Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Вопросы и задания для самопроверки

1.Êàêèì îáðàçîì â àâòîãåíåðàòîðå (ðèñ. 15.2) âозникàþò ñòàöèî- íàðíûå ãàрмонические колебàíèÿ?

2.Пояснить принцип рàáîòû àâòîãåíåðàòîðà ïî ðèñ. 15.3.

3.Êàêèå òèïû àâòîãåíåðàòîðîâ сущестâóþò? Êàê ðàáîòàþò ýòè ãå- íåðàòîðû?

4. Сформулироâàòü óñëîâèÿ ñàìîâозбужäåíèÿ àâòîãåíåðàòîðîâ: à) ñ òðàнсформàторной обрàòíîé ñâÿçüþ; á) èíäóêòèâной трехточки; â) RC-ãåíåðàòîðà с лестничной цепью обрàòíîé ñâÿçè; ã) RC-ãåíåðàòîðà с мостом Винà.

5.Ïðîâерить, произойäåò ëè ñàìîâозбужäåíèå àâòîãåíåðàòîðà (ðèñ. 15.2), åñëè L = 200 ìêÃí, Ì = 50 ìêÃí, Rp = 10 êÎì, Scp = 1 ìÀ/Â.

Îòâåò: äà.

6. ßâляется ли цепь нà ðèñ. 15.4, á àâòîãåíåðàтором, если Hó = 2,5; L1 = 30 ìêÃí; L2 = 10 ìêÃí?

Îòâåò: íåò.

7.Ðàссчитàòü çíàчение крутизны хàðàктеристики трàнзисторà, при котором произойäåò ñàìîâозбужäåíèå RC-àâòîãåíåðàòîðà с лестничной цепью обрàòíîé ñâÿçè, åñëè RÊ = 0,5 êÎì.

Îòâåò: Scp > 58 ìÀ/Â.

8.Êàê ðàссчитыâàåòñÿ ÷àñòîòà ãенерируемых колебàíèé â àâòîãå- íåðàòîðàõ ðàçíûõ òèïîâ?

9.Ðàссчитàòü ÷àстоту ãåíåðàции колебàíèé â RC-ãåíåðàторе с мостом Винà, åñëè C1 = C2 = 7 íÔ, R1 = R2 = 10 êÎì.

Îòâåò: fã = 2,27 êÃö.

10.Êàêèìè áóäóò ãðàôèêè çàâисимости среäней крутизны (или коэффициентà ïåðåäàчи усилителя) от àмплитуäû íàпряжения нà âõîäе усилителя при рàзных положениях рàбочей точки нà ÂÀÕ (â ñåðåäине линейноãî ó÷àñòêà è íà нижнем зàãèáå)?

Íó
40
30
20
10
0	0,2	0,4	0,6	0,8	Um ÁÝ , Â
		Ðèñ. 15.23

411

11.Сформулироâàòü óñëîâèÿ áàëàíñà àмплитуä è áàëàíñà ôàç â óñòàíîâèâшемся режиме.

12.Êàêèì îáðàзом по колебàтельной хàðàктеристике (рис. 15.13) опреäеляется àмплитуäà ñòàöèîíàрных колебàíèé?

13.Îïðåäелить àмплитуäó ñòàöèîíàðíîãо колебàíèÿ íà âûõîäå RC-ãåíåðàòîðà с лестничной цепью обрàòíîé ñâÿçè, åñëè

Scp = 14,5 ìÀ/Â, RÊ = 2 кОм, колебàтельнàÿ õàðàктеристикà изобрàæåíà íà ðèñ. 15.23.

Îòâåò: Um âûõ = 11,6 Â.

14.Ïðè êàêèõ óñëîâиях режим сàìîâозбужäåíèÿ àâòîãåíåðàòîðà ÿâляется мяãким (жестким)?

15.В чем отличие мяãêîãо режимà ñàìîâозбужäåíèÿ àâòîãåíåðàòî- ðà от жесткоãо режимà? Пояснить по ãðàôèêàì ðèñ. 15.8 è ðèñ. 15.9.

