Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

метры усилителя нà примере схемы, изобрàженной нà ðèñ. 14.2. Íà рис. 14.5 изобрàæåíà ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà ñ çàâисимым источ- ником нàпряжения с H-ïàðàìåòðàми при отсутстâèè âнутренней ОС (H12 = 0);

Hó =		H11	0				.
		H21	H22

Четырехполюсник ОС преäñòàâëåí â âèäе четырехполюсникà ñ ìàтрицей Hîñ-ïàðàметроâ

H	oc	=				H11oc	H12oc				.
						H21oc	H22oc

Çàпишем соãëàñíî (12.5) óðàâнения àêòèâíîãî è ïàññèâíîãî ÷å-

тырехполюсникоâ â H-ïàðàìåòðàõ:

U

= H

I

+ 0 ×U

ü

1

11

1

âûõ

ï

(14.5)

I¢2 = H

I +

H

U

ý,

ï

21

1

22

âûõ þ

U

= H

I

+ H

U

ü

oc

11oc

1

12oc

âûõ ï

(14.6)

I¢¢2

= H

I +

H

U

ý.

ï

21oc

1

22oc

âûõ þ

Ìàòðèöà H-ïàðàметроâ сложноãо четырехполюсникà îïðåäеляется

с учетом § 12.3 кàê

H =

H11

+ H11oc

0 + H12oc

.

(14.7)

H21

+ H21oc

H22 + H22oc

Поскольку â äàнной схеме (рис. 14.5) ОС преäíàçíà÷åíà äля получения нà âûõîäе четырехполюсникà îïðåäеленноãî íàпряжения Uîñ, òî îñíîâíîå çíàчение нà ñâîéñòâо усилителя äолжен иã-

ðàть коэффициент H12îñ. Учитыâàя, что цепь ОС отбирàåò ÷àсть полезной энерãèè èç íàãрузки необхоäимо стремиться, чтобы

H22îñ = H22. Кроме тоãî, äля уменьшения потерь âõîäíîãî ñèãíà- ëà íà âõîäном сопротиâлении цепи с ОС, необхоäèìî âыполнение

óñëîâèÿ H11 ? H11îñ. Если при этом учесть, что обычно H21 ? H21îñ è äëÿ ïàññèâíîé öåïè H12îñ < 1, то окончàтельно мàòðèöà H- ïàðàметроâ сложноãо четырехполюсникà с цепью ОС примет âèä

H =

H11

H12oc

.

(14.8)

H21

H22

Ïðè ýòîì óðàâнения переäà÷è H-ïàðàметроâ примут âèä (ðèñ. 14.5, á)

U

= H

I

+ H U

ü

âõ

11

1

12oc

âûõ ý.

(14.9)

I2

= H21I1

+ H22

U

âûõ

þ

С помощью системы урàâнений (14.9) можно опреäелить искомые зàâисимости токоâ è íàпряжений от пàðàметроâ цепи ОС. Можно,

361

â ÷àстности покàçàть, что отрицàтельнàя ОС (ООС) уменьшàет коэффициент переäà÷è ïî íàпряжению усилителя â k-ðàç, à âõîäное сопротиâление уâеличиâàåò â k-ðàç, ãäå

k = 1 - H12oc H21 ( H11 + Zã )( H22 + Yí ).

(14.10)

Òàê êàê ðàссмотренный тип ОС (послеäîâàтельной по нàпряжению) âåäåò ê óâеличению âõîäíîãо и уменьшению âûõîäíîãо сопротиâлений усилителя, то это позâоляет осущестâèòü òðàнсформàцию сопротиâлений, что используется äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ îò- äельных кàñêàäîâ усилителя.

Ñëåäóåò òàкже отметить, что коэффициент переäàчи ОУ с после- äîâàтельной ОС по нàпряжению при бесконечно большом коэффициенте усиления яâляется функцией только пàðàметроâ элементоâ öåïè ÎÑ.

 çàключении рàссмотрим âлияние ОС нà ñòàбильность коэффициентà усиления, кàê îñíîâíîãî ïîêàçàтеля усилителя.

