Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

	I1	R1		1
+	+	U1	− +		+	+
−	U01		Uí	ÍÝ	−	J02
			−	Ií
			à)	2

Rý	I		i, ìÀ
			30
	í
		+	20
Uýã	ÍÝ	Uí	10
			Ií =4
			0	10 Uí =20 30 uí, Â
	á)			â)
Ðèñ. 10.13

Пример. Применим метоä ýêâèâàлентноãî ãåíåðàòîðà к схеме рис. 10.13, à,

ãäå U01 = 14 Â, J02 = 10 ìÀ, R1 = 1 êÎì, Ií = 10 5Uí2. Из рисункà ñëåäóåò, ÷òî íàпряжение Uýã при отключении НЭ рàâíî

Uýã = J02R1 + U01 = 24 B,

à ýêâèâàлентное сопротиâление Rý = R1 = 1 êÎì.  ñîîòâåòñòâèè ñ ÇÍÊ (ðèñ. 10.13, á) имеем

Ií = (Uýã - Uí )R1 = -10−3Uí + 24 × 10−3.

Построение ãðàôèêîâ прямой линии и ВАХ нелинейноãо элементà ïîêàçà- íî íà ðèñ. 10.13, â. Пересечение этих криâûõ äàåò êîîðäèíàòû ðàбочей точки: Ií = 4 ìÀ è Uí = 20 Â.

10.3. Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными четырехполюсниками

Ðàссмотрим зàäà÷ó àíàëèçà режимà постоянноãî òîêà â резистиâной электрической цепи с нелинейным четырехполюсником (рис. 10.14).

Пусть âõîäíàя ВАХ и семейстâî âûõîäíûõ ÂÀÕ áóäут иметь âèä ïîêàçàííûé íà ðèñ. 10.15, à è á; óïðàâляющим пàðàметром äля семейстâà âûõîäíûõ õàðàктеристик четырехполюсникà ÿâëÿåò-

ñÿ åãî âõîäíîé òîê I1.

Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ âõîäíûõ íàпряжения U1 = U10 è òîêà I1 = = I10 ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ ðàбочей точки нà âõîäíîé âîëüò-àмперной хàðàктеристике i1 = F1(u1). Îíà ðåøàåòñÿ ñ ïîìî-

ùüþ ãðàфических построений, которые полностью àíàëîãè÷íû ðàс- смотренным â § 10.2 (ðèñ. 10.16, à).

		R1	I1		I2	R2
+			+	Нелинейный	+		+
	Uã1		U1	резистивный U2				Uã2
				4-полюсник

Ðèñ. 10.14

241

i1		i2	V
			i1
			i IV
			1
			i III
			1
			i II
			1
			i I
			1
0	u1	0	u2
	à)		á)

Ðèñ. 10.15

i1

i2

Uã1

Uã2

R2

R1

I10

I20

I10

0

U10

Uã1 u1

0

U20

Uã2 u2

à)

á)

Ðèñ. 10.16

Íàéäенному âõîäíîìó òîêó I1 = I10 ñîîòâåòñòâóåò îïðåäеленнàÿ

âûõîäíàÿ âîëüò-àмпернàÿ õàðàктеристикà i2 = F2(u2). Îíà может быть измеренà èëè, êàк это обычно äåëàåòñÿ, îïðåäåëåíà по семей-

ñòâó âûõîäíûõ âîëüò-àмперных хàðàктеристик четырехполюсникà èç ñïðàâочникà. Äëÿ ýòîãо необхоäèìî ïðîâести линейное интерполироâàíèå äâóõ õàðàктеристик семейстâà ñ áëèæàйшими знà÷å-

ниями пàðàметроâ I1 < I10 è I1 > I10. Íà ðèñ. 10.16, á ýòà õàðàктеристикà изобрàæåíà штрихоâой линией.

Âûõîäíîé òîê I2 è âûõîäíîå íàпряжение U2 (ñì. ðèñ. 10.14) ñâÿçàíû ìåæäу собой линейной зàâисимостью I2 = (Uã2 U2)/R2, которàÿ íà ðèñ. 10.16, á ïðåäñòàâляет собой прямую, прохоäÿùóþ

через точки U2 = Uã2 íà îñè àбсцисс и I2 = Uã2/R2 íà îñè îðäèíàò. Òî÷êà пересечения зàâисимостей I2 = (Uã2 U2)/R2 è i2 =

F2(u2) ïðè I1 = I10 è îïðåäеляет рàбочую точку (U20, I20) íà âû- õîäíûõ õàðàктеристикàх четырехполюсникà.