16.Êàêèì îáðàçîì îáúåäинить äостоинстâà ìÿãêîãо и жесткоãо режимоâ ñàìîâозбужäåíèÿ?

ГЛАВА 16. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

16.1. Постановка задачи синтеза

Линейные устройства систем передачи информации. Ïðåäûäó- ùèå ãëàâû ïîñâящены â îñíîâном проблеме àíàëèçà электрических цепей. В них рàññìàòðèâàëèñü ìåòîäû àíàëèçà è íà èõ îñíîâå èçó- ÷àëèñü ñâîéñòâà электрических цепей. Друãой проблемой яâляется созäàние устройстâ и систем, облàäàþùèõ çàäàнными сâîéñòâàìè, ÷òî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå çàäàчи синтезà электрических цепей. В послеäующих ãëàâàõ ðå÷ü ïîéäет о синтезе конкретных линей-

À
Àð max = 1 äÁ		Àð min = 40 äÁ
ωï	ωç	ω
	Ðèñ. 16.1

412

ных устройстâ, ÿâляющихся состàâíîé ÷àстью систем переäàчи информàöèè.

Электрические фильтры это четырехполюсники, которые с пренебрежимо мàëûì îñëàблением пропускàют колебàíèÿ â îïðåäеленном äèàïàçîíå (äèàïàçîíàõ) ÷àñòîò è ïðàктически не пропускàют колебàíèé â äðóãèõ äèàïàçîíàõ. Íà ðèñ. 16.1 ïðè- âåäåíà типичнàÿ õàðàктеристикà ðàáî÷åãî îñëàбления ФНЧ. Для äàííîãо примерà îñëàбление â полосе чàñòîò 0 ... ωï íå ïðåâû- øàåò 1 äÁ, à â полосе чàñòîò ωç ... ∞ îñëàбление преâûøàåò 40 äБ. Полосà ÷àñòîò, â которой ослàбление относительно мàëî, íà- çûâàåòñÿ полосой пропускàíèÿ; полосà ÷àñòîò, â которой ослàб- ление относительно âелико, нàçûâàåòñÿ полосой зàäåðæèâàíèÿ. Ìåæäу полосàми пропускàíèÿ è çàäåðæèâàíèÿ íàõîäится полосà ðàсфильтроâки (перехоäíàя полосà). В этой полосе требоâàíèÿ íà îñëàбление не зàäàются. Электрические фильтры служàò äëÿ âûäеления колебàíèé â необхоäимой полосе чàñòîò. Íàпример, â àнтенне сущестâуют колебàíèÿ, âûçâàííûå ðàботой мноãèõ ðà- äèîñòàíöèé. Êàæäàÿ ðàäèîñòàíöèÿ ðàáîòàåò â ñâоей полосе чàñ- òîò. Ðàäиоприемник с помощью фильтроâ âûäеляет колебàíèÿ â æåëàåìîì äèàïàçîíå ÷àñòîò. Äëÿ òîãо, чтобы былà âозможность послеäîâàтельно принимàòü ðàзличные рàäèîñòàнции, фильтр необхоäимо перестрàèâàòü. Âðàщение ручки нàстройки рàäиоприемникà ïðèâîäит к смещению полос пропускàíèÿ è çàäåðæè- âàíèÿ. Òà æå èäея положенà â îñíîâó ðàçäеления телефонных кàíàëîâ â àíàëîãîâûõ ìíîãîêàíàльных системàõ ïåðåäàчи. Фильтрàми можно формироâàòü ñèãíàлы сложной формы, уменьшàть пульсàöèè íàпряжения или токà â источникàõ ïèòà- íèÿ.

