фильтрà.

 çàâисимости от âèäà функции фильтрàции получàþò ðàзлич- ные типы фильтроâ. Åñëè â êà÷åñòâе функции фильтрàции используют полиномы, то фильтры нàçûâàются полиномиàльными. Среäи полиномиàльных фильтроâ широкое использоâàíèå íàøëè фильтры Бàòòåðâîðòà и Чебышеâà. Åñëè ψ ( Ω ) äробно-рàöèîíàëüíàя функция, нàпример, äробь Золотàðåâà, то получàþò фильтр Золотàðåâà. Âñå ýòè òðè òèïà фильтроâ áóäóò ðàссмотрены â ýòîé

ãëàâå.

446

Ñëåäует отметить, что имеет смысл поäробно изучàть только фильтры нижних чàñòîò, ò. ê. äðóãие типы фильтроâ (âерхних чàс- тот, полосоâûå è çàãðàæäàþùèå) ìîãóò áûòü ëåãко получены из ФНЧ с помощью зàмены переменной (чàстоты). Для этоãî âî âñåõ âûðàжениях, соäåðæàщих переменную Ω, нужно произâåñòè çàмену переменной тàêèì îáðàзом, чтобы хàðàктеристики ФНЧ Àð (Ω) è | Hð (jΩ)|2 преобрàçîâàëèñü â õàðàктеристики соотâåòñòâóþùåãо фильтрà. Ïîäîáíàÿ çàìåíà переменной Ω íàçûâàåòñÿ преобрàçîâà- íèåì ÷àстоты, à èñõîäíûé ÔÍ× фильтром НЧ-прототипà.

Преобрàçîâàíèå ÷àстоты позâоляет устàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ìåæ- äó ÷àñòîòàми полос пропускàния и непропускàния НЧ-прототипà è ÷àñòîòàми фильтроâ âерхних чàстот, полосоâîãî èëè çàãðàæäàþùåãî, à òàкже преобрàçîâàть схему ФНЧ â схемы ФВЧ, ПФ или ЗФ. Более поäробно âопросы, сâÿçàнные с преобрàçîâàíèåì ÷àстоты, буäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â § 17.5.

Фильтры Баттерворта. Åñëè â âûðàжениях, описыâàþùèõ êâàäðàт АЧХ фильтрà (17.4) è åãî ðàбочее ослàбление (17.5), â êà-

÷åñòâе функции фильтрàции используются полиномы Бàòòåðâîð- òà ψ(Ω) = Bm(Ω) = Ωm (по имени àâòîðà, ïðåäëîæèâøåãî èñ-

пользоâàòü èõ äля «конструироâàíèÿ» ÷àстотных хàðàктеристик фильтрà), òî òàкие фильтры нàçûâàþòñÿ фильтрàìè Áàòòåð-

âîðòà.

Из формул (17.4) и (17.5) слеäóåò, ÷òî äля фильтроâ Áàòòåð- âîðòà íà ÷àстоте Ω = 0 çíàчение кâàäðàòà À×Õ ðàâíî åäинице, à ðàáî÷åãî îñëàбления нулю. С ростом чàстоты кâàäðàт АЧХ фильтрà Áàòòåðâîðòà уменьшàåòñÿ è ïàäàåò äî íóëÿ íà бесконечно большой чàстоте. Рàбочее ослàбление плàâíî ðàñòåò äо бесконечно большоãî çíàчения. Тàêèì îáðàçîì, âûðàжения (17.4) и (17.5) приближенно âоспроизâîäÿò õàðàктеристики иäåàëüíîãо фильтрà.

Чтобы эти хàðàктеристики «âïèñûâàëèñü» â ïðåäúÿâляемые к фильтру требоâàния (см. рис. 17.3), необхоäимо иметь рàбочее ос- лàбление (17.5) â полосе пропускàния меньшее Àð max, à â полосе непропускàния большее Àð min. Ïåðâîìó óñëîâию можно уäîâëå- òâорить, если потребоâàòü íà ãðàничной чàстоте полосы пропускà-

íèÿ (Ω =	1)	âыполнения	ðàâåíñòâà			Àð (Ω)Ω = 1 = Àð max èëè
| Hð (jΩ)|Ω=2 1	= e−2A p max . Îòñþäà с учетом (17.5) или (17.4) имеем
1 + ε2 = e2A p max		è ε2 = e2A p max 1. Вычисленный тàким способом
коэффициент ε:
		ε =		e2A p max − 1		(17.6)

íàçûâàåòñÿ коэффициентом нерàâномерности ослàбления â полосе пропускàния фильтрà.