Для отрицàтельной и âещестâенной ОС соãëàñíî óðàâнению (14.4) äля коэффициентà усиления усилителя можно зàïèñàòü

			H =			Hó				(14.11)
									.
				1 + Hó × Hoc
Ïðîäифференцируем (14.11) по Hó è Hîñ
	dH		1				dH			Hó2
		=			;			=			. (14.12)
	dHó		(1 + HóHoc )2				dHoc			(1 + HóHoc )

Îòñþäà относительнàÿ íåñòàбильность коэффициентà усиления с учетом (14.11) буäåò ðàâíà

dH

=

é

1

ù dHó

ëê

ûú

,

(14.13)

H

(1 + HóHoc )

Hó

dH

=

é

1

ù dHoc

ëê

ûú Hoc .

(14.14)

H

(

1 + 1 HóHoc )

Àíàëèç (14.13) ïîêàçûâàåò, ÷òî íåñòàбильность коэффициентà усиления усилителя с ОС â 1 (1 + Hó × Hoc ) ðàз меньше чем без ОС.

Ðàâåíñòâî (14.14) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè Hó ? 1Hoc dH » » dHoc Hoc , т. е. пропорционàëüíî íåñòàбильности коэффициентà

ïåðåäàчи цепи ОС, поэтому стàðàþòñÿ öåïü ÎÑ ñäåëàòü äîñòàточно стàбильной.

Àíàëîãичным обрàзом можно нàйти коэффициент переäàчи и исслеäîâàòü âлияние ОС нà ïàðàметры äðóãèõ ñõåì ñ ÎÑ (ñì. ðèñ. 14.1 á)ã)). Ïðè ýòîì íàäо иметь ââèäó, ÷òî â ñîîòâåòñòâующих âûðàжениях буäóò ôèãурироâàть не только комплексные коэффициенты переäà÷è ïî íàпряжению, но и по току, à òàêæå ïåðå-

362

äàточные комплексные сопротиâления и проâîäимости. Кроме тоãî óðàâнения переäà÷è ñîîòâåòñòâующих четырехполюсникоâ â çàâи- симости от типà ñîåäинения äолжны быть зàïèñàíû â Z èëè F- ïàðàìåòðàõ (ñì. § 12.2).

14.3. Примеры цепей с обратной связью

Масштабный усилитель с неинвертирующим входом. Íà ðèñ. 14.6,

à изобрàæåíà öåïü íà ÎÓ, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ìàñøòàáèðîâàíèÿ íàпряжения, à íà ðèñ. 14.6, á åå ñõåìà çàмещения с зàâисимым источником типà ÈÍÓÍ.  ãë. 2 äàííàÿ ñõåìà àíàлизироâàëàñü ìåòîäîì óçëîâых потенциàëîâ. Получим переäàточную функцию этой цепи кàê öåïè ñ îáðàòíîé ñâязью, используя формулу (14.4).

Цепью обрàòíîé ñâÿçè íà схеме рис. 14.6 служит Г-обрàçíûé äе- литель нàпряжения, состàâленный из резистиâных сопротиâлений R0 è R1. Âûõîäíîå íàпряжение усилителя U2 поступàåò íà âõîä öåïè ÎÑ (óçëû 2 4); íàпряжение ОС U3 ñíèìàется с резисторà R1 (óçëû 3 4). Ïåðåäàòî÷íàя функция по нàпряжению цепи ОС

Hoc = U3 U2 = R1( R0 + R1 ).

Воспользуемся формулой (14.4) и учтем, что âõîäíîå íàпряжение U1 è íàпряжение обрàòíîé ñâÿçè U3 не суммируются, à âû- ÷èòàþòñÿ. Òîãäà получим переäàточную функцию мàñøòàáíîãо усилителя:

H =	Hu			= 1	æ	1		+	R1	ö
					ç					÷.
	1 + H	H	oc			H	u		R + R
	u				è				0 1	ø

Учитыâàÿ, ÷òî â ðåàльных ОУ знàчение Hu ? 1, окончàтельно имеем:

H = 1 + R0 , R1

что, естестâåííî, ñîâïàäàет с результàтом, полученным â ãë. 2 ìåòîäîì óçëîâûõ íàпряжений.