Корректоры линейных искàжений или просто корректоры это четырехполюсники, служàùèå äля компенсàции линейных искàжений. В § 9.6 приâåäåíû óñëîâия безыскàженной переäà÷è. Íà ïðàктике эти услоâèÿ âыполняются äàëåêî íå âñåãäà, âñëåäñò- âèå ÷åãî âозникàþò àмплитуäíî-÷àстотные è ôàçî-÷àстотные èñ- êàжения. Для тоãо чтобы обеспечить услоâия безыскàженной переäàчи и применяются корректоры. Линейные искàжения чàсто корректируются рàçäельно. Амплитуäными корректорàми компенсируются àмплитуäíî-÷àстотные èñêàжения, à ôàçîâûìè ôàçî-÷àстотные. Корректоры моãут быть постоянными, коãäà èõ õàðàктеристики не меняются â процессе рàáîòû èëè àâòîìàтиче- скими (àäàïòèâíûìè), êîãäà при изменении пàðàметроâ ñðåäû ïåðåäà÷è (íàпример линий) хàðàктеристики корректорà àâòîìà- тически тàкже изменяются.

Линии зàäержки это четырехполюсники, которые â некотором äèàïàçîíå ÷àстот имеют с зàäàнной степенью точности линейную фàçî-÷àстотную хàðàктеристику или постоянное ãруппоâîå

413

âремя пробеãà. Линии зàäержки применяются кàк элемент устройстâ, íàпример, ãàрмонических корректороâ.

Требования к цепи, этапы синтеза. Требоâàния к электриче- ской цепи можно рàçäелить нà îñíîâíûå è äополнительные. Осноâ- ные требоâàíèÿ îïðåäеляют целеâîå íàçíàчение синтезируемой цепи. Электрические сâîéñòâà линейной цепи полностью описыâà- þòñÿ âî âременной облàсти перехоäíîé g(t) или импульсной h(t) õàðàктеристикàìè, à â ÷àстотной облàñòè àмплитуäíî- è ôàçî- ÷àстотными хàðàктеристикàми. Поэтому осноâные требоâàíèÿ ïðåäúÿâляются либо к чàстотным, либо к âременным хàðàктеристикàì áóäóùåé öåïè.

Дополнительные требоâàíèÿ çàâèñÿò îò óñëîâèé ðàáîòû ñîçäà- âàемых устройстâ. К ним относятся оãðàничения нà ìàññó è ãàáà- ðèòû, ÷óâñòâительность хàðàктеристик к изменению элементоâ, темперàтурную нестàбильность, элементный бàçèñ (íàпример, â ðÿ- äå ñëó÷àåâ нежелàтельно применение кàтушек инäóêòèâности), à òàкже требоâàния простоты процессà íàстройки â óñëîâиях произ- âîäñòâà è ò. ä. ×àñòü äополнительных требоâàний носит обязàтельный хàðàêòåð, à ÷àñòü ïîäëåæàт оптимизàции (минимизàöèè èëè ìàксимизàции) при прочих рàâíûõ óñëîâèÿõ. Òàê, âозможен слу- чàé, êîãäà требоâàíèÿ ïî ÷óâñòâительности äолжны âыполняться безуслоâíî, à ãàáàðèòû è ìàññà минимизируются.

 êëàссической постàíîâêå çàäà÷à синтезà ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ýòàïà: çàäà÷ó àппроксимàöèè è çàäà÷ó ðåàëèçàöèè.

Решение çàäà÷è àппроксимàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè òà- кой функции, которàÿ, ñ îäной стороны, уäîâëåòâоряет постàâленным требоâàíèÿì, à ñ äðóãîé óäîâëåòâоряет услоâиям физиче- ской реàлизуемости хàðàктеристик (âременных или чàстотных) электрических цепей.

Решение çàäà÷è ðåàëèçàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäении электрической цепи, âременнáÿ èëè ÷àстотнàÿ õàðàктеристикà которой соâïàäàет с функцией, нàéäенной â результàте решения зàäà÷è àп- проксимàöèè.

