Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

|F (jω)|			ϕ(ω)
1/α			π/2
0		ω	0	ω
	à)
				á)
		Ðèñ. 9.9

f(t)
1	e-αt
0	t
	Ðèñ. 9.10

F ( jw) =	Am	{F é j ( w - w	0	)ù	+ F é j ( w + w	0	)ù	}.
	2	ë		û	ë		û

Íà ðèñ. 9.8 ïîêàçàí âèä спектрà ðàäиоимпульсà. Àíàëîãичным обрàзом можно нàйти спектр сиãíàëîâ

сложной формы.

(9.47)

и более

Пример. Íàйти спектр экспоненциàëüíîãо импульсà
ìe−αt	ïðè		t 0,
f (t ) = í	ïðè		t < 0.
î 0
 ñîîòâåòñòâии с прямым преобрàçîâàнием (9.6) получàåì
∞	1					1
F ( jw ) = ò e−( α+ jω)tdt =		=							e	− jϕ ( ω ),
	a + jw
				a	2	+ w	2
0

ãäå F ( jw ) = 1a2 + w2 àмплитуäíûé (ðèñ. 9.9, à) è j ( w) = arctg ( wa ) ôàçîâûé (ðèñ. 9.9, á) спектры сиãíàëà.

Пример 2. Îïðåäелить спектр зàòóõàþùåãо колебàíèÿ (ðèñ. 9.10) f (t ) = 1(t ) e−αt sin w 1t .

Ñîãëàñíî (9.6) íàõîäèì

∞					w 1
F ( jw ) = ò e−( α+ jω)t sin w 1t dt =							.
	a	2	- w	2	2	+ j2aw
0					+ w 1

Îòñþäà íàõîäим спектры:

221

|F (jω)|			ϕ(ω)
ω1			π/2
α2 + ω2
1
0		ω	0	ω
	à)
				á)
		Ðèñ. 9.11

àмплитуäíûé (ðèñ. 9.11, à)

F ( jω )		=		ω 1
				(α2 − ω2 + ω21 )2 + ( 2αω )2

è ôàçîâûé (ðèñ. 9.11, á)

ϕ ( ω) = arctg	2αω
		.
	α2 − ω2 + ω21

 òàблице 9.1 приâåäены спектры некоторых нàиболее рàспрострàненных сиãíàëîâ.

9.5. Частотный анализ линейных электрических цепей при непериодических воздействиях

Ïðåäñòàâление непериоäических сиãíàëîâ â форме интеãðàëà Фурье (9.6) и (9.7) позâоляет применить к бесконечно мàëûì ãàр- моникàì, ñîñòàâляющим еãо спектр, чàстотные метоäû àíàëèçà ðàссмотрены â ãë. 3 è 4.  ÷àстности, если цепь нàõîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àльных услоâèÿõ (ò. å. äî íà÷àëà âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ â ðåàêòèâных элементàõ öåïè íå áûëà íàкопленà ýíåðãия электриче- скоãî è ìàãнитноãо полей), то по àíàëîãии с (3.46), (3.48) и (3.49) можно зàïèñàòü çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äля спектроâ:

I ( jω ) = U ( jω ) Z( jω) = U ( jω)Y ( jω);	(9.48)
m
å Ik ( jω) = 0;	(9.49)
k=1
n
åUk ( jω ) = 0,	(9.50)

k=1

ãäå I(jω), U(jω) спектры токоâ è íàпряжений âåòâåé ñîîòâåòñòâåííî; Z1 (jω) è Y(jω) имеют смысл комплексных сопротиâлений и проâîäимостей âåòâåé . Çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äля спектроâ

Ýòî ñëåäóåò èç óðàâнения сâÿçè (9.14): I(jω) = TI/ 2; U(jω) = TU/ 2; îòñþäà: Z(jω) = U(jω)/ I(jω) = U/ I = Z = 1/ Y.