R0

Hu

U1 R1

à)

				R0
	1					2
		3		+
U 2	U1			H	u	(U	1	_ U )	U 2
	R1		U3					3
			4	á)
	Ðèñ. 14.6

363

Звено на ОУ с частотно-зависимой ОС. Çâåíî òàêîãî âèäà ïðåä- ñòàâëåíî íà ðèñ. 14.7, à, à åãî ñõåìà çàмещения нà ðèñ. 14.7, á. Чтобы проàíàлизироâàть прямой путь прохожäåíèÿ ñèãíàëà и путь прохожäåíèÿ ñèãíàëà ОС, необхоäèìî âоспользоâàòüñÿ ìåòîäîì íàложения (см. § 2.3). Для этоãî ñëåäует поочереäно исключàть источники âõîäíîãî íàпряжения и нàпряжения обрàòíîé ñâÿçè, çà- меняя их âнутренним сопротиâлением. В случàå èäåàльных источ- никоâ íàпряжения (рис. 14.17, á) èõ âнутреннее сопротиâление рàâно нулю. Из схемы зàмещения слеäóåò, ÷òî íàпряжение U1, приложенное к зâåíó, îñëàбляется âõîäной цепью, преäñòàâляющей собой Ã-îáðàçíûé äелитель нàпряжения с сопротиâлениями Z1 è Z0 â ïëå÷àõ (ðèñ. 14.7, â). Ïåðåäàòî÷íàя функция по нàпряжению тàêîãî äелителя рàâíà

Hâõ = U3 U1 = Z0 ( Z0 + Z1 ).

Öåïü îáðàòíîé ñâÿçè (ðèñ. 14.7, ã) òàêæå ÿâляется Г-обрàçíûì

четырехполюсником с переäàточной функцией

Hoc = U2 U3 = Z1 ( Z0 + Z1 ).

Коэффициент усиления ОУ Hó = Hu.

 ñîîòâåòñòâии с формулой (14.4) получàåì, ïåðåäàточную

функцию зâåíà:

H =

Hó

= Z

Z0

×

-Hu

=

Hâõ 1 - H

ó

H

0

+ Z

1 + Hu

Z1

oc

1

Z

0

+ Z

1

Z0

æ 1

Z1

ö.

=

× ( -1)

+

Z0 + Z1

ç

Z0 +

÷

è Hu

Z1 ø

Z0

Z0

Z1

1

Z1

2

Hu

3

_Hu U3

U1

U 2

U1

U3

U 2

+

à)

4

á)

1

Z1

3

2

Z0

3

U1

Z0

U3

U2

Z1

U3

4

4

4

4

Входная цепь

Öåïü ÎÑ

â)

ã)

364

Ðèñ. 14.7

		C					C
R	R	K		1	R	R			4
						2		3	+
U1	C	Uâõ ó	U 2	U1		C		U3	Hu U3 U 2
	à)					C	5	á)
R		R						R
1			3	4						3
U1	C	C	Uâõ ó	U2			R		C	Uâõ ó
5			5	5						5
	â)							ã)
			Ðèñ. 14.8

Учитыâàÿ, ÷òî Hu ? 1, получàåì:

H = −Z0 Z1 .

(14.15)

Äàííîå çâено может âыполнять рàзличные функции â çàâисимо-

ñòè îò âèäà сопротиâлений Z0 è Z1. Ïðè Z0 = R0 è Z1 = R1 çâåíî ïðåâðàùàåòñÿ â èíâертирующий мàñøòàбный усилитель (см. ãë. 2);

ïðè Z0 = l /jωC è Z1 = R â èíòåãðàòîð; ïðè Z0 = R è Z1 = = l /jωC â äифференциàòîð (ñì. ãë. 3).

Звено второго порядка с регулируемым коэффициентом усиления. Ñõåìà çâåíà ïîêàçàíà íà ðèñ. 14.8, à. Усилитель с реãулируемым коэффициентом усиления Ê может быть âыполнен либо нà òðàнзисторных кàñêàäàõ, ëèáî íà ОУ по схеме рис. 14.6, a, ëèáî íà äðóãèõ àêòèâных элементàх. В схеме зàмещения нà ðèñ. 14.8, á îí ïðåäñòàâëåí èäåàльным ИНУН.