16.2. Условия физической реализуемости

Синтез электрических цепей можно âыполнить âî âременнóé îáëàñòè, êîãäà требоâàíèÿ çàäàются к перехоäной или импульсной хàðàктеристике, и â ÷àстотной облàñòè, êîãäà требоâàíèÿ çàäàþòñÿ ê àмплитуäíî-÷àстотной хàðàктеристике (АЧХ) и ФЧХ цепи. При этом требоâàíèÿ ÷àñòî çàäàются только к АЧХ цепи, à ФЧХ не контролируется. Очеâèäíî, íå ëþáàÿ âещестâåííàя функция может быть реàëèçîâàíà â âèäå âременнóé õàðàктеристики цепи и не лю- бàя комплекснàя функция может быть реàëèçîâàíà â âèäå âõîäíîé èëè ïåðåäàточной функции.

414

Óñëîâèÿ, ïðè âыполнении которых зàäàííàя функция может быть реàëèçîâàíà êàê õàðàктеристикà öåïè, íàçûâàþòñÿ óñëîâиями физической реàлизуемости (ÓÔÐ). Äàííûå óñëîâèÿ çàâèñÿò îò òîãî, èç êàких элементоâ ïðåäïîëàãàется синтезироâàòü öåïü, ò. å. ÓÔÐ çàâисят от элементноãî áàçèñà. Íèæå áóäóò ðàññìàòðèâàться линейные àêòèâíûå è ïàññèâíûå RLC-цепи с сосреäоточенными и незàâисящими от âремени пàðàìåòðàìè. Ðàссмотрим УФР äàнных цепей.

Условия физической реализуемости передаточных функций. Â

ãë. 7 ïîêàçàíî, ÷òî âõîäíûå èëè ïåðåäàточные функции яâляются äробно-рàöèîíàльными функциями с âещестâенными коэффициен- тàìè (7.41):

H ( p ) =	a		n		pn + a	n−1	pn−1 + K + a p + a		0
								1		.
	b
		m		pm + b		m−1		pm−1 + K + b p + b
								1	0

Äëÿ òîãо, чтобы äробно-рàöèîíàëüíàя функция с âещестâенными коэффициентàìè ÿâëÿëàсь с точностью äо постоянноãо множителя переäàточной функцией четырехполюсникà, необхо- äèìî è äîñòàточно, чтобы онà óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèÿì, îïèñàí- íûì â § 7.4:

1)полином знàìåíàòåëÿ äолжен быть полиномом Гурâèöà;

2)степень полиномà числителя не äîëæíà ïðåâûøàть степени полиномà çíàìåíàòåëÿ.

В терминàх нулей и полюсоâ ýòè äâà óñëîâèÿ ìîãут быть сформулироâàíû ñëåäующим обрàçîì:

1)полюсы переäàточной функции äолжны нàõîäиться â ëåâой полуплоскости;

2)отсутстâуют полюсы â нуле и бесконечности.

Íà положение нулей никàêèõ îãðàничений не нàêëàäûâàåòñÿ. Ýòè äâà óñëîâèÿ îïðåäеляют услоâия устойчиâîé öåïè.

Если некоторàÿ äробно-рàöèîíàëüíàя функция уäîâëåòâоряет приâåäенным услоâèÿì, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà óäîâëåòâоряет услоâиям физической реàлизуемости.

Структурà четырехполюсникà может нàêëàäûâàòü äополнительные оãðàничения. Тàê ÷àñòî ïðåäñòàâляют интерес четырехполюсники, не соäåðæàùèå âçàимных инäóêòèâностей и имеющие общий проâîä ìåæäó âõîäíûì è âûõîäíûì çàæèìàми, т. е. трехполюсники или неурàâíîâешенные четырехолюсники. Тàêèå öåïè äолжны äополнительно уäîâëåòâорять óñëîâèÿì Ôèàëêîâà Герстà, формулируемым слеäующим обрàçîì: äля трехполюсных цепей без

âçàимной инäóêòèâности коэффициенты числителя переäàточ- ной функции не отрицàтельны и не преâûøàþò ñîîòâåòñòâующих коэффициентоâ çíàìåíàòåëÿ. Ýòî îçíà÷àет, что отсутстâóþò íóëè íà положительной âещестâенной полуоси.

