Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

L1=1

L3=2

L5=1

C1=5 C3=3

C2=1

C4=2

L2=3

L4=1

Ðèñ. 16.9					Ðèñ. 16.10
Z ( p ) = p +		1					.
	p +		1
		2p +	1
				p +	1
					p

Ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâляет собой сопротиâление инäóêòèâности с L1 = = l, âторое проâîäимость емкости с Ñ2 = 1, третье сопротиâление инäóêòèâности с L3 = 2, ÷åòâертое сопротиâление емкости с Ñ4 = 2 и пятое сопротиâление инäóêòèâности с L5 = 1. Ïîäñòàíîâêà äàнных элементоâ â схему рис. 16.6 äàет окончàтельный результàт синтезà äâухполюсникà (ðèñ. 16.9).

Пример. По функции нормироâàííîãо сопротиâления

Z ( p ) =	45p4 + 27p2 + 1
	60p3 + 5p

синтезироâàть схему äâухполюсникà â âèäе лестничной структуры. Буäем осущестâëÿòü äеление относительно p 1, ò. å. íà êàæäîì øàãе исключàòü ñëà- ãàемое минимàльной степени. Процесс äеления покàæåì â êîìïàктном âèäå:

−

45p4

+ 27p2 + 1

60p3 + 5p

12p2 + 1

1

= Z

−

60p3

+ 5p

45p4 + 15p2

5p

1

15p3 + 5p

−45p4 + 15p2

1

= Y

45p

3p

2

15p2

3

1

= Z

−

45p

45p4

3p

3

45p3

1

= Y

0

p

1

Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàнному рàзложению схемà ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.10.

Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ìåòîäó Êàóýðà можно синтезироâàòü äâà âèäà лестничных схем:

1)ñ èíäóêòèâностями â ïðîäольных и с емкостями â попереч- ных âåòâÿõ (ïåðâàÿ ñõåìà Êàóýðà);

2)с емкостями â ïðîäольных и с инäóêòèâностями â попереч- ных âåòâÿõ (âòîðàÿ ñõåìà Êàóýðà).

Ïðåäñòàâëÿþò îïðåäеленный интерес äâухполюсники, состоящие из элементоâ R è Ñ, à òàкже из элементоâ R è L. Ïîäõîä к синтезу тàêèõ äâухполюсникоâ îñòàåòñÿ òàêîé æå, êàê è â ñëó÷àå

431

ðåàêòèâíûõ

äâухполюсникоâ.

Rá

Cá

R1

R3

R2n+1 Конечно, имеются сâои особен-

C3

C2n+1

ности, но âèä êàнонических схем

C1

îñòàется прежним. Тàê RL-äâóõ-

Ðèñ. 16.11

полюсники получàþòñÿ èç ðåàê-

òèâíûõ êàнонических схем пу-

òåì çàмены емкостей нà резисторы, à RÑ-äâухполюсники путем

çàìåíû èíäóêòèâностей нà резисторы. Оäíà èç âозможных кàнонических схем RÑ-äâухполюсникоâ ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.11.

16.7. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез четырехполюсников

Полученнàÿ â результàòå àппроксимàции функция цепи F(x) ïîäлежит â äàльнейшем реàëèçàöèè â âèäе конкретной схемы. Сущестâует большое число метоäîâ ðåàëèçàции цепи по функции кâàäðàòà À×Õ | H( jω)| 2, Ô×Õ ϕ(ω) èëè õàðàктеристике ГВП tãð(ω), по перехоäíîé g(t) и импульсной h(t) õàðàктеристикàì. Äàæå êðàткое упоминàíèå îáî âñåõ ìåòîäàõ ïðèâело бы к чрезмерному уâеличению объемà êíèãè.  § 17.4 ïðèâåäены примеры реà- ëèçàции электрических фильтроâ по функции кâàäðàòà À×Õ â âè- äå ïàññèâных лестничных LC-ñõåì è àêòèâíûõ RÑ-ñõåì.

Сущестâуют общие метоäы синтезà îïåðàторных переäàточных функций. Остàíîâèìñÿ ëèøü íà ìåòîäàх, имеющих â íàстоящее âðåìÿ ïðàктическое знàчение:

1)синтез скрещенных (мостоâых) схем с постоянным âõîäным сопротиâлением;

2)синтез симметричных Т-перекрытых схем с постоянным хà- ðàктеристическим сопротиâлением;

3)синтез реàêòèâных лестничных четырехполюсникоâ, íàãруженных резистиâным сопротиâлением;

4)синтез ARÑ-цепей.