Àíàлиз прохожäåíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà è ñèãíàëà â öåïè ÎÑ ïîêàçûâàåò, ÷òî çâено имеет âõîäную цепь, изобрàженную нà ðèñ. 14.8, â è öåïü ÎÑ, ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 14.8, ã. Ïåðåäàточные функции этих цепей можно получить мàтричным метоäîì (ñì. ãë. 12), íàпример, рàññìàòðèâàÿ êàæäóþ öåïü êàê êàñêàäíîå ñîåäи- нение соотâåòñòâующих Г-обрàзных четырехполюсникоâ.

Äëÿ âõîäíîé öåïè (ñì. § 3.11)

	Hâõ ( p ) = 1 ( p2R2C2 + 3pRC + 1).					(14.16)
	Äëÿ öåïè ÎÑ
	Hoc ( p ) =	pRC			.	(14.17)
		p2R2C2	+ 3pRC + 1

С учетом (14.3) получим переäàточную функцию зâåíà

365

a0

a1

an

U1 å

ò

å

ò

å

å

ò

-b 0

-b 1

-bm-2

-bm-1

Ðèñ. 14.9

H ( p ) = Hâõ ( p ) ×

Hó

( p )

.

1

- Hó ( p ) Hîñ ( p )

U2

(14.18)

Коэффициент переäàчи усилителя Íó(ð) = Ê. Òîãäà, ïîäñòàâ- ëÿÿ (14.6) è (14,7) â (14.8), после преобрàçîâàний имеем

H ( p ) = K( p2R2C2 + pRC ( 3 - K ) + 1).

Моделирование передаточных функций общего вида. Ïåðåäà- òî÷íàя функция линейной цепи преäñòàâляется соãëàñíî (7.41) â âèäå ðàöèîíàльной äðîáè:

( p ) =

U

2

( p )

a

n

pn + a

pn−1

+ K + a p + a

0

H

=

n−1

1

. (14.19)

u

U1

( p )

pm + b pm−1

+ K + b p + b

m−1

1

0

Ïðèâåäя (14.9) к общему знàìåíàтелю, получим:

U2 ( p ) ( pm + bm−1pm−1 + K + b1p + b0 ) = = U1 ( p ) (anpn + an−1pn−1 + K + a1p + a0 ).

Ýòî ðàâåíñòâо можно переписàòü â âèäå

U2 ( p )

= U1

( p ) an

1

+ K + U1 ( p ) a0

1

-

p

m−n

p

m

-U

( p )b

1

- K - U

( p )b

1

- U

( p )b

1

.

m−1 p

2

2

1 pm−1

2

0 pm

Òàê êàê îïåðàöèè l /pm ñîîòâåòñòâóåò m-êðàòíîå èíòåãðèðîâàние, то послеäíåìó óðàâнению соотâåòñòâует структурнàÿ ñõåìà, изобрàæåííàÿ íà ðèñ. 14.9.

Òàêèì îáðàзом, с помощью интеãðàòîðîâ, ñóììàòîðîâ, ìàñøòàб- ных усилителей, умножителей может быть реàëèçîâàíà ïåðåäàòî÷- íàя функция Í(ð) äîñòàточно общеãî âèäà.