415

Äàльнейшие оãðàничения, нàêëàäûâàåìûå íà структуру четырехполюсникà, ïðèâîäÿò ê äополнительным оãðàничениям нà положение нулей. Тàк, нули лестничных схем моãóò íàõîäиться только â ëåâой полуплоскости комплексной переменной ð. Îãðàничения нà ñâîéñòâà ïåðåäàточных функций âûçûâàþòñÿ òàêæå âèäом элементоâ. Òàê, â RÑ-цепях полюсы моãóò ðàñïîëàãàться только нà отрицàтельной âещестâенной полуоси. В лестничных RÑ-цепях нà отрицàтельной âещестâенной полуоси рàñïîëàãàþòñÿ êàк полюсы тàê è íóëè.

Условия физической реализуемости модуля и аргумента комплексной передаточной функции. Если переменнàÿ ð принимàет только мнимые знàчения ð = jω, òî îïåðàторные функции преâðà- ùàþòñÿ â комплексные функции âèäà:

H ( jω ) = an ( jω)n + an−1 ( jω )n−1 + K + a1 ( jω)1 + a0 , bm ( jω)m + bm−1 ( jω)m−1 + K + b1 ( jω )1 + b0

Учитыâàÿ, ÷òî j2 = 1, j3 = j, j4 = 1 è ò, ä., комплексную переäàточную функцию можно зàïèñàòü ñëåäующим обрàçîì (ñì. § 7.4):

H ( jω ) =		P1 ( ω ) + jP2 ( ω )
				,	(16.1)
		Q	( ω ) + jQ ( ω)
	1		2
ãäå	( ω ) = a0 − a2ω2 + a4ω4 − K;
P1					(16.2)
P2 ( ω) = a1ω − a3ω3 + a5ω5 − K;					(16.3)
Q1 ( ω ) = b0 − b2ω2 + b4ω4 − K;					(16.4)
Q2	( ω) = b1ω − b3ω3 + b5ω5 − K;				(16.5)

Ëþáàя комплекснàя функция может быть преäñòàâëåíà â âèäå (ñì. § 7.4)

H ( jω ) = H ( jω) e jϕ( ω ),

ãäå | H(jω)| À×Õ, à ϕ(ω) Ô×Õ öåïè.

Ìîäóëü ïåðåäàточной функции H(jω) ñîãëàñíî (7.43)

H ( jω )			P2	( ω ) + P2	( ω)
	=		1	2		.		(16.6)
			Q2	( ω ) + Q2	( ω )
			1	2

В синтезе цепей чàсто пользуются понятием кâàäðàòà ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции | H(jω)| 2. Ýòî ïîçâоляет избàâиться от ир- рàöèîíàльных функций. Нà îñíîâàнии формул (16.1) (16.4) леã- êî ïîêàçàòü, ÷òî êâàäðàò ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции â общем âèäе может быть преäñòàâëåí ñëåäующим обрàçîì (7.45):

416

H ( jω)

2

P12 ( ω) + P22 ( ω)

c

n

+ c

ω2

+ c

n−2

ω4

+ K + c

ω2n

=

=

n−1

0

.

Q2

( ω) + Q2

( ω)

d

m

+ d

ω2

+ d

ω4

+ K + d

ω2m

1

2

m−1

m−2

0

Èç ÓÔÐ îïåðàторных функций слеäóåò ÓÔÐ êâàäðàòà ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции:

1)| H(jω)| 2 ÷åòíàÿ, äробно-рàöèîíàëüíàя функция;

2)n m;

3)полиномы числителя и знàìåíàтеля неотрицàтельны нà âå- ùåñòâенной полуоси.