222

Òàáëèöà 9.1

Òèïû ñèãíàëà

Спектр

S

S; θ

1

−αt

1

1 a

A×Õ

p Ô×Õ

e

w

a + jw

2

0

p

0

a > 0

t

- 2

S

2 a

1

e−α|t|

2α

a2 + w2

q 0

w

0

t

0

w

f

S

1

tè æ sin wtè

4

ö2

ç

wtè

4

÷

2 è

ø

-

0

q

w

-tè 2 0 tè 2

t

0

w

f

S

2p a

1

t 2

e − α2

2 2

pae−α ω

2

q 0

w

0

t

0

w

f

S

p wè

1

π ωè

ïðè

w < ωè

-2p wè

2p wè

0

ïðè

w

> wè

- wè q

0

wè

w

-p wè 0p wè

t

0

w

f

e−αt

S; θ

1

jω + α

Ô×Õ

A×Õ

( jw + a )2

+ w2

0

t

- w0

0 w0 w

223

ïîçâоляют рàспрострàíèòü ðàссмотренные рàíåå ÷àстотные метоäû àíàëèçà цепей при ãàрмонических и периоäических несинусоиäàльных âîçäåéñòâèÿõ íà непериоäические сиãíàëû.

 ñëó÷àе, если необхоäèìî íàéòè âûõîäíóþ ðåàêöèþ öåïè â âè- äе четырехполюсникà ïðè âîçäåéñòâèè íà âõîäе непериоäическоãî ñèãíàëà, используют комплексную переäàточную функцию цепи (см. § 4.1). При этом спектр âûõîäíîé ðåàêöèè ñîãëàñíî (4.1) è (4.2)

F2 ( jω) = F1 ( jω) H ( jω).

(9.51)

После опреäеления спектрà F2 (jω) âûõîäíàÿ ðåàêöèÿ f2 (t) может быть нàéäåíà с помощью обрàòíîãо преобрàçîâàния Фурье (9.7) или по тàáëèöàì.

Пример. Ðàссчитàть спектрàльную плотность âûõîäíîãî ñèãíàëà â öåïè (ðèñ. 9.12), åñëè íà âõîä äåéñòâóåò åäиничный импульс (рис. 9.7) с àмплиту-

äîé U1 = 4 Â.

Äëÿ çàäàííîãî âõîäíîãî ñèãíàëà (3.15) преобрàçîâàние Фурье äàåò âûðà- жение

t		(1 - e− jω t ),
U1 ( jw) = òè U1e− jω tdt =	U1
0	jw

которое после преобрàçîâàний принимàет более уäобную форму (см. (9.46)):

	( jw) = 2U1	sin wtè e− j	ω tè			sin	ωtè	e− j	ω tè
							2
U			2	= U t	è				2	.
1	w	2		1		wtè
							2

Комплекснàя спектрàëüíàя плотность âûõîäíîãî ñèãíàëà íàõîäится по формуле (9.51)

U2 ( jw) = H ( jw) ×U1 ( jw) ,

ãäå H ( jw) комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция цепи по нàпряжению. Функция H ( jw) íàõîäèòñÿ êàк отношение комплексноãî çíàчения ãàрмониче- скоãî íàпряжения U2 íà âûõîäе цепи к комплексному знàчения ãàрмониче- скоãî íàпряжения U1 òîé æå ÷àстоты, приложенному ко âõîäó öåïè:

	H ( jw ) =	U	2	U	1	=			1 + jwR2C	.
							1		+ jw ( R1 + R2 )C

При этом спектрàëüíàя плотность âûõîäíîãî ñèãíàëà:

R

1

i

U2 ( jw) =

2U1 (1 + jw R2C )

wt

− j

ω tè

2 .

sin

2è e

w é1 + jw

( R + R

)C ù

ë

1

2

û

u1

R2

Îòñþäà íàõîäèì ìîäули: спектрàльной плотно-

C

u2 ñòè âõîäíîãî íàпряжения

= 2U1 sin wtè ;

U

( w) =

U

( jw)

1

1

w

2

Ðèñ. 9.12

À×Õ öåïè

224

U	.	9 .
	( f ) 10	, Â c
1
		250
		200
		150
		100
		50
		0	10	20	30	40	50	f, ÌÃö

			H( f )
			1
			0,5
	.	_	0	10	20	30	40	50	f, ÌÃö
U			9 .
	( f ) 10		, Â c
2
			250
			200
			150
			100
			50
			0	10	20	30	40	50	f, ÌÃö
					Ðèñ. 9.13

H ( ω) =		H ( jω )		=		1 + ( ω R C )2					;
							2
						1 + ω2 ( R + R		)2	C2
					1		2

спектрàльной плотности âûõîäíîãî íàпряжения

U2 ( ω) =

U2 ( jω)

=

2U

ωt

è

1 + ( ω R C )2

.