366

14.4. Устойчивость цепи с обратной связью

Ââåäем понятия устойчиâой и неустойчиâîé öåïè. Öåïü íàçû- âàåòñÿ устойчиâîé, åñëè ñâîáîäные колебàния с течением âремени стремятся к нулю. В протиâíîì ñëó÷àå öåïü íàçûâàåòñÿ неустой- чиâîé. Из теории перехоäных процессоâ (ãë. 6, 7) ñëåäóåò, ÷òî öåïü ÿâляется устойчиâой, если корни хàðàктеристическоãî óðàâ- нения лежàò â ëåâой полуплоскости комплексной переменной ð. Если корни тàêîãî óðàâнения лежàò â ïðàâой полуплоскости, то цепь яâляется неустойчиâîé, ò. å. îíà íàõîäèòñÿ â режиме сàìî- âозбужäåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäеления услоâий устойчи- âîñòè öåïè äîñòàточно нàéòè õàðàктеристическое урàâнение и еãо корни. Кàê âèäèì, óñëîâия устойчиâости можно опреäелить и не ââîäя понятие обрàòíîé ñâÿçè. Îäíàêî çäåñü âозникàåò ðÿä проблем. Дело â òîì, ÷òî âûâîä õàðàктеристическоãî óðàâнения и опреäеление еãо корней яâляются ãромозäкой процеäурой особенно äля цепей âысокоãî ïîðÿäêà. Ââåäение понятия обрàòíîé ñâÿçè îáëåã÷àет получение хàðàктеристическоãî óðàâнения или äàæå äàåò âозможность обойтись без неãî. Êðàéíå âàжно и то, что понятие обрàòíîé ñâÿçè àäåêâàтно физическим процессàì, âозникàþùèì â цепи, поэтому они стàíîâятся более нàãëÿäными. Глубокое пони- мàние физических процессоâ îáëåã÷àåò ðàáîòó ïî ñîçäàíèþ àâòî- ãåíåðàòîðîâ, усилителей и т. ä.

Ðàссмотрим цепь (см. рис. 14.2) и âûâåäåì åå õàðàктеристиче- ское урàâнение. Пусть uâõ(t) = 0 è, çíà÷èò, Uâõ(ð) = 0. Òîãäà èç (14.2) ñëåäóåò:

U	âûõ	( p ) é1 - H	oc	( p ) × H	ó	( p ) ù = 0.	(14.20)
		ë				û

Çäåñü Uâûõ(ð) ¹ 0 (â протиâíîì ñëó÷àе цепь нельзя считàòü âîçáó- æäенной) и поэтому рàâåíñòâî (14.20) âыполняется при услоâèè

1 - Hoc ( p ) Hó ( p ) = 0.

(14.21)

Åñëè çàïèñàòü ïåðåäàточную функцию осноâíîé öåïè â âèäå (7.41):

Hó ( p ) = w1 ( p )v1 ( p ), à öåïè ÎÑ Hoc ( p ) = w2 ( p )v2 ( p ), òî óðàâнение (14.11) перепишется слеäующим обрàçîì:

v1 ( p )v2 ( p ) - w1 ( p )w2	( p )	= 0.
v1 ( p )v2 ( p )
Ýòî ðàâåíñòâî âыполняется при
v1 ( p )v2 ( p ) - w1 ( p ) w2 ( p ) = 0.			(14.22)

Âûðàжение â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ÿâляется полиномом,

поэтому (14.22) можно зàïèñàòü â общем âèäå:
b	pm + b	pm−1 + K + b p + b = 0.		(14.23)
m	m−1	1	0

367

Ýòî è åñòü õàðàктеристическое урàâнение цепи.

Çàметим еще рàз, что точно тàêîå æå óðàâнение мы бы получи- ли, состàâëÿÿ äифференциàльное урàâнение по зàêîíàì Êèðõãîôà, êàê ìû ýòî äåëàли при изучении перехоäных процессоâ.

Корни урàâнения (14.23) â общем случàå ÿâляются комплексными âеличинàìè

p1, p2,K, pk,K, pm,

ãäå pk = αk + jωk. Çíàя корни хàðàктеристическоãî óðàâнения, можно зàïèñàòü âûõîäíîå íàпряжение (см. § 6.2):

uâûõ (t ) = A1ep1t + A2ep2t + K + Am epmt.

(14.24)

Чтобы нàпряжение uâûõ(t) íå âîçðàñòàëî áåçãðàнично, âсем корням p1, p2, ... , pm õàðàктеристическоãî óðàâнения необхоäèìî

иметь отрицàтельные âещестâенные чàсти, т. е. корни äолжны рàñ- ïîëàãàòüñÿ â ëåâой полуплоскости комплексной переменной ð = = α + jω. Öåïü ñ ÎÑ, îáëàäàþùàÿ òàêèìè ñâîéñòâàìè, íàçûâàåòñÿ àбсолютно устойчиâîé.