Äàльнейший àíàëèç ðàññìàòðèâàемой цепи может быть сâÿçàí ñ íàõîæäением нàпряжений и токоâ â âåòâÿõ âõîäíîé è âûõîäной цепей, если äî àíàëèçà ýòè öåïè áûëè çàменены экâèâàлентными ãåíåðàòîðàìè.

10.4.Эквивалентные преобразования схем

ñнелинейными элементами

Ñóòü ýêâèâàлентных преобрàçîâàний состоит â çàìåíå ó÷àñòêîâ öåïè ñ ïàðàллельным или послеäîâàтельным соеäинением âåòâåé

242

	i			i	i		F1(u )
i1	+	i2		+		Fý(u )
	u			u			F2(u )
	−			−
							u
Ðèñ. 10.17						Ðèñ. 10.18
i	+		i		i	F1(u)	F2(u)
	u1			+
	−			u
	+						Fý(u)
				−
	u2
	−						u
Ðèñ. 10.19						Ðèñ. 10.20

îäíîé ýêâèâàлентной âåòâью путем суммироâàíèÿ èõ òîêîâ èëè íà- пряжений. Речь зäåñü èäет о суммироâàíèè îðäèíàò èëè àбсцисс зàäàííûõ õàðàктеристик âåòâåé öåïè. Ýòîò ìåòîä особенно эффектиâåí â ñëó÷àå öåïè ñ îäним источником: цепь преäñòàâляется источником и оäíèì ýêâèâàлентным нелинейным элементом.

Пусть äâà ÍÝ ñ óðàâнениями (ВАХ) i1 = F1(u1) è i2 = F2(u2) âключены пàðàллельно (рис. 10.17) .

Необхоäèìî íàéòè óðàâнение НЭ, экâèâàлентноãî äàнному со- еäинению элементоâ. Òàê êàк элементы соеäинены пàðàллельно, то

u1 = u2 = u, à ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà i = i1 + i2. Выполним сложение токоâ ãðàфически, кàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 10.18. Çàäàåìñÿ

çíàчением нàпряжения. При этом знàчении нàпряжения нàõîäим токи НЭ и суммируем их. Зàäàåìñÿ íîâûì çíàчением нàпряжения и опять суммируем токи. Тàêèì îáðàçîì, íàõîäим серию точек, со- еäиняя которые, получàåì ÂÀÕ ýêâèâàлентноãî ÍÝ.

Ðàссмотрим послеäîâàтельное соеäинение НЭ (рис. 10.19). В äàííîì ñëó÷àå i1 = i2 = i, a u = u1 + u2. Процесс опреäеления ВАХ НЭ покàçàí íà ðèñ.10.20. Çàметим, что рàссмотренные преобрàçî- âàния применимы и â ñëó÷àå, êîãäà послеäîâàтельно или пàðàл- лельно соеäинены несколько нелинейных, à òàкже линейных элементоâ.

Поскольку приâîäèìûå íèæå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâы не только äля режимà постоянноãî, íî è äля режимà переменноãî òîêà, â äàльнейшем буäем использоâàòü äля обознàчений нàпряжений и токоâ ìàлые (строчные) букâû.

243

+	I	1		3		i	2-3		2	1
											Fý
U			2								3
−			à)							á)		u
					Ðèñ. 10.21
		ÍÝ1	i	i2			i, ìÀ
							80
	+		−				70			F1	(u)
			iR				60
	+			+
							50
	U		R	u2	ÍÝ2		40		ÍÝ1
	−			−			30					F2(u )
							20			ÍÝ2
							10
							0	2		4	6	u, Â
		Ðèñ. 10.22						Ðèñ. 10.23
i, ìÀ							i, ìÀ
80							80
70			Fý2(u )				70			F (u )
60				F2(u)			60			ý2
50							50
40							40
30				iR			30			F (u )
20
							20				1	Fý1(u )
10							10
0		2	4	6 u, Â			0	2		4	6 u, Â
			à)							á)