1

sin

2

1 + ω2 ( R1 + R2 )2

ω

2

C2

Íà рис. 9.13 изобрàжен спектр âõîäíîãî ñèãíàëà, АЧХ цепи и спектр âû- õîäíîãî ñèãíàëà U2 ( f ) .

9.6. Условия безыскаженной передачи сигналов через линейную цепь

×àстотный метоä ÿâляется äîñòàточно эффектиâíûì è íà- ãëÿäíûì ïðè àíàëèçå ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ через линейную систему. Он позâоляет оценить чàстотные искàжения â êàíàëå ñâязи, требоâàíèÿ ê õàðàктеристикàм электрической цепи. Особенно âàæíî îïðåäелить требоâàния к АЧХ и ФЧХ цепи с точки зрения искàжения формы сиãíàëà. Îïðåäåëèì óñëîâия неискàæàå- ìîé ïåðåäà÷è ñèãíàëà через линейную систему. Преäположим,

225

÷òî íà âõîäе линейной цепи, кàк четырехполюсникà äåéñòâóåò ñèãíàë f1(t) îïðåäеленной формы (рис. 9.12). Нà âûõîäå â результàте прохожäåíèÿ ñèãíàëà через четырехполюсник с комплексной переäàточной функцией H(jω) àмплитуäà ñèãíàëà может измениться (нà рис. 9.12 уменьшилàñü), è ñèãíàë âñëåä- ñòâие конечности скорости еãî ðàспрострàнения может зàïàçäû- âàть относительно âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ íà t0. Îäíàêî âàжно, чтобы при этом не изменилàñü ôîðìà ñèãíàëà. Òàêèì îáðàçîì,

óñëîâие безыскàженной переäà÷è можно сформулироâàть с помощью рàâåíñòâà

f2 ( t ) = kf1 (t − t0 ),

(9.52)

ãäå k некоторàÿ âещестâåííàя постояннàÿ; t0 âðåìÿ çàäержки (зàïàçäûâàíèÿ) âûõîäíîãî ñèãíàëà относительно âõîäíîãо. Примениâ к (9.52) прямое преобрàçîâàние Фурье и учтя сâîéñòâо линейности и теорему зàïàçäûâàния (см. § 9.2), перепишем услоâèå (9.52) â ÷àстотной облàñòè:

F	( jω ) = kF	( jω ) e− jωt0 .	(9.53)
2	1

Òàê êàк комплекснàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция цепи с учетом (4.5) äîëæíà áûòü

H ( jω ) = H ( jω) e jϕ( ω) = F2 ( jω) = ke− jωt0 , F1 ( jω)

òî îòñþäà получàем требоâàние к АЧХ и ФЧХ неискàæàþùåé öåïè

H ( jω)		= k = const;	(9.54)
ϕ ( ω ) = −ωt0 ,			(9.55)

ò. å. äëÿ òîãо, чтобы линейнàÿ öåïü íå èñêàæàëà форму сиãíàëà åå À×Õ äîëæíà áûòü ðàâномерной (рис. 9.13, à), à ФЧХ линейной (рис. 9.13, á).

Óñëîâие безыскàженной переäà÷è âî âñåì ÷àстотном äèàïàçîíå

f(t)

можно âыполнить лишь

äëÿ

резистиâ-

ных цепей .

В цепях

ñ ðåàêòèâíûìè

f1(t)

элементàìè

óñëîâèÿ

(9.54)

è (9.55)

f2

(t) можно обеспечить лишь â îãðàниченном

÷àстотном äèàïàçîíå ω0 (íà ðèñ. 9.13

0

ïîêàçàно пунктиром).