В формуле (17.6) âеличинà Àð max имеет рàзмерность непер. Если âоспользоâàòüñÿ çíàчениями Àð max â äецибелàõ, òî

447

Àð, äÁ	m = 6			|Hð ( Ω)|		2		m = 2
		m = 4	m = 2					m = 4
					-0,1Àð max			m = 6
				10
								10	-0,1Àð min
			Àð min
Àð max
0	1	Ωç	Ω			0	1	Ω ç		Ω
		à)						á)
			Ðèñ. 17.4

e = 100,1A p max - 1 .			(17.7)

С учетом ââåäенных обознàчений кâàäðàт АЧХ фильтрà Áàòòåð-

âîðòà çàпишется â âèäå
Hp ( jW ) 2 = 1 (1 + e2W2m ).	(17.8)

Ýòà функция уäîâëåòâоряет сâîéñòâàì êâàäðàòà À×Õ ðåàльных че- тырехполюсникоâ, и поэтому ей можно сопостàâить физически осущестâимый электрический фильтр.

Ðàбочее ослàбление фильтрà Áàòòåðâîðòà:

Ap	=	1 ln (1 + ε2Ω2m ) [Hï]; Ap = 10lg (1 + ε2Ω2m ) [äÁ] .	(17.9)
		2

Крутизнà ÷àстотных хàðàктеристик (17.8) и (17.9) зàâисит от степени m (ïîðÿäêà фильтрà). Чем больше степень m, òåì âыше крутизнà õàðàктеристик. Нà ðèñ. 17.4, à, è á ïîêàçàíû ãðàôèêè ðàáî÷åãî îñëàбления и кâàäðàòà АЧХ фильтрà Áàòòåðâîðòà äëÿ ðàзличных m. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ óäîâëåòâорения требоâàíèé â полосе непропускàния необхоäèìî âûáðàòü ñîîòâåòñòâующий поряäок фильтрà m. Åãî ëåãêî îïðåäелить из услоâèÿ: íà ãðà-

ничной чàстоте полосы непропускàíèÿ: Wç						Àð (Wç) Àð min èëè
| Hð (jW)|Ω=Ω2	ç e2A p min . Ñ	учетом		ýòîãî óñëîâия получим 1 +
+ e2Wç2m >	e2Ap min , îòêóäà Wç2m 1 ε2 (e2Ap min − 1). Ëîãàрифмируя
îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà, ïðèäåì ê âûðàжению
	2m ln Wç ln		e2A p min - 1		.
				e2
Èç íåãî íàõîäим окончàтельно
	æ e2A p min - 1 ö					ç .
	m ln ç	e2		÷ 2ln W			(17.10)
	è			ø

448

Величинà Àð min âõîäèò â формулу â неперàõ. Åñëè âычислять ее â äецибелàõ, òî:

æ	100,1A p min	- 1	ö	(17.11)
m lg ç	e2		÷ 2lg Wç .
è			ø

Ïåðåäàточную функцию фильтрà Áàòòåðâîðòà можно получить из (17.8), если положить jW = p:

Hp ( p )		2	= Hp ( p ) Hp ( -p ) =		1	.	(17.12)
					( -p2 ) m
			1 + e2

è ðàзложить знàìåíàтель полученной функции нà произâåäение сомножителей.

Вычислим корни знàìåíàтеля, т. е. полюсы функции Hð (p) ´ Hð ( p), îòäельно äля четных и нечетных знàчений m. Для четных знàчений m:

1 - e2p2m = 0

è

pk =

1

2m

-1, k = 1, 2, ..., 2m.

m e

Òàê êàê:

-1 = e j( 2k−1)π

= cos ( 2k - 1) p + j sin ( 2k - 1) p ,

имеем:

1

1

j

(

2k−1)

π

2m

j( 2k−1)π

pk

=

e

=

e

2m

=

m e

2k - 1

m e

2k - 1

(17.13)

æ

ö

1

=

ç cos

p + j sin

p ÷, k

= 1,2,K,2m.

m

è

2m

2m

ø

e

Для нечетных знàчений m:

1

æ

k

k

ö

pk =

ç cos

p + j sin

p ÷

, k = 1,2,K,2m.

