Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

R

L

p1

jω

jω0

C

-α0

α

p2

-jω0

Ðèñ. 16.2

Ðèñ. 16.3

Êàê âèäíî, õàðàктеристики цепи зàâèñÿò îò ïàðàметроâ ее элементоâ. В процессе произâîäñòâà и эксплуàòàöèè ðàäиоэлектронных устройстâ çíàчения пàðàметроâ элементоâ неизбежно отличàþòñÿ îò ðàсчетных знàчений, что при- âîäит к изменению их хàðàктеристик. Изменения хàðàктеристик äолжны быть тàкими, при которых рàáîòà устройстâà íå íàðóøàется. Поэтому, чем меньше изменения хàðàктеристик при оäном и том же отклонении âеличин пàðàметроâ элементоâ, тем лучше это устройстâо. Для оценки âлияния изменений хàðàк- теристик устройстâ к изменению пàðàметроâ элементоâ ââîäится понятие чуâ- ñòâительности. Пусть õi i-й элемент (пàðàìåòð) öåïè, à F(õi) õàðàктеристи- кà, çàâèñÿùàÿ îò ýòîãо элементà. ×óâñòâительностью некоторой хàðàктеристики F(õi) к изменению некотороãî ïàðàìåòðà õi íàçûâàåòñÿ ïðåäел отношения относительноãо изменения функции к относительному изменению пàðà- ìåòðà:

	S	F( xi )	= lim	DF ( xi )	F ( xi )	=	¶F ( xi )	×	xi	.
		xi		Dxi xi			¶ xi		F ( xi )
			xi →0

Íàпример, чуâñòâительность АЧХ цепи | H( jw) | к изменению кàêîãî-ëèáî ïàðàìåòðà öåïè xi имеет âèä

S

xi

=

¶

H

H

=

¶

H

×

xi

.

¶xi xi

¶xi

H

Кроме чуâñòâительности âременных и чàстотных хàðàктеристик â теории цепей рàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå ÷óâñòâительность полюсà è äобротности полюсà к изменению (пàðàметроâ) элементоâ. Äëÿ îïåðàторной переäàточной функции (16.14) полюсы опреäеляются âûðàжением

p = -	R		± j		1	-	R2		= -a	0	± jw	.
1,2	2L				LC		4L2				0

Çäåñü ïðåäïîëàãàется, что полюсы яâляются комплексно-сопряженными числàìè. Íà ðèñ. 16.3 ïîêàçàно положение этих полюсоâ íà комплексной плоскости.

Добротностью полюсà íàçûâàют отношение еãî ìîäóëÿ (ðàсстояние от полюсà äî íà÷àëà êîîðäèíàò) ê óäâоенной âещестâенной чàñòè:

Q =		a02 + w02	=		L C		.
		2a0
					R

Интересно, что äобротность полюсà ñîâïàäàåò ñ äобротностью контурà íà резонàнсной чàстоте (см. (4.25)). В преäельных случàÿõ, êîãäà полюс нàõî- äèòñÿ íà мнимой оси, то Q = ¥, à êîãäà íà âещестâенной оси Q = 0,5.

×óâñòâительность k-ãо полюсà îïðåäеляется кàê

421

Spk	= ¶ pk ,
xi	¶ xi

ãäå pk полюс переäàточной функции цепи. Этà ÷óâñòâительность покàçûâàåò ïðèðàщение полюсà при изменении пàðàметроâ элементоâ öåïè.  äàííîì ñëó÷àå S это не функция, à комплексное число.

×óâñòâительность äобротности полюсà âычисляется по формуле

SQ	=	¶Q Q	=	¶Q	× xi .
xi		¶ xi xi		¶ xi Q

Исслеäîâàíèå ÷óâñòâительности при синтезе цепей помоãàåò ñîçäàòü öåïü, õàðàктеристики которой нàименее поäâержены âîçäåéñòâèþ ðàзличных äåñòà- билизирующих фàктороâ (íàпример, темперàòóðû, âëàжности, стàрения элементоâ è äð.).