Ðèñ. 10.24

Пример. Íà ðèñ. 10.21, à ïîêàçàíà ïîäключеннàя к источнику нàпряжения цепь из трех резистиâíûõ ÍÝ (ðèñ. 10.21, á). Суммироâàíèå îðäèíàò õàðàк- теристик элементоâ 2 è 3, ñîåäиненных пàðàллельно, äàåò ýêâèâàлентную хà- ðàктеристику 2 3. Суммируя àбсциссы послеäíåé ñ àбсциссàìè êðèâîé 1, получàåì ýêâèâàлентную хàðàктеристику нелинейной цепи Fý. Èç ãðàôèêîâ ðèñ. 10.21, á можно, задаваÿñü íàпряжением нà âõîäе, получить токи и нàпряжения âåòâåé.

Пример. Ðàссчитàåì íàпряжения и токи â öåïè, ñõåìà которой изобрàæåíà íà ðèñ. 10.22, ãäå U = 5 Â, R = 500 Îì, à ÂÀÕ ÍÝ çàäàíû ãðàôèêàìè íà ðèñ. 10.23.

244

Поскольку ВАХ зàäàíû ãðàôèêàми, то при решении âоспользуемся ãðàфи- ческими построениями. Нàéäåì ÂÀÕ i = Fý2(u) äâухполюсникà, ýêâèâàлентноãî ïàðàллельному соеäинению линейноãо сопротиâления R è ÍÝ2. Äëÿ ýòîãо перенесен ВАХ НЭ2 íà íîâый рисунок и построим ВАХ линейноãо элементà

(ðèñ. 10.24, à). Íà этом же рисунке покàçàíà ýêâèâàлентнàÿ ÂÀÕ i = Fý2(u). Перенесем эту экâèâàлентную ВАХ и ВАХ НЭ1 íà ðèñ. 10.24, á è íàéäåì

ÂÀÕ ýêâèâàлентноãî äâухполюсникà i = Fý1(u), который присоеäиняется к зàæèìàм источникà.

Ïî ðèñ. 10.24, á ïî êðèâîé i = Fý1(u) íàõîäèì, ÷òî íàпряжению u = 5  ñîîòâåòñòâóåò òîê i = 16 ìÀ, ïî êðèâîé i = F1(u) íàпряжение нà ÍÝ1 u1 =

= 2,8 B è no-êðèâîé i = Fý2(u) íàпряжение нà ïàðàллельном соеäинении R è ÍÝ2 u2 = 2,2 Â. Çíàÿ ýòî íàпряжение, по ãðàôèêàì ðèñ. 10.24, à íàõîäèì

iR = 11 ìÀ è i2 = 5 ìÀ.

10.5. Аналитическое представление вольт-амперных характеристик

×àсто необхоäимо иметь àíàлитические âûðàжения äëÿ âîëüò- àмперных хàðàктеристик нелинейных элементоâ. Ýòè âûðàжения моãут лишь приближенно преäñòàâлять ВАХ, поскольку физиче- ские зàкономерности, которым поäчиняются зàâисимости межäó íàпряжениями и токàìè â электронных и полупроâîäíèêîâых приборàõ, íå âûðàæàþòñÿ àíàлитически.

Çàäà÷à приближенноãî àíàлитическоãî ïðåäñòàâления функции, зàäàííîé ãðàфически или тàблицей знàчений, â çàäàííûõ ïðåäåëàх изменения ее àðãументà (íåçàâисимой переменной) преäïîëàãàåò, âî-ïåðâûõ, âûáîð àппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно преäñòàâляется зàäàííàÿ çàâисимость, и, âî-âторых, âыбор критерия оценки «близости» этой зàâи- симости и àппроксимирующей ее функция.

 êà÷åñòâå àппроксимирующих функций используются, чàùå âñåãî, àëãåáðàические полиномы, некоторые äробные рàöèîíàльные и трàнсценäентные функции или соâокупность отрезкоâ прямых линий.

Áóäåì ñ÷èòàть, что ВАХ нелинейноãо элементà i = F(u) çàäàíà

ãðàфически, т. е. опреäåëåíà â êàæäой точке интерâàëà Umin „ u „ „ Umax, è ïðåäñòàâляет собой оäíîçíàчную непрерыâную функцию переменной u. Òîãäà çàäà÷à àíàлитическоãî ïðåäñòàâления âîëüò-

àмперной хàðàктеристики может рàññìàòðèâàòüñÿ êàê çàäà÷à àп- проксимàöèè çàäàнной функции ξ(x) âûáðàííîé àппроксимирующей функцией f(x).