Íàéäåì àðãумент комплексной переäàточной функции. Из

(16.1) ñëåäóåò, ÷òî
	H ( jω ) =				( PQ + P Q		)	+ j ( P Q − P Q	)	,
					1 1 2 2			2 1 1 2
						P2		+ Q2
							1	2
òîãäà					ϕ ( ω) = arctg D( ω),
ãäå D( ω ) =		P2Q1 − Q2P1				.
		PQ + P Q
	1		1	2	2

Функция D(ω) íàçûâàется функцией уãëà èëè òàíãåíñ-ôóíê- öèåé. ÓÔÐ òàíãенс-функции ñëåäóåò èç ÓÔÐ îïåðàторных функций. Тàíãенс-функция äîëæíà óäîâëåòâорять слеäующим услоâèÿì:

1)D(ω) нечетнàÿ äробно-рàöèîíàëüíàя функция;

2)коэффициенты D(ω) äолжны быть âещестâенными.

Условия физической реализуемости временных функций цепи.

Êàк уже отмечàëîñü, â çàâисимости от конкретно решàåìîé çàäàчи, электрические цепи уäобно описыâàòü ëèáî ÷àстотными хàðàктеристикàìè, ëèáî âременными. Тàк, при построении мноãîêàíàльных систем переäà÷è ñ ÷àстотным рàçäелением кàíàëîâ óäобно пользоâàòüñÿ ÷àстотными хàðàктеристикàìè, à â цифроâых систе- мàõ ñâÿçè, ãäе применяется âременное рàçäеление кàíàëîâ, óäобно описыâàть электрические цепи âременными хàðàктеристикàìè. Ê âременным хàðàктеристикàм относятся (см. § 8.1) перехоäíàÿ g(t) и импульснàÿ h(t) õàðàктеристики. Нàпомним, что перехоäíàÿ õà- ðàктеристикà численно рàâíà отклику (реàêöèè) öåïè íà åäиничное âîçäåéñòâèå 1(t), â êà÷åñòâе котороãо может быть либо ток, либо нàпряжение. Отклик тàкже может быть либо током, либо нàпряжением, поэтому, кàê è â ñëó÷àå ïåðåäàточных функций сущестâу- ет четыре типà перехоäíûõ õàðàктеристик (ãë. 8) gu(t), gi(t), gY(t), gz(t). Ïåðâûå äâå õàðàктеристики яâляются безрàзмерными, третья имеет рàзмерность проâîäимости, à ÷åòâåðòàя сопротиâления.

Импульснàÿ õàðàктеристикà численно рàâíà отклику цепи нà δ-функцию. Сущестâóåò òàкже четыре типà импульсных хàðàê-

417

теристик (ãë. 8): hu(t), hi(t), hY(t), hz(t). Êàê ïîêàçàíî â ãл. 8. импульснàя и перехоäíàÿ õàðàктеристики âûðàæàþòñÿ îäíà ÷å-

ðåç äðóãую, поэтому они не яâляются незàâисимыми (см. § 8.1). Для описàíèÿ öåïè äîñòàточно знàòü îäну из них. Применение тоãî èëè äðóãîãî îïèñàíèÿ öåïè çàâисит от конкретной зàäà÷è.

Óñëîâия физической реàлизуемости äàííûõ õàðàктеристик сле- äóåò èç ñâîéñòâ îïåðàторных переäàточных функций. Дейстâи- тельно, тàê êàк изобрàжение по Лàïëàсу перехоäной и импульсной хàðàктеристик имеет соотâåòñòâåííî âèä

	g (t )	1	H ( p ); h (t ) H ( p ),
		p

òî g(t) è h(t) ëåãêî íàйти с помощью теоремы рàзложения (§ 7.2). Из этой теоремы слеäóåò, ÷òî g(t) состоит из слàãàåìûõ âèäà

Ae−αt;								ü
A e−αt	cos wt + A e−αt sin wt;							ï
								ï
1	2	−αt							(16.7)
( B1 + B2t + K + Bsts−1 )e			;					ý
							sin wt )	ï
¢	¢¢		¢	s−1	¢¢	s−1		e−αt.ï
(C1 cos wt + C1 sin wt + K + Cst					cos wt + Cst			þ

Функция h(t), кроме перечисленных слàãàемых, может соäåð- æàòü ñëàãàåìîå d(t) (ñì. (8.3)).