16.5. Задача аппроксимации в синтезе электрических цепей

Аппроксимàция функций яâляется оäíèì èç ðàçäåëîâ ìàòå- ìàтики и широко используется â ðàзличных облàñòÿõ çíàíèé.  § 10.2 ìû ñòàëêèâàëèñü ñ àппроксимàцией ВАХ нелинейных элементоâ. È â äàííîì ñëó÷àå ïîäõîä к решению зàäà÷è îñòàется прежним. Прежäå âñåãî ýòî êàñàется критериеâ близости функций. Нàпомним, что нàиболее рàспрострàненными яâляются äâà критерия. Во-перâûõ, ýòî ñðåäíåêâàäðàтический критерий, коãäà минимизируется интеãðàë îò êâàäðàòà ìîäóëÿ ðàзности функций. Дру- ãим критерием яâляется минимàксный критерий, коãäà минимизируется мàксимум моäóëÿ ðàзности äâух функций. Если äîñòèãàåòñÿ òàкой минимум, то ãîâîðÿò, ÷òî àппроксимàöèÿ âыполненà ïî ×å- áûøåâу или оптимàëüíî ðàâномерно. Оäíàêî â решении зàäà÷è àппроксимàции при синтезе цепей имеются и отличия. Во-перâых, сущестâóþò îãðàничения нà âèä àппроксимирующих функций и, âî-âторых, äолжны контролироâàòüñÿ ÓÔÐ.

Дейстâительно, если âыполняется àппроксимàöèÿ êâàäðàòà ìî- äóëÿ ïåðåäàточной функции, то â êà÷åñòâå àппроксимирующей необхоäèìî âûáðàòü äробно-рàöèîíàльную функцию, которàÿ ïðåä- ñòàâляет собой отношение äâух четных полиномоâ ñ âещестâенными коэффициентàми. При этом степень полиномà числителя не äîëæíà ïðåâûøàть степени полиномà çíàìåíàòåëÿ è ñâîáîäный член полиномà çíàìåíàтеля не может рàâняться нулю. Тàêèì âы- бором àппроксимирующей функции уäîâëåòâоряются перâûå äâà ÓÔÐ êâàäðàòà ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции. Третье услоâèå äолжно контролироâàòüñÿ â процессе решения àппроксимàционной зàäà÷è.

Êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ âременные хàðàктеристики, то âûáîð àппроксимирующей функции осущестâляется â ñîîòâåòñòâèè ñ âû- ðàжениями (16.7).

422

Методы аппроксимации. Обознà÷èì çàäàнную функцию ξ(õ).

Êàê óæå ãîâорилось, это может быть: АЧХ | H(jω)| èëè åå êâàäðàò | H(jω)| 2; Ô×Õ ϕ(ω) èëè åå òàíãåíñ D = tg ϕ(ω); õàðàктеристикà

ãруппоâîãî âремени прохожäåíèÿ (ÃÂÏ) tãð(ω) = dϕ(ω) / dω; импульснàÿ õàðàктеристикà h(t); перехоäíàÿ õàðàктеристикà g(t) è

ò.ä.

Âêà÷åñòâå àппроксимирующей функции âûáèðàþò ñîîòâåòñò-

âующую чàстотную или âременнýю функцию цепи F(x). Íàпример, если зàäàí êâàäðàò À×Õ, ò. å. ξ(õ) = | H(jω)| 2, то функция цепи, àппроксимирующàÿ çàäàнную, ищется â общем случàå â âèäå

F ( ω) =	c		ω2n + c ω2n−2	+ c	ω2n−4	+ K + c		ω2 + c	n
		0	1	2			n−1				,
	d	ω2m + d ω2m−2		+ d	ω2m−4	+ K + d		ω2 + d
0			1	2				m−1		m
ãäå ïîäëåæàò îïðåäелению знàчения коэффициентоâ									c0, ..., cn,

d0, ..., dm.