О близости àппроксимирующей f(x) è àппроксимируемой ξ(x) функций или, иными слоâàìè, î ïîãрешности àппроксимàции, обычно суäÿò ïî íàибольшему àбсолютному знàчению рàзности межäу этими функциями â интерâàëå àппроксимàöèè à „ õ „ b, ò. å. ïî âеличине

245

Λ = max		f ( x ) − ξ ( x )		.	(10.3)

×àсто критерием близости âûáèðàåòñÿ ñðåäíåå êâàäðàтическое знàчение рàзности межäó óêàçàнными функциями â интерâàëå àï-

проксимàöèè, ò. å. âеличинà
Λ =	1	bò [f ( x ) − ξ ( x ) ]2dx .	(10.4)
	b − a
		a

Èíîãäà ïîä близостью äâух функций f(x) è ξ(x) понимàþò ñîâ- ïàäåíèå â çàäàнной точке x = X0 ñàмих функций и n + 1 их произ- âîäíûõ.

Íàиболее рàспрострàненным способом приближения àíàлитиче- ской функции к зàäàííîé ÿâляется интерполяция (ìåòîä âûáðàн- ных точек), коãäà äîáèâàþòñÿ ñîâïàäения функций f(x) è ξ(x) â âûáðàííûõ òî÷êàõ (óçëàх интерполяции) õk, k = 0, 1, 2, ..., n.

Ïîãрешность àппроксимàции может быть äîñòèãíóòà тем меньшей, чем больше число âàрьируемых пàðàметроâ âõîäèò â àппроксимирующую функцию, т. е., нàпример, чем âыше степень àппроксимирующеãо полиномà или чем больше число отрезкоâ прямых соäержит àппроксимирующàя линейно-ломàíàя функция. Оäíî- âременно с этим, естестâåííî, ðàстет объем âычислений кàк при решении зàäà÷è àппроксимàöèè, òàк и при послеäующем àíàлизе нелинейной цепи. Простотà ýòîãî àíàëèçà íàðÿäу с особенностями àппроксимируемой функции â ïðåäåëàх интерâàëà àппроксимàции служит оäíèì èç âàжнейших критериеâ ïðè âыборе типà àппроксимирующей функции.

 çàäà÷àõ àппроксимàöèè âîëüò-àмперных хàðàктеристик электронных и полупроâîäíèêîâых прибороâ стремиться к âысокой точности их âоспроизâåäåíèÿ, êàê ïðàâило, нет необхоäимости ââèäó çíàчительноãî ðàзбросà õàðàктеристик прибороâ îò îáðàçöà ê îáðàзцу и сущестâåííîãî âлияния нà íèõ äåñòàбилизирующих фàктороâ, íàпример, темперàòóðû â полупроâîäíèêîâых приборàх. В большинстâå ñëó÷àåâ äîñòàточно «прàâильно» âоспроизâести общий усреäненный хàðàêòåð çàâисимости i = F(u) â ïðåäåëàõ åå ðà- áî÷åãо интерâàëà.

Полиномиальная аппроксимация.  êà÷åñòâå àппроксимирующей функции â çàäà÷àõ àíàлитическоãî ïðåäñòàâления âîëüò- àмперных хàðàктеристик очень чàсто используются àëãåáðàические полиномы

f ( x ) = a0 + a1x + a2x2 + K + anxn

(10.5)

той или иной степени.

Постоянные a0, a1, a2, K, an ïðåäñòàâляют собой âàрьируемые пàðàметры, знàчения которых âûáèðàþòñÿ òàкими, чтобы â интер- âàëå àппроксимàöèè a „ x „ b ñâести к минимуму поãрешность àппроксимàöèè â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàнным критерием близости.