Нахождение операторной передаточной функции по квадрату модуля комплексной передаточной функции. Ïðåäположим, что â результàте решения зàäà÷è àппроксимàöèè íàéäåí êâàäðàò ìîäуля комплексной переäàточной функции (кâàäðàò À×Õ). Äàлее необхо- äèìî çíàòü îïåðàторную переäàточную функцию. Опреäеление кâàäðàòà ìîäуля комплексной переäàточной функции по соотâåòñò- âующей оперàторной функции осущестâляется при помощи зàмены переменной ð íà jω, è ðåøàåòñÿ îäíîçíà÷íî, ò. å. îïåðàторной переäàточной функции соотâåòñòâует только оäèí êâàäðàò ìîäуля комплексной переäàточной функции.

Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðåøàется несколько сложнее и неоäíîçíà÷íî. Âíà÷àле сформулируем теорему о кâàäðàòå ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции.

432

Теорема. Êâàäðàò ìîäуля комплексной переäàточной функции не изменится, если изменить знàê ó âсех или у некоторой чàсти нулей и полюсоâ ñîîòâåòñòâующей оперàторной переäàточной функции, à òàкже если у комплексных нулей и полюсоâ çíàк изменяется оäíîâременно у кàæäой комплексно сопряженной пàðû.

Äîêàæåì óòâåðæäåíèå, ÷òî åñëè â формуле äëÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ âыполнить обрàòíóþ ïîäñòàíîâêó ω = jp, то полученнàя функция облàäàåò ñëåäующими сâîéñòâàìè:

1)функция | H(ð)| 2 ñîäержит â 2 ðàçà больше нулей и полюсоâ, чем функция Í(ð);

2)если функция Í(р) имеет нуль, рàâíûé ð0i, òî | H(ð)| 2, кроме ð0i, имеет нуль ð0i. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íàличии нуля Í(ð) â ëåâой полуплоскости, â | H(ð)| 2 ïîÿâляется äополнительный нуль â ïðàâой полуплоскости и нàоборот. Скàçàнное полностью относится

êполюсàм. Дейстâительно, кâàäðàò ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции преäñòàâèì â âèäå

H ( jω) 2 = H ( jω ) e jϕ( ω) H ( jω ) e− jϕ( ω) = H ( jω) H ( − jω ). (16.20)

Выполним зàìåíó jω = p èëè ω = jp. Из формулы (16.7) âèä- íî, ÷òî

H ( p ) 2 = H ( p ) H ( −p ).

Пусть функция Í(ð) имеет ï нулей и m полюсоâ, òîãäà ее можно преäñòàâèòü â âèäå (7.42):

H ( p ) = H ( p − p01 )( p − p02 )K( p − p0n ) . ( p − p1 ) ( p − p2 )K( p − pm )

ò. å. Í( ð) ñîäержит âсе нули и полюсы, что и Í(ð), но с проти- âоположными знàêàми. Это и требоâàëîñü äîêàçàòü.

Ïðîâåäенный àíàëèç ïîçâоляет сформулироâàòü ïîðÿäîê îïðå- äеления оперàторной переäàточной функции по кâàäðàòó åå ìî- äóëÿ:

1. Â âûðàжении äëÿ | H( jω)| 2 âыполняем зàìåíó ω = jð.

2. Íàõîäèì âсе нули и полюсы функции | H( p)| 2, ïîëîâèíà из которых принàäлежит функции Í(ð). Полюсы, лежàùèå â ëåâой полуплоскости относим к Í(ð). Îíè ñîñòàâëÿþò êàê ðàç ïîëîâèíó âсех полюсоâ. Îñòàльные полюсы относятся к Í( ð). Òàêîå ðàñ- ïðåäеление полюсоâ âûçâàно необхоäимостью получения устойчи- âых цепей (см. ãë. 14). Òàêèì îáðàçîì, âыбор полюсоâ ïåðåäàточ- ной функции осущестâляется оäíîçíà÷íî.