Äëÿ çàäàнной перехоäной функции ξ(õ) = g(t) àппроксимирую-

m

ùàя функция может описыâàòüñÿ âûðàжением F (t ) = å Akepkt,

k=1

ãäå â результàòå àппроксимàöèè îïðåäеляются знàчения коэффициентоâ Àk и корней хàðàктеристическоãî óðàâнения pk = αk ± jωk è ò. ä.

Èç ðàссмотренных примероâ âèäíî, ÷òî àппроксимирующàя функция F(x) çàâисит от некоторых пàðàметроâ öåïè (â ïåðâîì

ñëó÷àå îò c0, ..., cn, d0, ..., dm, âî âтором от Ak è pk è äр.). Обознà÷èì ïàðàметры цепи â общем âèäå áóêâàìè α1, α2, ..., αN, ò. å.

F(x) = F(x, α1, α2, ..., αN). Решением зàäà÷è àппроксимàöèè ñ÷è- òàåòñÿ íàõîæäåíèå íàилучших çíàчений коэффициентоâ α1, α2, ...,

αN, при которых функция F(x) áóäåò íàиболее «близкà» к функции ξ(õ).

Ðàзличные àппроксимàции (приближения оäной функции к äðó- ãой) отличàþòñÿ, ïðåæäå âñåãо, понятиями «близости» äâух функций. Нàиболее широкое рàспрострàнение â ðàäиотехнике и сâязи получили тàêèå ìåòîäû àппроксимàöèè, êàк интерполяция, приближение по Тейлору, приближение по Чебышеâó, ñðåäíåêâàäðà- тическое приближение.

При приближении функции F(x) è ξ(õ) ìåòîäîì интерполяции íàилучшей «близостью» этих функций считàåòñÿ ñîâïàäåíèå èõ çíàчений â âûáðàííûõ òî÷êàõ óçëàх интерполяции x1, x2, ...,

xN, ò. å.

F ( xi, α1, α2,K, α N ) = ξ ( xi ), i = 1, 2,K, N.

Решение этой системы урàâнений позâоляет нàйти искомые знà- чения коэффициентоâ α1, α2, ..., αN.

Решение зàäà÷è àппроксимàöèè äàííûì ìåòîäом (см. § 10.2) имеет слеäующие неäîñòàòêè:

423

1.Отсутстâует процеäóðà âûáîðà точек интерполяции и перâî- íà÷àëüíîãî ïîðÿäêà функции и поэтому âремя, необхоäèìîå äля отыскàния оптимàëüíîãо решения, зàâèñèò îò êâàлификàции и интуиции рàçðàботчикà.

2.В процессе решения не контролируются УФР.

Несмотря нà отмеченные неäîñòàòêè, ìåòîä интерполяции применяется äîâольно широко нà ïðàктике, нàпример, при синтезе àм- плитуäных корректороâ.

Äàííûé ìåòîä àппроксимàции применяется äîâольно чàñòî ââè- äó åãо простоты, оäíàêî îí íå ãàðàнтирует получения физически реàлизуемой функции F(x).

Приближение функций по Тейлору ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íàèëó÷- øàя «близость» F(x) è ξ(õ) äîñòèãàåòñÿ ïðè ñîâïàäåíèè â âûáðàн- ной точке x0 çíàчений сàмих функций и их (N 1) произâîäíûõ. Òàêèì îáðàçîì,

F ( x0, α1, α2,K, α N ) = ξ ( x0 ),

F′ ( x0, α1, α2,K, α N ) = ξ′ ( x0 ),

. . . . . . . . . . . . . . . . .

F( N−1) ( x0, α1, α2,K, α N ) = ξ( N−1) ( x0 ).