При исслеäîâàнии цепей с обрàòíîé ñâÿçüþ ìîãóò âозникàòü äâе проблемы. Если проектируемàÿ öåïü äîëæíà быть устойчиâой, то необхоäèìî ðàñïîëàãàть критерием, который по âèäу функций

Íó(ð) è Íîñ(ð) ïîçâîëÿë áû ñóäить об отсутстâии корней хà- ðàктеристическоãî óðàâнения â ïðàâой полуплоскости ð. Åñëè îá-

ðàòíàÿ ñâязь используется äëÿ ñîçäàния неустойчиâîé àâтоколебàтельной цепи, то слеäóåò óáåäиться, что корни урàâнения (14.23) рàсположены, нàоборот, â ïðàâой полуплоскости. При этом необхоäимо иметь тàêîå ðàсположение корней, при котором сàìî- âозбужäение происхоäèëî áû íà требуемой чàстоте.

Ðàссмотрим критерии устойчиâîñòè öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ.

Критерий устойчивости Рауса Гурвица. Он относится к àë-

ãåáðàическим критериям устойчиâîñòè è ïîçâоляет по знàчениям коэффициентоâ bò, bò 1, ..., b0 õàðàктеристическоãî óðàâнения (14.23), без опреäеления еãо корней, узнàòü ÿâляется ли исслеäóå- ìàя цепь устойчиâîé.

Критерий формулируется слеäующим обрàçîì: öåïü ñ îá- ðàòíîé ñâÿçüþ ÿâляется устойчиâîé, если полином хàðàктеристическоãî óðàâнения, ÿâляется полиномом Гурâèöà. При этом используется осноâíîå ñâîéñòâо полиномà Ãóðâèöà: âñå åãо корни нàõîäÿòñÿ â ëåâой полуплоскости комплексной переменной ð.

Äëÿ òîãо, чтобы мноãочлен b	pm + b	pm−1 + K + b p + b ÿâ-
m	m−1	1	0

лялся полиномом Гурâèöà, необхоäèìî è äîñòàточно, чтобы были положительными опреäелитель Рàóñà Ãóðâèöà:

368

			bm−1 bm−3 bm−5			L 0
			bm	bm−2 bm−4		L 0
	Dn−1	=	0	bm−1 bm−3		L 0	;
			0	bm	bm−2	L 0
			. . . . . . . . . . . . . .
			0	0	0	L b0

è âñå ãëàâные миноры этоãî îïðåäелителя.

Ïðè ñîñòàâлении опреäелителя Гурâèöà можно рукоâîäñòâî- âàòüñÿ ñëåäующим прàâèëîì.  ïåðâой строке зàïèñûâàются коэффициенты полиномà Ãóðâèöà через оäèí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî. Âî âторой строке зàïèñûâàются коэффициенты полиномà через оäèí, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî. Âòîðàÿ ïàðà строк формируется путем смещения перâîé ïàры строк нà îäну позицию. Третья пàðà смещением âторой пàры строк еще нà îäíó âïðàâî è ò. ä.

Пример. Ïðîâерим с помощью критерия Рàóñà Ãóðâèöà устойчиâîñòü öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, õàðàктеристическое урàâнение которой имеет âèä

p4 + 3p3 + 4p2 + 6p + 2 = 0. 1. Ñîñòàâëÿåì îïðåäелитель Рàóñà Ãóðâèöà

	3	6	0	0
D =	1	4	2	0		.
3	0	3	6	0
	0	1	4	2

Ãëàâные миноры получàåì âычеркиâàíèåì ïðàâîãо столбцà и нижней строки из опреäелителя или преäûäóùåãо минорà:

D2 =		3	6	0		, D1 =		3	6		, D0 =				.
		1	4	2									3
		0	3	6				1	4

2. Вычисляем опреäелитель Рàóñà Ãóðâèöà è åãî ãëàâные миноры. Рàñ÷åò óäîáíî ïðîâîäèòü â ñëåäующем поряäêå:

				D0 =						3		= 3, D1 =						3 6			= 3 × 4 - 6 × 1 = 6,
																		1	4
D =		3	6	0		= 6 ( -1)3+3 D + 2( -1)3+2																	3	6		= 6 × 6 - 2 × 9 = 18,
		1	4	2
2		0	3	6											1								0	3
								3			6		0	0
			D =					1			4		2	0	= 2	( -1)4+4 D = 2 × 18 = 36.
				3				0			3		6	0						2
								0			1		4	2

Îïðåäелитель Рàóñà Ãóðâèöà è åãî ãëàâные миноры положительны. Тàêèì îáðàзом, цепь с ОС устойчиâà.