246

В простейшем случàе критерием близости может служить соâïà-

äåíèå çíàчений àппроксимирующей и àппроксимируемой функций

â âозможно большем числе âûáðàнных точек, рàсположенных â

интерâàëå àппроксимàöèè. Ñîîòâåòñòâующий метоä приближенноãî

âоспроизâåäения функций носит, кàк мы уже упоминàëè, íàçâàíèå

интерполироâàíèÿ, à äискретные точки, â которых требуется точ-

íîå ñîâïàäение функций f(x) è x(x), íàçûâàþòñÿ óçëàми интерпо-

ëèðîâàния. Их число нà åäиницу преâûøàет степень интерполи-

рующеãо полиномà. Дейстâительно, зàïèñûâàÿ ðàâåíñòâо функций

f(xk) = x(xk) â êàæäîì èç óçëîâ интерполироâàíèÿ xk, k = 0, 1,

2, ..., n, получим систему из n + 1 линейных урàâнений

a0 + a1x0 + a2x02 + K + anx0n = x ( x0 ) ü

a0 + a1x1 + a2x2 + K + anxn = x ( x1 )

ï

ï

(10.6)

1

1

ý

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ï

a0 + a1xn + a2xn2 + K + anxnn = x ( xn )

þï

ñ òàким же числом неизâестных коэффициентоâ a0, a1, a2, K, an

интерполирующеãо полиномà.

В теории интерполироâàния функций äîêàçûâàется, что системà

óðàâнений (10.6) имеет еäèíñòâенное решение. Еäèíñòâенным, сле-

äîâàтельно, буäет и решение рàññìàòðèâàåìîé çàäàчи интерполи-

ðîâàíèÿ âîëüò-àмперной хàðàктеристики полиномом âûáðàííîé

степени.

Ïðèâåäем простейший пример

интерполироâàíèÿ â интерâàëå

0 „ x „ 1,5 полиномом перâой степени f ( x ) = a0 + a1x

функции

x ( x ) = 1 - e−x , çàäàííîé àíàлитически. Рàсположим узлы интерпо-

ëèðîâàíèÿ, à èõ äолжно быть n + 1 = 2, ïðè x0 = 0,1 è x1 = 1,0.

Òîãäà системà óðàâнений относительно искомых коэффициентоâ a0

è a

1

áóäåò òàêîé: a

0

+ a × 0,1 = 1 - e

−0,1 è a

0

+ a = 1 - e−1 . Èç åå ðå-

1

1

шения слеäóåò à0 = 0,036, a1 = 0,597 è f(x) = 0,036 + 0,597x. Ãðà-

фики функций f(x) è x(õ) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 10.25. Îíè ïîêàçû-

âàют, что точность âоспроизâåäåíèÿ çàäàнной функции неâåëèêà. Â

çàäàнном интерâàëå 0 „ x „ 1,5 íà-

ξ (x)

ибольшàÿ ïîãрешность | f(x) x(õ)|,

f (x)

ò. å. max| f(x) x(õ)| íàõîäèòñÿ íà

1

îäíîé èç ãðàниц интерâàëà ïðè õ =

0,9

f (x)

= 1,5 è ñîñòàâляет 0,158. Ее можно

0,8

0,7

ξ(x)

уменьшить, âûáðàâ äðóãèå óçëû

0,6

интерполироâàíèÿ

è,

òåì

более,

0,5

ïîâûñèâ степень интерполирующе-

0,4

ãо полиномà. Òàê, ãðàôèêè òîé æå

0,3

функции

x ( x ) = 1 - e−x

и интерпо-

0,2

0,1

лирующеãо полиномà

âторой сте-

0

0,5

1

1,5

x

ïåíè

ñ

óçëàми интерполироâàíèÿ

x0 = 0,15, x1 = 0,6 è x2 = 1,2 ïðàê-

Ðèñ. 10.25

247

	f (x) − ξ (x)				f (x) ξ (x)
0,01					1
					0,9			f (x)
					0,8
0					0,7			ξ (x)
	0,5	1	1,5	x	0,6
					0,5
-0,01					0,4
					0,3
					0,2
-0,02					0,1
					0	0,5	1	1,5	x
	Ðèñ. 10.26					Ðèñ. 10.27

тически соâïàäàþò. Íà ðèñ. 10.26 ïðèâåäåí ãðàôèê ðàзности этих функций, из котороãî ñëåäóåò, ÷òî ïîãрешность â òîì æå çàäàнном интерâàëå íå ïðåâûøàет 0,026, т. е. уменьшилàñü ïî ñðàâнению с линейной интерполяцией â 6 ðàç.