 îñíîâе этой системы урàâнений лежит рàзложение функций F(x) è ξ(õ) â ðÿäы Тейлорà è ïðèðàâíèâàíèå ïåðâûõ N коэффициентоâ ñîîòâåòñòâующих ряäîâ. Приближение по Тейлору нàшло применение, â ÷àстности, при синтезе электрических фильтроâ. По имени àâòîðà, âïåðâûå ïðåäëîæèâøåãî òàêîé âèä àппроксимàöèè â теории фильтроâ, îíà íàçûâàåòñÿ àппроксимàöèåé ïî Áàòòåðâîðòó (ñì. § 7.2).

Íàилучшее приближение функции F(x) ê ξ(õ) ïðè àппрокси- мàöèè по Чебышеâó îïðåäеляется из услоâèÿ

Λ = max		F ( x ) − ξ ( x )		→	min	.
x					{α1,α2,K,α N }

Этот критерий «близости» функций слеäует понимàòü òàк: коэффициенты α1, α2, ..., αN функции F(x) äолжны быть âûáðàíû òàкими, чтобы сàìîå íàибольшее отклонение F(x) îò ξ(õ) â любой точке õ ðàññìàòðèâàåìîãî äèàïàçîíà ñäåëàть минимàëüíî âозможным.

Çàäà÷à чебышеâских приближений решенà àíàлитически äля электрических фильтроâ (ñì. § 17.2).

При использоâàнии Чебышеâñêîãо критерия близости полезной яâляется теоремà Чебышеâà, которàя формулируется слеäующим обрàçîì.

Теорема Чебышева. Åñëè ðàöèîíàëüíàя функция F(x, α1, α2, ..., αN) ñ n коэффициентàìè àппроксимирует âещестâенную функцию нà äàнном интерâàле по Чебышеâó, òî âñå ìàксимумы от-

424

клонения рàâíû ìåæäу собой, à òàêæå ðàâíû âеличинàм отклонений нà ãðàíèöàх интерâàëà è äîñòèãàются не менее, ÷åì â N + 1 òî÷êàõ, причем знàки отклонений череäуются.

Ýòà теоремà îòâå÷àåò íà âопрос: äàííàÿ àппроксимàöèÿ âыполненà оптимàëüíî èëè íåò.

Ïðè ñðåäíåêâàäðàтическом приближении нàилучшàя «близость» äâух функций äîñòèãàåòñÿ ïðè âыполнении услоâèÿ

M
Λ = å		F ( xi ) − ξ ( xi )		2 →	min ,
i=1					{α1,α2,K,α N }

ò.å. ïðè òàêèõ çíàчениях коэффициентоâ α1, α2, ..., αN, при которых суммà êâàäðàòîâ отклонений F(x) îò ξ(õ) â òî÷êàõ x1, x2, ..., xM (M > N) ÿâляется минимàëüíî âозможной.

Минимизàöèÿ äîñòèãàется путем состàâления и решения системы àëãåáðàических урàâнений:

∂Λ∂αk = 0; (k = 1,K,N ).

Отметим, что зàäàííàÿ è àппроксимирующие функции моãут быть не только âещестâенными, но и комплексными, что позâоляет оäíîâременно àппроксимироâàòü êàê À×Õ, òàê è Ô×Õ.

При решении зàäà÷ ñðåäíåêâàäðàтических приближений рàçðà- áîòàно большое количестâо численных метоäîâ, ïðåäíàçíàченных äля использоâàíèÿ èõ íà ÝÂÌ.

Çàметим, что не сущестâует четких рекоменäàций по применению тоãî èëè èíîãî ìåòîäà àппроксимàöèè. Çà÷àñòóþ âûáîð ìåòîäà çàâисит от сложности решения зàäà÷è àппроксимàöèè (àíàлитиче- скоãо или численноãо), от конкретноãо применения синтезироâàí- íîé öåïè è ò. ï.