 ýòîé ñâÿçè ïðåäñòàâëÿåò ïðàктичес-

t0

t

кий интерес âопрос о âлиянии нà форму

Ðèñ. 9.12

ñèãíàëà отклонения

À×Õ è

Ô×Õ îò

Если пренебречь зàâисимостью сопротиâлений резистиâных элементоâ îò ÷àстоты (см. ãë. 1).

226

|H(jω)|		ϕ(ω)		|H(jω)|
k		0	ω0	ω	1
0	ω0	ω		-ω0	0	ω0	ω
	à)		á)
		Ðèñ. 9.13			Ðèñ. 9.14

èäåàльной. Рàссмотрим â êà÷åñòâе примерà прохожäåíèå ñèãíàëà â форме еäиничной функции, â форме еäиничноãо импульсà и импульсà прямоуãольной формы через цепь с АЧХ, изобрàженной нà ðèñ. 9.14. Ýòà öåïü ñîîòâåòñòâóåò èäåàльному ФНЧ (см. ãë. 17) è çàäàåòñÿ óñëîâèåì

ì	× e	− jωt0	ïðè	- w		< w w		ü
ï1					0		0	,ï	(9.56)
H ( jw) = í								ý
ï	0		ïðè	- w 0		w > w 0.ï
î								þ

Фильтр нижних чàстот пропускàåò áåç èñêàжений âñå ÷àстотные состàâляющие от 0 äî w0 è çàäåðæèâàåò ñîñòàâляющие больше w0.

Единичный импульс. Ðàссмотрим âíà÷àëå âõîäíîé ñèãíàë f1(t) â форме еäиничноãо импульсà (ðèñ. 7.2, á). Òàê êàê äëÿ åäèíè÷- íîãо импульсà F1(jw) = 1, то с учетом (9.56) и обрàòíîãо преобрà- çîâàния Фурье (9.7), получим:

1 ω0

= 2p −ωò0

			1			ω
	f2 (t ) =					ò0	e jω(t−t0 )dw =
			2p
						−ω0		ω0
	coséw(t - t			)ùdw + j					sinéw(t - t		)ùdw.
		0						ò		0
	ë			û					ë		û

−ω0

Учитыâàÿ, ÷òî âторой интеãðàë ðàâен нулю, окончàтельно после интеãðèðîâàния получàåì:

	w	0		sinéw	0	(t - t	0	)ù
f2 (t ) =			×	ë				û	.	(9.57)
	p			w0 (t - t0 )

Íà рис. 9.15 изобрàæåíà ôîðìà âûõîäíîãî ñèãíàëà f2(t), îïðå- äеляемàя функцией (9.57). Из рисункà âèäíî, ÷òî ôîðìà âûõîä- íîãî ñèãíàëà сущестâенно отличàåòñÿ îò âõîäíîãо импульсà f1(t): îí èñêàæàется по форме и рàñòÿãèâàåòñÿ âî âремени (теоретически нà бесконечность), что отрàæàåò óñòàíîâленное рàнее соотношение межäó äлительностью сиãíàëà и шириной еãо спектрà: ñèãíàë îãðà- ниченный по чàстоте бесконечен âî âремени и нàоборот (см. § 9.4). Зàïàçäûâàíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà t0 îïðåäеляется крутизной ФЧХ: t0 = dj / dw). Ñ óâеличением w0 (ñ ðàсширением полосы пропускàния фильтрà) ширинà ãëàâíîãо лепесткà импульсà

227

f(t)		f2(t)	f2(t)	π/ω0
1/τ	f1(t)		1
		ω0/π	0,5
0	τ	t	0	t
	t0	2π/ω0		t0
	Ðèñ. 9.15			Ðèñ. 9.16

ðàâíàÿ 2p / w0 ñóæàåòñÿ, çàäåðæêà t0 уменьшàåòñÿ, àмплитуäà импульсà óâеличиâàåòñÿ. Âàжно отметить, что теоретически со- ãëàñíî (9.57) ñèãíàë f2(t) сущестâóåò è ïðè t < 0, ò. å. äî âîçäåéñòâèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà, что конечно, протиâоречит услоâию физи- ческой реàлизуемости и яâляется слеäñòâèåì èäåàëèçàöèè À×Õ ÔÍ×.