Ñëàãàåìîå, ïðèâåäенное â ïåðâой строке (16.7) соотâåòñòâует простым âещестâенным, âî âторой строке простым комплексносопряженным, â третьей крàòíûì âещестâенным, à â ÷åòâертой крàтным комплексно-сопряженным полюсàì ïåðåäàточной функции Í(ð).

Íà îñíîâàнии изложенноãî ëåãко сформулироâàть УФР перехоäных и импульсных хàðàктеристик: åñëè h(t) è g(t) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäе суммы перечисленных âûøå ñëàãàå- ìûõ è ïðè ýòîì âсе коэффициенты яâляются âещестâенными, à a > 0, òî h(t) è g(t) áóäóò óäîâëåòâорять УФР.

Условия физической реализуемости входных функций (âõîä- ных сопротиâлений Z(p) è ïðîâîäимостей Y(p)).

Возникàåò âопрос: âсякому ли âûðàжению Z(p) можно сопостàâèòü ðåàльный, т. e. физически осущестâèìûé äâухполюсник. Очеâèäно, если синтезируется реàêòèâíûé äâухполюсник, то функция Z(p) äîëæíà îòâå÷àòü ñâîéñòâàì âõîäíîãо сопротиâления реàêòèâíûõ äâухполюсникоâ: áûòü äробно-рàöèîíàëü- íîé ñ âещестâенными коэффициентàми и степенями числителя и знàìåíàтеля, отличàющимися не более чем нà åäиницу; нули и полюсы этой функции äолжны череäîâàòüñÿ íà мнимой оси плоскости ð (ñì. § 4.5).

418

При синтезе RLC-äâухполюсникоâ функция Z(p) äîëæíà îáëà- äàòü ñâîéñòâàìè âõîäíîãо сопротиâления этих äâухполюсникоâ. Âõîäные функции тàких четырехполюсникоâ относятся к клàññó òàê íàçûâàåìûõ положительных âещестâенных функций (ПБФ), которые уäîâëåòâоряют слеäующему äополнительному услоâèþ: Re[Z(p)] 0 èëè Re[Y(p)] 0 ïðè α > 0.

Можно покàçàть, что положительные âещестâенные функции âñåãäà ïðåäñòàâляют собой отношение äâух полиномоâ Ãóðâèöà, степени которых отличàются не более, чем нà åäиницу, т. e. нули и полюсы рàсположены â ëåâой полуплоскости. Кроме тоãо, если ПВФ имеет полюсы или нули нà мнимой оси (âêëþ÷àÿ ð = 0 è ð = ∞), то эти полюсы и нули яâляются âещестâенными и положительными.

×àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ öåïè, ñîäåðæàщие элементы только äâóõ âèäîâ: LC-, RC- è RL-öåïè. Îãðàничения нà âèä используемых элементоâ íàêëàäûâàþò äополнительные оãðàничения нà âõîäные функции. Тàк, нули и полюсы âõîäных функций LC-цепей нàõî- äÿòñÿ íà мнимой оси и череäуются. Анàëîãичным сâîéñòâîì îáëà- äàþò âõîäные функции RC- è RL-цепей с той лишь рàзницей, что их нули и полюсы нàõîäÿòñÿ íà отрицàтельной âещестâенной полуоси.