16.6. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез реактивных двухполюсников

Èäåÿ ëþáîãî ìåòîäà синтезà äâухполюсникоâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íàõîäится способ рàзложения зàäàííîé îïåðàторной функции нà более простые функции, по которым уже леãêî âîññòàíîâить схему. Нàпример, пусть âõîäное сопротиâление âûðàæà- ется формулой

Z ( p ) = a1p + a0 . b1p

Ðàçäåëèâ почленно числитель нà çíàìåíàтель, получим:

	Z ( p ) =	a1	+	1				.
		b		p (b	a	0	)
		1		1

425

Èç ýòîé çàïèñè î÷åâèäíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñõåìà состоит из послеäîâàтельноãî ñîåäинения резисторà a1/ b1 â емкости b1/ a0.

Íàпомним общие сâîéñòâà ðåàêòèâíûõ äâухполюсникоâ (ñì. § 4.5). Ýòè ñâîéñòâà âûòåêàþò èç òîãî ôàêòà, ÷òî LÑ-äâухполюс- ники не моãóò ðàññåèâàòü ýíåðãию, поэтому при p = jω âещестâåí- íàÿ ÷àсть функции сопротиâления и проâîäимости рàâíà íóëþ

Re[ Z ( jω ) ] = 0; Re[Y ( jω ) ] = 0.

Òàêèì îáðàзом, сопротиâление (проâîäимость) äâухполюсникà ÿâляется мнимой функцией чàстоты, à нули и полюсы соотâåòñòâующей оперàторной функции лежàò íà мнимой оси, череäуются и яâляются простыми, à âычеты â полюсàх положительными. Тàê êàк коэффициенты оперàторной âõîäной функции яâляются âещестâенными, то нули и полюсы состàâляют комплексно-сопря- женные пàры. Учитыâàÿ ñêàçàííîå, îïåðàторное сопротиâление ре- àêòèâíîãî äâухполюсникà можно зàïèñàòü â âèäå

Z ( p ) = H ( p − jω1 ) ( p + jω1 ) ( p − jω3 ) ( p + jω3 )K( p − jω2n−1 ) ( p + jω2n−1 ) . p ( p − jω2 )( p + jω2 )( p − jω4 )( p + jω4 )K( p − jω2n−2 )( p + jω2n−2 )

Îáúåäèíÿÿ ïîïàрно комплексно-сопряженные нули и полюсы получàåì (ñì. òàáë. 4.1):

Z ( p ) =	H (p2 + ω21 )(p2 + ω23 )K(p2 + ω22n−1 )
	p (p2 + ω22 )(p2 + ω24 )K(p2 + ω22n−2 ) .	(16.15)

Íàпомним, что череäîâàние нулей и полюсоâ отобрàæàåòñÿ íå- ðàâåíñòâîì

ω 1 < ω 2 < ω 3 < K < ω 2n−2 < ω 2n−1.

(16.16)

Åñëè çàäàííàя функция Z(p) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè âõîäíîãо сопротиâления реàêòèâíûõ äâухполюсникоâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà óäîâëåòâоряет óñëîâиям физической реàлизуемости. Ýòî îçíà÷à- ет, что сущестâуют схемы äâухполюсникоâ ñ ðåàльными знàчениями элементоâ, âõîäное сопротиâление которых описыâàåòñÿ çàäàн- ной функцией Z(p).

В результàте синтезà ÷àсто получàþò äâухполюсники â âèäå êà- нонических схем Фостерà èëè Êàóýðà (ïîäобные схемы сущест- âóþò è äëÿ RLC-äâухполюсникоâ).

Для иллюстрàöèè èäеи синтезà îãðàничимся рàссмотрением только реàêòèâíûõ äâухполюсникоâ.