3. Ðàñïðåäеление нулей функции | H( p)| 2 ìåæäó Í(ð) è Í( ð) не может быть âыполнено оäíîçíà÷íî. Ñîãëàсно теореме о кâàäðà- òå ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции зäесь имеется опреäеленнàÿ ñâî- áîäà â âыборе числителя переäàточной функции. Если нà Ô×Õ

433

íèêàêèõ îãðàничений не нàêëàäûâàется, то обычно и нули âûáè- ðàþò â ëåâой полуплоскости.

4. Постоянный множитель функции Í(ð) ðàâåí êâàäðàтному корню из постоянноãо множителя функции |H( p)| 2 .

Пример. Îïðåäелить оперàторную переäàточную функцию, если кâàäðàò åå ìîäуля имеет âèä

H ( jw)		2 =	25	× w4	+ 25w2 + 144 .
			4	w4	+ 61w2 + 900

1. Çàïèñûâàåì | H( p) | 2 путем зàìåíû w = jp â âûðàжении äëÿ | H( jw) | 2

H ( p )		2 =	25	×	p4	- 25p2 + 144 .
			4		p4	- 61p2 + 900

2. Íàõîäим нули и полюсы | H( p) | 2:

p01	= 3,	p02 = -3,	p03 = 4,	p04 = -4 - íóëè,
p5	= 5,	p6 = -5,	p7 = 6, p8	= -6 - полюсы.

Функция H( p): áóäет иметь полюсы ð6 è ð8, òàê êàê îíè íàõîäÿòñÿ â ëå- âой полуплоскости.

3. ×òî êàñàется нулей, то âозможны слеäующие сочетàíèÿ:

p01 è p03, p01 è p04, p02 è p03, p02 è p04.

4. Постоянный множитель H = 5/2.

Çàпишем переäàточную функцию äëÿ âòîðîãî âозможноãо сочетàния нулей

H ( p ) =	5	×	( p - p01 )( p - p04 )	=	5	×	( p - 3 )( p + 4 )
	2		( p - p6 )( p - p8 )		2		( p + 5 )( p + 6 ) .

Ðàссмотрим перечисленные âûøå ìåòîäы синтезà ïåðåäàточных функций.

Синтез скрещенных (мостовых) схем с постоянным входным сопротивлением. Ýòîò ìåòîä ÿâляется общим, т. е. любую оперà- торную функцию, уäîâëåòâоряющую УФР, можно с точностью äо постоянноãо множителя реàëèçîâàть мостоâой схемой с постоянным âõîäным сопротиâлением. Метоä имеет âàжное теоретическое знàчение, тàê êàê äîêàçûâàåò äîñòàточность УФР. В прàктическом плàíå ýòîò ìåòîä применяется при синтезе фàçîâых корректороâ è

линий зàäержки. Мостоâàÿ ñõåìà четырехполюсникà, íàãруженнàÿ
с обеих сторон нà сопротиâление R0 ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.12. Åñëè
äâухполюсники Z	è Z ÿâляются обрàтными, т. е. Z Z							= R 2, òî
a	b						a b	0
ïåðåäàòî÷íàя функция имеет âèä
H ( p ) = U2		=	I2	=	R0	− Za ( p )	.	(16.21 a)
			I
	U				R + Z ( p )
	1	1		0		a

Пусть зàäàíà ïåðåäàòî÷íàя функция H( p), óäîâëåòâоряющàÿ ÓÔÐ. Òîãäà äëÿ åå ðåàëèçàции мостоâой схемой необхоäимо синтезироâàòü äâухполюсники с âõîäными функциями:

434

R 0

I 1

Z a

I 2

+

+

U 0

U 1

Z b

Z b R 0

U 2

Z a

Ðèñ. 16.12

Z

( p ) = R

1 − H ( p )

è Z

( p ) = R

1 + H ( p )

. (16.21 á, â)

a

0 1 + H ( p )

b

0 1 − H ( p )