Единичный сигнал. Ðàссмотрим теперь прохожäåíèå ñèãíàëà â форме еäиничной функции (рис. 7.2, à) через ФНЧ с хàðàктеристикой (9.56). Зàпишем урàâнение еäиничной функции 1(t) â èíòå-

	ãðàльной форме :				∞ 1
		1		1
	1(t ) =		+		ò		× sin wt dw.	(9.58)
		2		p		w
					0

Èíòåãðàë â (9.58) можно рàññìàòðèâàòü êàê âещестâенную форму обрàòíîãо преобрàçîâàния Фурье (9.7) äля нечетной функции f(t) = 1(t) 1/2, спектр которой рàâåí 1/w. Òîãäà íà îñíîâàнии (9.58) и с учетом услоâèé (9.52) è (9.56), äëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà можно зàïèñàòü:

f		(		) =	1	+	1	ω0	1	× sin w(t - t		)dw =	1	+	1	Siéw(t - t		)ù. (9.59)
	2		t					ò			0						0
				2			p		w			2			p	ë		û
								0

Èíòåãðàë â (9.59) òàбулироâàн и носит нàçâàíèå èíòåãðàëüíîãî ñè-

íóñà: Si[w(t t0)]. Íà ðèñ. 9.16 ïðèâåäåí ãðàôèê ñèãíàëà íà âû- õîäå èäåàëüíîãî ÔÍ×, îïðåäеляемой функцией (9.59).

Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâленноãî ãðàôèêà, чем уже полосà

пропускàния ФНЧ (меньше w0), тем меньше крутизнà фронтà íàðàñòàния импульсà: df2 / dt = w0/p. Òàêèì îáðàçîì, êàê è â

ñëó÷àå åäиничноãо импульсà äля уменьшения искàжений âû- õîäíîãî ñèãíàëà необхоäèìî ðàсширять полосу пропускàния ФНЧ. Выбросы â âûõîäíîì ñèãíàле обуслоâëåíû òåìè æå ïðè- ÷èíàìè, ÷òî è â ñëó÷àе, изобрàженном нà ðèñ. 9.15 (èäåàëèçà- öèÿ À×Õ ÔÍ×).

Óðàâнение (9.58) может быть получено путем использоâàния обобщенноãо преобрà- çîâàния Фурье (9.37) äëÿ åäиничной функции 1(t) ïðè ñ → 0.

228

f1(t)			f2	(t)
	1			1
				0,5
-tè/2	0	tè/2	t	0	t
	-1			t0	tè
		Ðèñ. 9.17			Ðèñ. 9.18

Прямоугольный импульс можно рàññìàòðèâàòü êàê ðàзность äâóõ åäиничных функций сäâинутых относительно äðóã äðóãà íà tè / 2 (ðèñ. 9.17). Òîãäà учитыâàя линейность цепи и рàâåíñòâо (9.59) получим урàâнение âûõîäíîãî ñèãíàëà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:

1

ì

é

æ

t

ö ù

é

æ

t

ö ù ü

f2

(t ) =

íSi êw0

ç t - t0

+

è

÷ ú

- Si êw0

ç t - t0

-

è

÷ ú ý

. (9.60)

p î

ë

è

2 ø û

ë

è

2 ø û þ

Íà рис. 9.18 изобрàæåí âèä âûõîäíîãî ñèãíàëà f2 (t), ò. å., êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, äлительность фронтà íàðàñòàíèÿ è ñïàäà

импульсà îáðàтно пропорционàëüíà полосе пропускàíèÿ öåïè w0. Чем уже полосà, тем более зàтянут фронт импульсà; чем меньше äлительность импульсà, òåì øèðå äîëæíà быть полосà пропускà- ния цепи. Обычно нà ïðàктике полосу пропускàíèÿ âûáèðàþò èç óñëîâèÿ: SA = 2 / tè .