Метод Фостера. Ðàссмотрим метоä синтезà LC-äâухполюс- никоâ, ïðåäложенный Фостером. Соãëàсно этому метоäу функцию сопротиâления либо функцию проâîäимости, кàк любую äробно- рàöèîíàльную функцию, можно преäñòàâèòü â âèäе суммы äробей (âспомним, нàпример, теорему рàзложения).

426

La

Ca

L2

L2n-2

C2

C2n-2

Ðèñ. 16.4

Äëÿ äâухполюсникоâ, построенных по перâой форме Фостерà, íàиболее общей яâляется схемà, изобрàæåííàÿ íà ðèñ. 16.4. Îñ- òàльные схемы моãут быть получены из нее путем «уäàления» соотâåòñòâующих элементоâ Là è Ñà.

Можно состàâèòü âûðàжение äëÿ âõîäíîãо сопротиâления Z(p), îòðàæàющее структуру рис. 16.4:

1			p		p
Z ( p ) = pLa +		+		+		+ K +
	pCa		( p2 + ω22 )C2		( p2 + ω24 )C4
						(16.17)

+ ( 2 p2 )C .

p + ω2k 2k

Ïåðâûå äâà ñëàãàåìûå ñîîòâåòñòâуют послеäîâàтельному соеäи- нению элементоâ Là è Ñà, îñòàльные послеäîâàтельному соеäинению пàðàллельных контуроâ с элементàìè L2 è Ñ2, L4 è Ñ4 и т. п. Сущестâуют формулы äëÿ ðàñ÷åòà элементоâ этой схемы. При- âåäåì èõ áåç äîêàçàтельстâà:

	La = lim	Z ( p )	;	1	= lim Z ( p ) × p;	1	=	lim	( p2 + w22k ) Z ( p )	. (16.18)
		p		Ca		C2k			p
	p→∞				p→0			p2 →ω22k

Процеäóðà синтезà äâухполюсникоâ ïî ïåðâой форме Фостерà ñâîäèòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ê ïðåäñòàâлению зàäàííîé ðàöèîíàльной äðîáè Z(p) â âèäå (16.17) è ðàсчету элементоâ по формулàì (16.18). Çàметим, что перâîå ñëàãàåìîå áóäет сущестâîâàòü â âû- ðàжении (16.17) тоãäà, êîãäà çàäàííàÿ äðîáü Z(p) íåïðàâèëüíàя, т. е. степень числителя буäåò íà åäиницу преâûøàть степень знà- ìåíàтеля. Число элементоâ äâухполюсникà ñîîòâåòñòâóåò íàè- âысшей из степеней числителя и знàìåíàòåëÿ çàäàííîé äðîáè Z(p). При четных степенях знàìåíàтеля из (16.17) исчезàåò âторое слà- ãàåìîå 1/(ðÑà).

Пример. Äàíî âûðàжение
Z ( p ) =	106 × p3 + 1,5 × 1014 p
		.
	p4 + 2 × 108 p2 + 0,51 × 1016

Осущестâим синтез äâухполюсникà ïî ïåðâой форме Фостерà. Можно по- кàçàòü, ÷òî çàäàííàя функция Z(p) ÿâляется физически реàлизуемой. Преä- ñòàâèì Z(p) â âèäå (16.17):

427

Z1

Z3

Z2n-1

Lá

Cá

L1

L3

L2n-1

Y2

Y4

Y2n

C3

C2n-1

C1

Z

Ðèñ. 16.5

Ðèñ. 16.6

Z ( p )

=

p

+

p

.

(16.17 à)

( p2 + ω2 )C1

( p2 + ω2

)C3

1

3

Ðàсчет элементоâ произâåäем по формулàì (16.18): Ñ1 = 1,165 ìêÔ; Ñ3 = = 7,0 ìêÔ; L1 = 1/(ω22Ñ1) = 28,6 ìÃí; L3 = 1/(ω42Ñ3) = 0,84 ìÃí.