16.3.Нормирование элементов и частоты

Âсинтезе электрических цепей чàсто прибеãàют к нормироâà- нию элементоâ è ÷àстоты. Нормироâàíèå ÷àстоты уже âстречàëîñü ðàíåå, êîãäà ðàññìàòðèâàëèñü ÷àстотные хàðàктеристики колебà- тельных контуроâ (ãл. 4). Целесообрàзность применения нормиро- âàíèÿ ÿñíà èç ñëåäóþùåãо примерà. Пусть необхоäèìî ðàссчитàòü

÷àстотную хàðàктеристику сопротиâления послеäîâàтельноãî RLC- контурà ñ ïàðàìåòðàми элементоâ L = 10 5 Ãí, Ñ = 10 9 Ô, R =

=5 Îì. Äàнный контур имеет äобротность Q = 20, õàðàктеристи- ческое сопротиâление ρ = 100 Ом и резонàнсную чàстоту ωð =

=107 ñ 1. Ïðè ðàсчете сопротиâления äàííîãо контурà прихоäится оперироâàòü ñ âеличинàìè îò 10 9 äî 107, ÷òî íå âñåãäà óäобно. Выполним нормироâàние сопротиâлений и чàстоты. Для этоãî çà- пишем âûðàжение сопротиâления äàííîãо контурà:

Z = R + j ( ωL − 1ωC ).

Ðàçäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà íà некоторое нормирующее знàчение сопротиâления Rí, à âторое и третье слàãàемое умножим и рàçäåëèì íà некоторое нормирующее знàчение чàстоты ωí:

Z	=	R	+ j	ωωíL	− j	ωí	.
R		R
				ω R		ω ω CR
í		í		í í		í í

419

Ââåäåì ñëåäующие нàçâàния и обознàчения:

ZRí = Z нормироâàнное комплексное сопротиâление, ωωí = Ω нормироâàííàÿ ÷àñòîòà;

ωíL Rí = L	(16.8)
нормироâàííàÿ èíäóêòèâность;
ωíCRí = C	(16.9)
нормироâàííàя емкость;
R Rí = R	(16.10)

нормироâàнное резистиâное сопротиâление.

Величины ωí è Rí, âообще ãîâоря, можно âûáèðàть произâольно. В äàííîì ñëó÷àå óäобно положить ωí = ωð è Rí = ρ. Òîãäà ïàðà- метры нормироâàнных элементоâ принимàþò ñëåäующие знàчения:

R = 1, Ωp = 1, L = 1, C = 1.

Выполнение рàсчетоâ ñ òàкими числоâûìè çíàчениями уäобней, чем с ненормироâàнными âеличинàìè.

Сущестâóåò âòîðàя, более âàæíàя причинà, по которой применяют нормироâàíèå. Îíà ïðîÿâляется â синтезе цепей. Допустим, что â результàте сложных процеäур полученà некоторàя цепь с нормироâàнными знàчениями элементоâ. Истинные знàчения элементоâ îïðåäеляются из формул (16.8) (16.10) слеäующим обрàçîì:

L = LRí ωí ;	(16.11)
C = C ωíRí ;	(16.12)
R = RRí.	(16.13)

Изменяя ωí è Rí можно без âыполнения сложных процеäур получить схемы устройстâ, ðàáîòàþùèõ â ðàзличных äèàïàçîíàõ ÷à- ñòîò è ïðè ðàзличных нàãðóçêàõ. Ââåäение нормироâàíèÿ ïîçâолило созäàòü êàòàëîãи фильтроâ, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñâîäит сложную проблему синтезà фильтрà к элементàðíûì äåéñòâèÿì.

16.4. Чувствительность характеристик электрических цепей

Ïðåäположим, что кàêèì-òî îáðàзом синтезироâàн четырехполюсник. Еãî õàðàктеристики (чàстотные, или âременные) âûðàæàются через еãо элементы. Нàпример, нà ðèñ. 16.2 ïîêàçàíà простейшàÿ ñõåìà фильтрà. Åãî îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция имеет âèä

H ( p ) = 1 ( LCp2 + RCp + 1).

(16.14)

Êâàäðàò ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции

H ( jω ) 2 = 1((1 − LCω2 )2 + ( RCω)2 ).

420