9.7. Связь между временными и частотными характеристиками электрических цепей

Ðàссмотренные â ãë. 8 è 9 âременной и чàстотный метоäû àíà- ëèçà перехоäных процессоâ áàзируются нà äâóõ âçàèìîñâÿçàííûõ õàðàктеристикàх электрических цепей: импульсной или перехоä- íîé, ñ îäной стороны, и комплексной переäàточной функции, с äðóãîé. Ìåæäу этими хàðàктеристикàми сущестâóåò îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Îïðåäåëèì ýòó ñâязь. Допустим, что нà âõîä ïàññèâ- ной электрической цепи с комплексной переäàточной функцией H(jw) приложено âîçäåéñòâèå â âèäå åäиничной импульсной функции. Тоãäà с учетом тоãо, что спектр еäиничноãо импульсноãî ñèã- íàëà ðàâåí åäинице (см. (9.39)), спектр âûõîäíîãî ñèãíàëà ñîãëàñ- íî (9.51) áóäåò:

F2 ( jw) = F1 ( jw) H ( jw) = 1 × H ( jw).

(9.61)

Îáðàтное преобрàçîâàíèå (9.7) îïðåäåëèò âûõîäíîé ñèãíàë f2(t), который численно рàâен импульсной хàðàктеристике цепи:

229

h (t ) =	1	∞	H ( jω) e jωtdω.	(9.62)
	2π	ò
		−∞

Àíàëîãично с учетом услоâия физической реàлизуемости (8.14) можно зàïèñàть прямое преобрàçîâàние Фурье:

∞
H ( jω ) = ò h ( t ) e− jωtdt.	(9.63)
0

Òàêèì îáðàзом, прихоäèì ê âàжному âûâîäó: импульснàя и комплекснàÿ ïåðåäàточные функции пàññèâной электрической цепи сâÿçàíû ìåæäу собой пàрой преобрàçîâàния Фурье (9.62) è (9.63). À ýòî, â ñâою очереäü, îçíà÷àет, что импульснàÿ õàðàк- теристикà îäíîçíà÷íûì îáðàçîì îïðåäеляет комплексную переäà- точную функцию цепи и нàоборот. Причем, äëÿ h(t) è H(jω) ñïðàâåäëèâû âñå ñâîéñòâà и теоремы, рàссмотренные â § 9.2.  ÷àстности, из теоремы изменения мàñøòàáà íåçàâисимоãо переменноãî ñëåäует, что чем более рàстянутà âî âремени импульснàÿ õàðàктеристикà öåïè, òåì óæå åå À×Õ è íàоборот. В § 9.6 было покàçàíî, ÷òî äля неискàæàющей линейной цепи АЧХ äîëæíà áûòü ðàâномернà, à ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñîãëàсно (9.40) импульсной хàðàктеристике цепи â âèäå δ-функции, что полностью поäòâåð- æäàет изложенное.

Ñâязь комплексной переäàточной функции с перехоäíîé õàðàк- теристикой тàêæå îïðåäеляется оäíîçíàчно, поскольку послеäíÿÿ ñâÿçàíà соотношением (8.2) с импульсной хàðàктеристикой цепи. Для устàíîâления этой сâязи можно âоспользоâàòüñÿ èíòåãðàльным преäñòàâлением еäиничной функции (9.58):

1( t ) =

1

+

1 ∞ 1

sin ωt dω

(9.64)

2

π ò

ω

0

с учетом формулы Эйлерà (3.18) перепишем (9.64):

1

( t ) =

1

+

1 ∞ e jωt

− e− jωt

dω =

1

+

1

∞ e jωt

dω.

(9.65)

2

π ò

2jω

2

2π

ò

jω

0

−∞

Åñëè êî âõîäу электрической цепи с переäàточной функцией H(jω) = |H(jω)|ejϕ(ω) приложенà åäиничнàя функция (9.65), то сиãíàë íà âûõîäå öåïè áóäет численно рàâен перехоäíîé õàðàктеристики g (t), спектр которой опреäеляется соãëàñíî (9.51), ãäå F1 ( jω) = 1 jω. Òîãäà после применения обрàòíîãо преобрàçîâàния Фурье с учетом (9.65) получим:

g ( t ) =

H (

0 )

+

1

∞

H ( jω )

e jϕ( ω)

jωt

dω

ò

e

2

2π

jω

−∞

230