Ñõåìà äâухполюсникà состоит из четырех элементоâ (íàèâûñøàя степень äроби 4): послеäîâàтельно соеäиненных äâóõ ïàðàллельных колебàтельных контуроâ с элементàìè L1, Ñ1 è L3, Ñ3. Отсутстâèå â схеме кàтушки инäóêòèâности Là обуслоâëåíî òåì ôàêòîì, ÷òî äðîáü Z(p) ïðàâèëüíàÿ. Âñëåäñòâие четности степени знàìåíàòåëÿ â схеме отсутстâóåò êîíäåíñàòîð Ñà.

Àíàëîãичным обрàзом осущестâляется синтез äâухполюсникоâ ïî âторой форме Фостерà.  ýòîì ñëó÷àå íàиболее общей яâляется схемà íà ðèñ. 16.5. Âõîäíàÿ ïðîâîäимость Y(p) òàêîãî äâухполюсникà ïðåäñòàâляется суммой слàãàемых, описыâàþùèõ ïðîâî- äимости послеäîâàтельных контуроâ и элементоâ Lá è Cá. При синтезе äâухполюсникоâ çàäàííàÿ ïðîâîäимость Y(p) ðàñêëàäûâà- åòñÿ íà сумму укàçàííûõ ñëàãàåìûõ.

Метод Кауэра. В теории электрических фильтроâ (ñì. ãë. 17) íàõîäит применение синтез реàêòèâíûõ äâухполюсникоâ ïî ñõåìàì Êàóýðà. Íàиболее общими яâляются схемы нà рис. 16.6. Из них получàþòñÿ îñòàльные рàçíîâèäности äâухполюсникоâ. Âûðàжения âõîäных сопротиâлений äля этих схем можно зàïèñàòü â âèäå òàê íàçûâàемых лестничных äробей. Тàê, â ïåðâой схеме Кàóýðà (ëå- âàÿ ñõåìà íà ðèñ. 16.7, à) êàòóøêà èíäóêòèâности L1 ñîåäèíåíà послеäîâàтельно с остàльной чàстью схемы, поэтому Z(p) = pL1 + + Z2(p). Îñòàâøàÿñÿ ñïðàâà îò êàтушки чàсть схемы преäñòàâляет собой пàðàллельное соеäинение конäåíñàòîðà è ÷àсти схемы прàâåå

точек a b. Поэтому Y2(p) = 1/Z2(p) = pC2 + Y3(p). Ðàññóæäàÿ ïîäобным обрàзом, можно прийти â èòîãå ê ñëåäующей зàïèñè:

Z ( p ) = pL1 +			1					.	(16.18)
				1
	pC2 +
		pL3	+		1
				pC4	+ 1 K

Дробь âèäà (8.19) íàçûâàется лестничной. Синтез äâухполюсникоâ ïî ïåðâой схеме Кàóýðà состоит â ðàзложении зàäàнной функции Z(p) â лестничную äробь (16.18). Коэффициенты при ð ÿâляются знàчениями элементоâ схемы.

428

L1 a L3

Ln-1

C1

C3

Cn-1

C2

C4

Cn

L2

L4

Ln-2 Ln

á

à)

á)

Ðèñ. 16.7

 âèäе лестничной äроби можно преäñòàâèòü è âõîäное сопротиâление âторой схемы Кàóýðà (ïðàâàÿ ñõåìà íà ðèñ. 16.7, á).  ýòîé äðîáè ïåðâûé è îñòàльные элементы буäóò ñëåäóþùåãî âè- äà: 1/( pÑ1), 1/( pL2), 1/( pÑ3) è ò. ä.