Îäним из эффектиâíûõ ìåòîäîâ àппроксимàции функций, â котором поãрешность àппроксимàции контролируется âî âсем интер- âàле приближения à x b, à íå â åãî äискретных точкàõ, ÿâляется метоä íàилучшеãî ðàâномерноãо приближения (àппроксимà- ции) функций (приближения по П.Л. Чебышеâó). Â ýòîì ìåòîäå ïàðàметры àппроксимирующей функции âûáèðàþòñÿ òàкими, чтобы â интерâàле приближения нàибольшее по àбсолютной âеличине отклонение функции f(x) от непрерыâной функции ξ(õ) было бы минимàëüíî âозможным, или, используя обознàчения (10.3), чтобы â интерâàëå à õ b

Λ = max		f ( x ) − ξ ( x )		= min .	(10.7)

 ðàссмотренном âыше примере этому критерию уäîâëåòâоряет полином f(õ) = 0,071 + 0,518õ. Íàибольшие еãо отклонения от функции ξ ( x ) = 1 − e−x â интерâàëå 0 x 1,5 ðàсположены при x = 0, õ =xm = 0,658 è õ = 1,5 (см. рис. 10.27), причем, что очень âàæíî, âñå îíè ðàâíû ïî àбсолютной âеличине. Леãко понять, что любое изменение нàêëîíà (à1) èëè óðîâíÿ (à0) полиномà f(x), которое âåäет к уменьшению экстремàëüíîãо отклонения â äâóõ èç òðåõ óêàçàнных точек, уâеличиâàет отклонения â îñòàâшейся точке. Тàêèì îáðàзом, полином f(x) = 0,071 + 0,518õ èç âсех полиномоâ ïåðâой степени äåéñòâительно минимизирует àбсолютную âеличину отклонения от функции 1 e x â интерâàëå 0 x 1,5.

В теории àппроксимàции функций äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íàибольшее по àбсолютной âеличине отклонение полиномà f(õ) степени ï от непрерыâной функции ξ(x) áóäет минимàëüíî âозможным, åñëè â интерâàле приближения à õ b ðàзность f(õ) ξ(x) не меньше, чем ï + 2 ðàçà принимàåò ñâои послеäîâàтельно череäующиеся

248

ïðåäельные нàибольшие f(õ) ξ(x) =				f (x) − ξ (x)
= L > 0 è íàименьшие f(õ) ξ(x) =			L
= L çíàчения (критерий Чебышеâà).
Õàðàêòåð	ãðàôèêà	ðàзности	0	à	b	x
f(õ) ξ(x) äля полиномà f(õ) пятой
			-L
степени, уäîâëåòâоряющеãо этому
критерию, приâåäåí íà		ðèñ. 10.28.		Ðèñ. 10.28
Этому же критерию уäîâëåòâоряет
полином f(õ) â ðàссмотренном âыше примере (см. рис. 10.27).
Âî ìíîãих приклàäíûõ çàäà÷àõ íàõîäит применение полиноми-
àëüíàÿ àппроксимàöèÿ ïî ñðåäíåêâàäðàтическому критерию близо-
ñòè, êîãäà ïàðàметры àппроксимирующей функции f(õ) âûáèðàþò-
ñÿ èç óñëîâèÿ îáðàщения â минимум â интерâàëå àппроксимàöèè
à õ b êâàäðàòà отклонения функции f(õ) îò çàäàнной непре-
ðûâной функции ξ(õ), ò. å., èç óñëîâèÿ:

		1	b
	Λ =		ò		f ( x ) − ξ ( x )		2 dx = min .	(10.8)
		b − a
			a

 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàми отыскàния экстремумоâ решение зàäà÷è ñâîäится к решению системы линейных урàâнении, которàÿ îáðàзуется â результàòå ïðèðàâíèâàíèÿ ê íóëþ ïåðâûõ ÷àстных произâîäных функции Λ ïî êàæäому из искомых коэффициентоâ àk àппроксимирующеãо полиномà f(x), ò. å. óðàâнений