Синтез тàêèõ äâухполюсникоâ âозможен, если äîêàçàть, что функции (16.21 б, â) ÿâляются ПВФ (нà ñàìîì äåëå äîñòàточно äîêàçàòü, ÷òî ÏÂÔ ÿâляется Za, òîãäà функция сопротиâления об- рàòíîãî äâухполюсникà òàêæå ÿâляется ПВФ). Чтобы это äîêà- çàòü, âспомним, что ПВФ это äробно-рàöèîíàëüíàя функция, âещестâåííàÿ ÷àсть которой неотрицàтельнàÿ â ïðàâой полуплоскости. То что Za ÿâляется äробно-рàöèîíàльной, âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî Í(ð) äробно-рàöèîíàëüíàя функция. Для опреäеления усло- âий, при которых Re[Za (p)] 0, ïðåäñòàâèì îïåðàторную переäà- точную функцию â âèäе суммы âещестâенной и мнимой чàñòåé:

	H ( α + jω) = x ( α,ω) + jy ( α,ω ).
Òîãäà
Z	( α + jω) = R	1 − x − jy	=	1 + x2 − y2 − j2y	.
a	0 1 + x + jy			(1 + x )2 + y2

Вещестâåííàÿ ÷àñòü Za áóäет неотрицàтельной, если x2 + y2 = = | H( p)| 2 1. Äàííîå íåðàâåíñòâî è ÿâляется услоâèåì òîãî, ÷òî Za(p) ÏÂÔ, à çíà÷èò è óñëîâием физической реàлизуемости опе- рàторных переäàточных функций â âèäе мостоâой схемы с постоянным âõîäным сопротиâлением. Тàê êàê Í(ð) óäîâëåòâоряет УФР, то онà àíàлитическàя (отсутстâуют полюсы) â ïðàâой полуплоскости комплексной переменной р, à çíà÷èò è îãðàниченà ïî ìîäóëþ | H( p)| Ì. Âûáðàâ постоянный множитель Í = 1/M, получим функцию, реàлизуемую с точностью äо постоянноãо множителя â âèäе мостоâой схемы. Тàêèì îáðàçîì, ðåàëèçàöèÿ ïåðåäà- точной функции сâîäится к синтезу äâухполюсникоâ Za è Zb. Отметим, что нà ïðàктике зàäàííóþ ïåðåäàточную функцию реàлизуют не â âèäå îäной сложной мостоâой схемы, à â âèäå êàñêàä- íîãî ñîåäинения более простых мостоâûõ ñõåì. Äëÿ ýòîãî çàäàн- ную функцию преäñòàâëÿþò â âèäе произâåäения более простых функций:

H ( p ) = H1 ( p ) H2 ( p )KHn ( p ).

435

5 íÔ

Z1

2 ê

R

R

R

1 ê

1 ê

1 ê

+

+

Z2

R

5 ìÃí

Uã

Uã

1 ê

0,5 ê

a)

á)

Ðèñ. 16.13

Êàæäàя функция реàлизуется â âèäе мостоâой схемы. Если сопротиâление âûáðàíî äëÿ âñåõ ñõåì îäèíàêîâым, то получàåòñÿ êàñêàäíîå ñîåäинение соãëàñîâàнных четырехполюсникоâ, è ïåðå- äàííàя функция кàñêàäíîãî ñîåäинения кàê ðàç è ÿâляется произ- âåäением переäàточных функций четырехполюсникоâ, ñîñòàâляющих это кàñêàäíîå ñîåäинение.

Синтез симметричных Т-перекрытых схем с постоянным характеристическим сопротивлением. Для симметричноãî Т-перекры- òîãо четырехполюсникà, ïîêàçàííîãî íà ðèñ. 16.13, à, õàðàктеристические сопротиâления

Zc1 = Zc2 = A12 A21 = Z1Z2

ïðè âçàèìíî-îáðàòíûõ äâухполюсникàõ Z1 Z2 = R2 ðàâíû R, т. е. четырехполюсник âключен соãëàñîâàííî. Ñëåäîâàтельно, еãо собстâåííàя постояннàÿ ïåðåäàчи непосреäñòâåííî ñâÿçàíà ñ ðàбочей

ïåðåäàточной функцией e−Ãñ

= Hp èëè

1

Ãñ = ln ( A11 + A12 A21 ) = ln (1 + Z1

R)

= ln

.

Hp (

jω )

Îòñþäà

Hp ( jω) = 1 (1 + Z1 R)

èëè Hp ( p )

= 1 (1 + Z1 ( p ) R).

Из послеäíåãî ðàâåíñòâà è óñëîâèÿ Z1(ð)Z2(ð) = R2 íàõîäèì

Z1 ( p ) = R

1 − Hp ( p )

; Z2 ( p ) = R

Hp ( p )

.