Пример. Осущестâим синтез äâухполюсникà ïî âûðàжению Z(p) èç ïðå- äûäóùåãо примерà â âèäå ïåðâой схемы Кàóýðà. Çàäàííàÿ äробь имеет чет- âертый поряäîê (íàèâûñøàя из степеней числителя и знàìåíàòåëÿ ðàâíà 4). Ðàзложение ее â цепную äробь осущестâляется послеäîâàтельным äелением полиномà çíàìåíàòåëÿ íà полином числителя , послеäíåãî íà îñòàòîê îò ïåðâîãî äеления, остàòêà îò ïåðâîãî äеления нà îñòàòîê îò âòîðîãî äеления

è ò.ä.:

1)

-

p4 + 2 × 108 p2 + 0,51 × 1016

106 p3 + 1,5 × 1014 p

10−6 p

p4 + 1,5 × 108 p2

0,5 × 108 p2 + 0,51 × 1016

2)

106 p3 + 1,5 × 1014 p

0,5 × 108 p2 + 0,51 × 1018

-

2 × 10−2 p

106 p3 + 1,02 × 1014 p

0,48 × 1014 p

3)

-

0,5 × 108 p2 + 0,51 × 1016

0,48 × 1014 p

1,04 × 10−6 p

0,5 × 108 p2

0,51 × 1016

4)

-

0,48 × 1014 p

0,51 × 1016

.

0,94 × 10−2 p

0,48 × 1014 p

0

В результàòå íàõîäèòñÿ öåïíàÿ äðîáü:

Z ( p ) =

1

.

1

10−6 p +

2 ×10−2 p +

1

−6 p + 1 0,94

×10−2 p

1,04 ×10

 ñëó÷àå íåïðàâильной äðîáè íà÷èíàþò ñ äеления полиномà числителя нà полином знàìåíàòåëÿ, â результàòå ÷åãî âûäеляется перâûé ÷ëåí ðàзложения pL1.

429

L 2

L4

Ýòîé äðîáè ñîîòâåòñòâóåò ðåàêòèâíûé äâухполюс-

íèê, ñõåìà котороãî ïðèâåäåíà íà ðèñ. 16.8; îíà ñî-

C1

C3

äержит четыре элементà Ñ1 = 1,0 ìêÔ; L2 = 20 ìÃí;

Ñ3 = l,04 ìêô; L4 =9,4 ìÃí.

Ðèñ.16.8

Пример. Íàйти лестничную схему, рàссчитàòü çíà-

чения пàðàметроâ элементоâ, если ее нормироâàííîå

сопротиâление рàâíî

Z ( p ) =

4p5 + 9p3 + 4p

.

4p4 + 5p2 + 1

Òàê êàк степень полиномà числителя больше степени знàìåíàòåëÿ, òî âозможно âыполнить äеление äàнных полиномоâ:

−	4p5	+ 9p3 + 4p			4p4	+ 5p2 + 1
	4p5 + 5p3 + p				p		.
		4p3 + 3p

В результàòå òàêîãî äеления получàем формулу

Z ( p ) = p +	4p3 + 3p	.
	4p4 + 5p2 + 1

Äàльнейшее äеление неâозможно, тàê êàк степень полиномà îñòàòêà меньше степени полиномà çíàìåíàòåëÿ. Äëÿ ïðîäолжения äеления преобрàзуем послеäíåå âûðàжение:

Z ( p ) = p + 1

4p4 + 5p2 + 1

4p3 + 3p

Числитель полученной â îñòàòêå äроби имеет степени знàìåíàòåëÿ è äеление âозможно:

. (16.19)

степень числителя больше

−

4p4

+ 5p2 + 1

4p3 + 3p

4p4 + 3p2

p

.

2p2 + 1

Ñ учетом äàííîãî øàãà формулà (16.19) принимàåò âèä

Z ( p ) = p +

1

.

p +

2p2 + 1

4p3 + 3p

Преобрàзуем полученное âûðàжение

òàê,

чтобы имелàñü âозможность

äàльнейшеãî äеления:

Z ( p )

= p +

1

.

1

p +

4p3 + 3p

2p2 + 1

Ïðîäîëæàÿ äàнную процеäóðó, â конечном итоãе получàåì ñëåäующее âû- ðàжение:

430