∂Λ		= 0;	∂Λ	= 0;	∂Λ		= 0, K,	∂Λ		= 0.	(10.9)
			∂a
∂a	0				∂a	2		∂a	n
			1

Äîêàçàíî, ÷òî è ýòà системà óðàâнений имеет еäèíñòâенное решение. В простейших случàÿõ îíî íàõîäèòñÿ àíàлитически, à â общем случàе численно. Тàê, â ðàññìàòðèâàемом примере систе- мà óðàâнений при àппроксимàöèè â интерâàëå 0 x l,5 функции 1− e−x полиномом перâой степени тàêîâà:

	∂Λ	1,5	( a0 + a1x − 1 + e−x ) dx = 0,
		= ò 2
	∂a0
		0
	∂Λ	1,5	( a0 + a1x − 1 + e−x ) xdx = 0,
		= ò 2
	∂a1	0

или после преобрàçîâàíèé:

3a0 + 2,25a1 = 1 + 2 × e−1,5; 2,25a0 + 2,25a1 = 0,25 - 5 × e−1,5 .

Поэтому f(õ) = 0,108 + 0,500x.

Çàметим, что, кàê ïðàâèëî, ñðåäíÿÿ êâàäðàтическàÿ ïîãрешность нàилучшеãî ðàâномерноãо приближения функций f(õ) è ξ(õ) ëèøü íå íàìíîãо отличàется от минимàëüíî âозможной. Обрàòíîå óòâåðæäение обычно ошибочно, т. е. при кâàäðàтической àппроксимàöèè â некоторых учàñòêàх интерâàëà àппроксимàöèè âозмож-

249

i
I2
I0
I1
0	U1	U0 U2	u
	Ðèñ. 10.29

ны сущестâенные преâышения по- ãрешности àппроксимàöèè (âыбросы) по срàâнению с теми, которые соот- âåòñòâуют критерию (10.7).

Вернемся к âîëüò-àмперным хà- ðàктеристикàм. Общий âèä çàписи степенноãо полиномà, àппроксимирующеãî ÂÀÕ:

i = a0 + a1u + a2u2 + K + anun. (10.10)

Èíîãäà áûâàåò óäîáíî ðåøàòü çà- äà÷ó àппроксимàöèè çàäàííîé õàðàктеристики â окрестности рàбо- чей точки U0. Òîãäà используют степенной полином äðóãîãî âèäà:

i = a0 + a1 ( u − U0 ) + a2 ( u − U0 )2 + K + an ( u − U0 )n . (10.11)

Пример. Используя метоä интерполяции, àппроксимироâàть ВАХ нелинейноãо резистиâíîãо элементà (рис. 10.29) степенным полиномом. Аппроксимироâàííàÿ ÂÀÕ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ çàäàííîé â âûáðàííûõ òî÷êàõ U0, U1 è

U2.

Ñîñòàâим систему урàâнений:

			ì I		0	= a	0	+ a	(U	0	- U	)	+ a		(U		0	- U			)2
			ï					1			0			2						0
				I = a			0	+ a	(U - U			)	+ a		(U - U						)2
			í		1			1		1	0			2		1				0
			ï I = a + a						(U - U			) + a (U - U )2
			î		2		0	1		2	0			2			2			1
			ï
из которой нàéä¸м искомые коэффициенты
a0 = i0;		é	(U - U					)2 -	(U			)2 ù				(U						)2		(U - U	)2
	I									2	- U			+ I					2	- U			- I
a1 =	0	ë			1		0				0		û		1						0		2	1 0		;
														D

a2 = I0 (U2 - U1 ) - I1 (U2D- U0 ) - I2 (U0 - U1 ) ; D = - (U2 - U0 )(U2 - U1 )(U0 - U1 ).

Пример. ВАХ нелинейноãо резистиâíîãо элементà i = F(u) çàäàíà òàблицей:

	uk		0	0.1	0.2		0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	ik		0	0.06	0.23		0.5	0.85	1.18	1.65	2.3	2.9
Используя			êâàäðàтический			критерий, àппроксимироâàòü õàðàктеристику

âûðàжением i = a2u2 .

Ñóììà êâàäðàòîâ отклонений àппроксимирующей функции от зàäàííîé:

8				2
L = å	é	2	ù
			- ik û минимàëüíà ïðè çíàчении коэффициентà a2, óäîâëåòâî-
	ëa2uk
k=0

ряющеãî óðàâнению

250