Hp ( p )

1

− Hp ( p )

Äâухполюсники Z1(p) è Z2(p) â ïëå÷àх схемы рис. 16.13, à ìî- ãóò áûòü ðåàëèçîâàíû èçâестными способàìè.

Пример. В результàòå àппроксимàции полученà функция | Hð( jw) | 2 = = (w2 + 1010) / (w2 + 9 ×1010). Осущестâèì åå ðåàëèçàöèþ â âèäе симметричноãî

Т-перекрытоãо четырехполюсникà (ñì. ðèñ. 16.13, à) ïðè íàãрузке нà сопротиâление R = 1 êÎì.

Çàменим оперàòîð jw íà ð:

436

Hp ( p )

2 ×108

	Hp ( p )	2		10		10	- p	2			(10	5	- p )(10	5	+ p )
			=						=								.
					9 ×1010 - p2					(3	×10	5	- p )(3 ×105 +			p )
Î÷åâèäíî, ÷òî Hð( p)		=		(p + 105) / (p + 3 ×10								5). Сопротиâление Z (p) â схеме
																	1

íà ðèñ. 16.13, à îïðåäеляется по формуле:

Z1 ( p ) = R 1 - Hp ( p ) = p + 105 .

Ðàзложение Z1(p) â цепную äðîáü:
Z1	( p ) =	1	=		1
		pC + 1 R1			×10−9 p + 1 2 ×103
			5

ïðèâîäит к схеме пàðàллельноãî RÑ-контурà с элементàìè Ñ = 5 íÔ è R1 = = 2 êÎì.

Äâухполюсник Z2(p) ÿâляется обрàтным, т. е. послеäîâàтельным RL-кон- туром с элементàìè L = 5 ìÃí è R2 = 0,5 êÎì.

Ñõåìà ðåàëèçîâàííîãо четырехполюсникà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 16.13, á.

Синтез реактивных лестничных четырехполюсников, нагруженных резистивными сопротивлениями (ðèñ. 16.14) îñíîâàí íà òîì î÷åâèäíîì ôàêòå, ÷òî àêòèâíàя мощность, отäàâàåìàÿ ãåíåðàòî-

ðîì	I2 Re[Z	âõ	(jw)],	ðàâíà	мощности,			потребляемой нàãрузкой
U2	1
	R , ò. å.
2	2
			I2 Re é Z		âõ	( jw)ù	= U2	R .
			1	ë		û	2	2

Òîê I1 âûðàзим через зàäàþùåå íàпряжение ãåíåðàòîðà U0

I1 = U0 Zâõ + R1

è ïîäñòàâèì â ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâо. После àëãåáðàических преобрàçîâàний, получим:

2

4R Re é Z

âõ

( jw)ù

4U2 R1

=

1

ë

û

.

(16.22)

U02R2

R + Z

âõ

( jw)

2

1

Ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâнения преäñòàâляет собой кâàäðàò ìî- äóëÿ ðàбочей переäàточной функции (12.44), à числитель прàâîé ÷àсти можно преäñòàâèòü ñëåäующим обрàçîì:

R1

I1

+

LC-

+

U0

четырех-

U2

R2

полюсник

Zâõ(p)

Ðèñ. 16.14

437

4R Re[ Z

âõ

] =

R + Z

âõ

2 −

R − Z

âõ

2 .

(16.23)

1

1

1

Óáåäиться â ñïðàâåäëèâîñòè óðàâнения (16.23) можно путем элементàрных преобрàçîâàíèé åãî ïðàâîé ÷àсти. С учетом скàçàííîãî óðàâнения (16,23) преобрàзуется к âèäó:

2

R1 − Zâõ = 1 − H ( jω) 2 . (16.24)

R1 + Zâõ

Из послеäней формулы можно нàéòè îïåðàторное âõîäное сопротиâление Zâx(p). Ðåàлизуя Zâx(p) â âèäе лестничной структуры, получàåì öåïü ñ çàäàííîé ïåðåäàточной функцией Í(ð). При этом, конечно, нужно слеäить, чтобы реàëèçîâûâàëèñü íóëè ïåðåäàточ- ной функции.