369

Критерий устойчивости Найквиста. Критерий Нàéêâèñòà ïî- çâоляет суäить об устойчиâîñòè öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ïî ñâîéñò- âàì ðàзомкнутой цепи (рис. 14.3, à).

Ïåðåäàòî÷íàя функция рàзомкнутой цепи, или петлеâое усиле-

íèå, Hp ( jw) = Hó ( jw) × Hoc ( jw) âõîäèò â õàðàктеристическое урàâнение (14.21):

1 - Hp ( jw) = 0.

(14.25)

Åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ ÷àñòîòà w, äля которой конец âекторà Hð(jw) ïîïàäàåò â точку с коорäèíàòàìè (1,j0), òî ýòî áóäåò îç- íà÷àòü, ÷òî âыполняется услоâèå (14.25), ò. å. íà ýòîé ÷àстоте â цепи произойäåò ñàìîâозбужäåíèå. Çíà÷èò, ïî ãîäîãðàфу можно опреäелить, устойчиâà öåïü èëè íåò. Äëÿ ýòîãо используется критерий Нàéêâèñòà, который формулируется слеäующим обрàçîì:

åñëè ãîäîãðàô ïåðåäàточной функции рàзомкнутой цепи не ох- âàòûâàет точку с коорäèíàòàìè (1, j0), òî ïðè çàмкнутой цепи обрàòíîé ñâÿçè öåïü ÿâляется устойчиâîé.  òîì ñëó÷àå, êîãäà ãîäîãðàô Hð(w) îõâàòûâàет точку (1, j0), цепь неустойчи- âà. Íà ðèñ. 14.4 ïîêàçàíû ãîäîãðàфы трех цепей с положительной обрàòíîé ñâÿçüþ (öèôðà 1 ñîîòâåòñòâóåò ãîäîãðàфу устойчи- âîé öåïè).

Пользуясь критерием Нàéêâèñòà, ëåãко получить услоâèÿ ñàìî- âозбужäåíèÿ öåïè ñ ÎÑ. Çàпишем âûðàжение äëÿ Hð(jw) â âèäå

Hp ( jw) =

Hó ( jw) × Hoc ( jw)

e

jéj

( w)+j

( w) ù

ë

ó

oc

û,

ãäå

Hó ( jw)

,

Hoc ( jw)

ìîäóëè ïåðåäàточных функций; jó ( w),

joc

(

w) ôàçî

âûå ñäâè

ãè ñîîòâåòñòâåííî â îñíîâном элементе и â

öåïè ÎÑ.

Óñëîâия пересечения ãîäîãðàôîì îñè àбсцисс Re[Hð(jw)] ïðè

| Hð(jw)| 1 можно зàïèñàòü â âèäå äâóõ óñëîâèé:

1) óñëîâèå (óðàâнение) áàëàíñà ôàç jó ( w) + joc ( w) = 2pn, ãäå

ï= 0, 1, 2,...;

2)àмплитуäíîå óñëîâèå

Hó ( jw) Hoc ( jw) 1, èëè Hó ( w) Hoc ( w) 1.

Выполнение нерàâåíñòâà ñîîòâåòñòâует режиму âозникноâения колебàíèé ñ íàðàñòàþùåé àмплитуäîé, ÷òî õàðàктерно äëÿ íà- ÷àëüíîãî ýòàïà ñàìîâозбужäения. Выполнение рàâåíñòâà Hó(w) ´ ´ Hîñ(w) = 1 ñîîòâåòñòâует режиму ãåíåðàöèè ãàрмоническоãî íà- пряжения нà ÷àстоте w с постоянной àмплитуäой и носит нàçâàíèå

áàëàíñà àмплитуä.

Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, óðàâнение бàëàíñà ôàç ïîçâоляет опреäелить чàстоту, нà которой происхоäèò ñàìîâозбужäåíèå öåïè ñ ÎÑ, à óðàâнение бàëàíñà àмплитуä äàåò âозможность опреäелить

370