m

m

m e è

ø

Âûðàжение (17.12) примет âèä:

Hp ( p ) Hp ( -p ) =

1

.

e2

( p - p1 ) ( p - p2 )K( p - p2m )

Ïîëîâèíà полюсоâ функции Hð (p) Hð ( p) лежит â ëåâой полуплоскости комплексной переменной p и может быть отнесенà ê ïåðåäàточной функции реàлизуемоãо фильтрà Hð (p) . Äðóãàÿ ïîëî- âèíà полюсоâ, ÿâляясь зеркàльным отрàжением перâîé, ðàñïîëàãà- åòñÿ â ïðàâой полуплоскости и относится к Hð ( p).

Построеннàя из полюсоâ, ëåæàùèõ â ëåâой полуплоскости, переäàòî÷íàя функция фильтрà Áàòòåðâîðòà ÿâляется полиномиàльной переäàточной функцией типà (17.1):

449

Hp ( p ) = H pm + bm−1pm−11+ K + b1p + b0 ,

ãäå H = 1/ e.

Пример. Íàéòè âûðàжения äëÿ ÷àстотной хàðàктеристики и переäàточной функции фильтрà нижних чàñòîò Áàòòåðâîðòà, óäîâëåòâоряющеãî ñëåäующим

требоâàíèÿì: Àð max = 3 äÁ; Àð min = 12,2 äÁ; fï = 159 êÃö; fç = 318 êÃö.
Îïðåäелим нормироâàííóþ ÷àстоту Ωç	= fç /fï = 2 и по формуле (17.7)
коэффициент нерàâномерности ослàбления ε2 = 100,1×3 1 = 1. Ïîðÿäîê
фильтрà íàéäåì ñîãëàñíî (17.11):
m lg (100,1×12,2 − 1)	( 2lg 2) = 2 .

Выберем m = 2. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (17.8) è (17.9):

Hp ( j Ω ) 2 = 1 +1Ω4 ; Ap = 10lg (1 + Ω4 ) .

Íàéäåì ïåðåäàточную функцию фильтрà Hð(p). Çíàчения полюсоâ функции | Hð(p) | 2 = Hð(p) Hð( p) = 1/(1 + ð4) âычислим из формулы (17.13):

p1 = 0,707 + j0,707; p2 = 0,707 + j0,707; p3 = 0,707 j0,707; p4 = 0,707j0,707. Ðàсположение полюсоâ â комплексной плоскости покàçàíî íà

ðèñ. 17.5, à.

По теореме Виетà из полюсоâ â ëåâой полуплоскости p2 è p3 формируем

	ïåðåäàточную функцию:
	Hp ( p ) =	1		=		1		.
		ε ( p − p2 )	( p − p3 )		p2	+ 1,41p + 1

Используя ââåäенное рàнее обознàчение Bm(W) = Wm полиномà Áàòòåðâîðòà, можно преäñòàâèòü ÷àстотные хàðàктеристики (17.8) и (17.9) фильтрà Áàòòåðâîðòà â ñëåäующей форме:

Hp ( j W )

2 = 1

é1 + e2B2

( W )

ù ;

ü

ë

m

û

ï

Ap

( W ) =

1 ln é1 + e2B2

( W ) ù

ï

(17.14)

[Íï],

ý

2

ë

m

û

ï

Ap

( W ) = 10lg é1 + e2B2

( W ) ù

[äÁ]. ï

ë

m

û

þ

Фильтры Бàòòåðâîðòà íàçûâàþò òàкже фильтрàìè ñ ìàêñèìàльно плоским ослàблением â полосе пропускàíèÿ (ñì. ðèñ. 17.4, à).

Полиномиальные фильтры Чебышева. Åñëè â êà÷åñòâе функции фильтрàöèè â (17.4) и (17.5) использоâàть полином Чебышеâà, обознà÷àåìûé y(W) = Tm(W), то формулы (17.14) примут âèä:

H

p

( j W )

2

= 1

é1 + e2T2

( W ) ù ;

ü

ë

m

û

ï

A

( W ) = 1 ln é1 + e2T2

( W ) ù

ï

(17.15)

p

[Íï]; ý

2

ë

m

û

ï

A

p

( W ) = 10lg é1 + e2T2 ( W ) ù

[äÁ],ï

ë

m

û

þ

450