Обознà÷àÿ

σ ( jω ) =	R1	− Zâõ ( jω)			,	(16.25)
	R	+ Z	âõ	( jω)
	1

ãäå σ коэффициент отрàжения мощности нà âõîäе четырехполюсникà, получим из (16.24) сâÿçü ìåæäó êâàäðàòîì ÷àстотной хà- ðàктеристики коэффициентà îòðàжения и кâàäðàтом АЧХ четырехполюсникà:

σ ( jω )		2 = 1 −		H ( jω )		2 .	(16.26)

Ïðàктические àспекты применения äàííîãî ìåòîäà áóäóò ðàс- смотрены при синтезе фильтроâ.

Синтез ARÑ-цепей. Àêòèâíûå RÑ-öåïè âозникли кàê àльтернà- òèâà RLC-цепям. Дело â òîì, ÷òî êàтушки инäóêòèâности, à çíà÷èò è â целом RLC-цепи плохо поääàются микроминиàтюризàöèè è îá- ëàäàþò çíàчительной мàññîé è ãàáàðèòàìè. Àêòèâíûå RÑ-öåïè â принципе äопускàют микроминиàтюризàöèþ, ÷òî ÿâляется их яâ- íûì äостоинстâом. Сущестâенным же неäîñòàòêîì ARÑ-цепей яâ- ляется их относительно низкàÿ ñòàбильность, относительно âы- сокий уроâень собстâенных шумоâ и нелинейных искàжений. Поэтому ARÑ-цепи применяются â îñíîâíîì â îáëàсти низких чàстот приблизительно äî 100 êÃö. Íà более âысоких чàñòîòàх применяются ARÑ-öåïè íåâысоких поряäêîâ. Íèæå êðàòêî îïèñàíû ìåòîäы синтезà ARÑ-цепей, которые нàшли применение нà ïðàктике.

Èìèòàöèÿ â RLC-цепях инäóêòèâностей их электронными экâèâàëåíòàìè. Сущестâóþò àêòèâíûå ìíîãополюсники, нàçûâàе- мые обобщенными преобрàçîâàтелями сопротиâлений, которые, бу- äó÷è íàãруженными нà емкости или резисторы, реàлизуют нà ñâî- èõ âõîäíûõ çàæèìàх некоторую цепь, состоящую из инäóêòèâностей. В простейшем случàå èíäóêòèâность можно реàëèçîâàòü íà- ãруженным нà емкость ãèðàтором (ñì. § 3.11). Äàííûé ìåòîä ñèí-

438

òåçà ARÑ-öåïè ñâîäится к синтезу пàññèâíîé RLC-цепи с после- äующей зàменой âñåõ èíäóêòèâностей их электронными экâèâàëåí- òàìè.

Синтез ARC-цепей ïî ìîäåëÿì. Ýòîò ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ARÑ-ñõåìà, состоящàÿ èç îäíîãо или нескольких àêòèâных элементоâ и некотороãî RÑ-ìíîãополюсникà. Ìåòî- äàìè àíàëèçà электрических цепей нàõîäèòñÿ îïåðàòîðíàÿ ïåðåäà- òî÷íàя функция, âûðàæåííàя через пàðàметры RÑ-ìíîãополюс- никà è àêòèâíîãо элементà. Ñðàâíèâàÿ çàäàííóþ ïåðåäàточную функцию с полученной, опреäеляют пàðàметры синтезируемой схемы (ìåòîä âûðàâíèâàния коэффициентоâ). ×àùå âñåãî â êà÷åñòâå àêòèâíîãо элементà âûáèðàют ОУ с бесконечным коэффициентом усиления и зàäàются структурой мноãополюсникà.

Àíàлиз цепей с ОУ рàссмотрен рàíåå (ï. 14.1) è îñíîâûâàåòñÿ íà çàìåíå ÎÓ çàâисимым источником. Соãëàсно этому метоäу сформулируем àëãоритм нàõîæäåíèÿ îïåðàторных переäàточных функций цепей с ОУ. Он состоит из слеäующих шàãîâ:

1.Êî âõîäó öåïè ïîäключить кàкой-либо источник.

2.Çàменить âñå ÎÓ èõ ñõåìàìè çàмещения (зàâисимыми источ- никàми) с конечным коэффициентом усиления Íó.

3.Любым метоäîì àíàëèçà цепей опреäелить изобрàжение по

Ëàïëàñó âõîäíûõ (U1(p) èëè I1(p)) è âûõîäíûõ (U2(p) èëè I2(p)) íàпряжений и токоâ.

4. Взять отношение нàéäенных изобрàжений и â этом отношении сäåëàòü ïðåäельный перехоä ïðè Íó → ∞.

Пример. Çàäàäèìñÿ ìîäåëüþ, ïîêàçàííîé íà рис. 16.15. При коэффициенте усиления ОУ, стремящемся к бесконечности, оперàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция примет âèä (ñì. § 3.11 è ãë. 14):

H ( p ) =	U	( p )	=				−YY
	2						1	2			.
	U	( p )		Y	(Y + Y + Y + Y ) + Y Y
	1		3		1	5	2	4	2	4

Пусть Y1 = G1, Y2 = G2, Y4 = G4, Y5 = pC5, Y3 = pC3, òîãäà

H ( p ) =				−G2G1							.	(16.27)
	p2C C + pC			(G	2	+ G	4	+ G ) + G G		4
3		5	3					1	2

Òàêèì îáðàçîì, äàнной схемой можно реàëèçîâàòü ïåðåäàточную функцию

âèäà

H ( p ) = H (p2 + α p + β ).

(16.28)

Èç ñðàâнения âûðàжений (16.27) и (16.28) слеäóåò, ÷òî

H = G2G1C3C5, α = (G2 + G4 + G1 )C5 , β = G2G4 C4C5 .

Полученнàя системà èç òðåõ óðàâнений соäержит шесть неизâестных. Онà имеет множестâо решений. Нàложим äополнительные оãðàничения нà íåèç- âестные. Пусть G1 = G2 = G3 = G4 = G, òîãäà системà óðàâнений преобрàзуется к âèäó

439

Y 4

Y 3

+

Y 1

Y 2

∞

+

U1

Y 5

+

U 2

Ðèñ. 16.15

H = G2C3C5, α = 3GC5 , β = GC4C5 .

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî C5 = 3G/α, C3 = α/3β, Í = β. Çàäàâшись конкретным

çíàчением G, íàéäåì C3 è C5.

Åñëè ïðîâîäимостям исхоäной схемы приписàòü äðóãèå çíàчения, то можно реàëèçîâàть множестâî ðàзличных функций.

Êàñêàäíàÿ ðåàëèçàöèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâлении зàäàííîé ïåðåäàточной функции â âèäе произâåäения множителей обычно âòîðîãî, à èíîãäà ïåðâîãî ïîðÿäêîâ. Òàкие функции â силу их простоты несложно реàëèçîâàòü â âèäå àêòèâной схемы, которую нà- çûâàþò çâåíîì. Çàтем полученные четырехполюсники âêëþ÷àþò êàñêàäно, причем тàк, чтобы âçàимное âлияние зâåíüåâ было пренебрежимо мàëî. Ýòî äîñòèãàåòñÿ äâумя способàìè: ëèáî âклю- чением межäó çâеньями специàльных буферных (рàçâÿçûâàþùèõ) àêòèâных четырехполюсникоâ (íàпример, поâторителей нàпряжений), или тàêèì âыбором зâåíüåâ, при котором отношение âûõîä- íîãî è âõîäíîãо сопротиâлений зâåíüåâ â месте соеäинения стремилось либо к нулю, либо к бесконечности. Друãèìè ñëîâàìè, äàн- ные сопротиâления äолжны резко отличàòüñÿ äðóã îò äðóãà. Íà- пример, если âûõîäное сопротиâление преäûäóùåãî çâåíà стремится к нулю, то âõîäное сопротиâление послеäóþùåãî çâåíà äолжно стремиться к бесконечности и нàоборот.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Èç êàêèõ ýòàïîâ состоит синтез электрических цепей?

2.Сформулируйте услоâия физической реàлизуемости переäàточ- ных функций, АЧХ и ФЧХ, âременных′ функций и âõîäных функций электрических цепей.

3.В чем состоит отличие метоäîâ àппроксимàöèè ïî ðàзличным критериям близости: интерполяции, по Тейлору, по Чебышеâó è ñðåäíåêâàäðàтической àппроксимàöèè?

4.Аппроксимироâàòü ìåòîäом интерполяции зàâисимость ξ(x) = = e 0,5x íà интерâàëå 0,5 x 2 полиномом âторой степени

440