Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Ïîäñòàâèâ (15.7) â (15.6), получим äифференциàльное урàâнение àâòîãåíåðàòîðà

d2u

é G

S ( u

îñ

) M ù du

2

2ê + ê

-

ú

ê + w 0 uê

= 0,

(15.8)

dt

C

ë

LC û

dt

ãäå w 0

= 1

резонàíñíàÿ ÷àñòîòà контурà.

LC

нелинейным, тàê

Ýòî

äифференциàльное урàâнение

ÿâляется

êàк коэффициент при перâой произâîäíîé íàпряжения uê, â который âõîäит крутизнà S(uîñ), нелинейно зàâèñèò îò íàпряжения об- рàòíîé ñâÿçè uîñ (или, что то же, от искомой переменной нà- пряжения нà контуре). Урàâнение (15.8) опреäеляет âñå ñâîéñòâà àâòîãåíåðàòîðà è ïîçâоляет устàíîâèòü óñëîâèÿ ñàìîâозбужäения колебàний, особенности стàöèîíàðíîãо режимà è õàðàктер перехоäных процессоâ â àâòîãåíåðàòîðå.

Условие возникновения колебаний. Ïðè îïðåäелении услоâèé ñàìîâозбужäåíèÿ ñëåäует учесть, что àмплитуäà íàðàñòàющих колебàíèé â àâòîãåíåðàòîðå äîñòàточно мàëà è ðàáîòà àâòîãåíåðàòîðà

происхоäèò íà линейном учàñòêå ÂÀÕ òðàнзисторà iÊ = F(uîñ). Иными слоâàìè, äëÿ ìàëûõ àмплитуä колебàний ВАХ можно àï-

проксимироâàть линейно-ломàной функцией, крутизнà которой â ðàбочем äèàïàçîíå àмплитуä íàпряжения яâляется постоянной, не

çàâисящей от нàпряжения uîñ, ò. å. S(uîñ) = S.  ýòîì ñëó÷àå äифференциàльное урàâнение àâòîãåíåðàòîðà (15.8) ñòàíîâèòñÿ ëè-

нейным:

d2uê

æ

G

-

SM ö

×

duê

2

= 0.

dt2

+ ç

C

÷

dt

+ w 0 uê

è

LC ø

Перепишем еãî â âèäå

d2uê + 2aý duê

+ w20 uê = 0,

(15.9)

dt2

dt

ãäå aý =

1

æ G

-

SM

ö

ýêâèâàлентный

коэффициент

çàòóõàíèÿ

ç

÷

2

LC

è C

ø

колебàтельноãо контурà, âключенноãî â цепь коллекторà òðàнзисторà.

Сопостàâление урàâнения (15.9) с урàâнением (15.2) äëÿ îäи- ночноãо колебàтельноãо контурà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè âключении колебàтельноãо контурà â коллекторную цепь трàнзисторà коэффициент зàòóõàния контурà aý уменьшится нà âеличину SM/2LC, çàâисящую от âçàимоинäукции Ì, ò. å. îò ÎÑ:

aý = a - 2SMLC ,

ãäå a = G/2Ñ коэффициент зàòóõàíèÿ ñâîáîäных колебàний контурà.

381

Чтобы â контуре âозникли нàðàñòàþùèå ïî àмплитуäе колебà- ния, необхоäèìî ñäåëàть коэффициент αý < 0. Ýòî âозможно при услоâèè SM/LÑ > G/C. Îòñþäà получàåì çíàчение коэффициентà âçàимной инäукции Ì при котором â колебàтельном контуре âозникнут нàðàñòàþùèå ïî àмплитуäе колебàíèÿ:

M > LG S.

(15.10)

Óñëîâèå (15.10) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñàìîâозбужäåíèÿ LC-àâ- òîãåíåðàòîðà. Величинà Mêð = LG/S íàçûâàåòñÿ критическим коэффициентом âçàимной инäукции. Колебàíèÿ â àâòîãåíåðàòîðå ìîãóò âозникнуть только при обрàòíîé ñâÿçè ñ Ì > Mêð. Ïðè Ì < Mêð коэффициент зàòóõàния контурà αý > 0 и колебàíèå â контуре стàíîâèòñÿ çàòóõàющим. Коэффициент αý â (15.9) можно преäñòàâèòü â ñëåäующем âèäå:

αý = (G + Gâí ) 2C,

(15.11)

ãäå Gâí = (SM/L) ïðîâîäимость, âносимàÿ â контур зà ñ÷åò äåéñòâèÿ îáðàòíîé ñâÿçè. Çíàк коэффициентà Ì может меняться â çàâисимости от нàïðàâления âключения (соãëàñíî èëè âстречно) âторичной обмотки трàнсформàòîðà. Ïðè Ì > 0 âносимàÿ ïðîâî- äимость окàçûâàется отрицàтельной и если ее âеличинà | Gâí | > G, что имеет место при Ì > Mêð, òî αý < 0 è â контуре âозникнут нà- ðàñòàþùèå ïî àмплитуäе колебàния. Положительные знàчения М соотâåòñòâуют положительной ОС, отрицàтельные отрицàтельной ОС.

Ýêâèâàлентнàÿ ñõåìà колебàтельноãо контурà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óðàâнению (15.9) с αý èç (15.11), ïðèâåäåíà íà ðèñ. 15.4. Îòðè-

öàтельнàÿ îáùàÿ ïðîâîäимость контурà G + Gâí < 0 ïðè Ì > Mêð ñâèäетельстâóåò î òîì, ÷òî â контур поступàåò ýíåðãии больше, чем

ðàñõîäуется ее нà àêòèâíîé ïðîâîäимости контурà G.

Стационарный режим работы. При больших àмплитуäàõ ñèã- íàëà нелинейностью ВАХ трàнзисторà iÊ = F(uîñ) пренебречь уже нельзя: â общем случàå îíà äîëæíà àппроксимироâàться степенным полиномом âысокоãî ïîðÿäêà.

Òîê â цепи коллекторà â ñòàöèîíàрном режиме буäåò èç-çà нелинейности ВАХ несинусоиäàльной периоäической функцией âремени и может быть преäñòàâëåí ðÿäом Фурье

iÊ

SM

L

C

G

L

0

U''

u

îñ

0

U0'

Ðèñ. 15.4

Ðèñ. 15.5

382

iÊ = I0 + Im1 cos ω0t + Im2 cos 2ω0t + K

Ïàäåíèå íàпряжения uê íà колебàтельном контуре, нàстроенном нà ÷àстоту ω0, îïðåäеляется â îñíîâíîì ïåðâîé ãàрмоникой коллекторноãî òîêà, òàê êàк сопротиâление контурà äëÿ òîêà ýòîé ãàрмоники яâляется нàибольшим (рàâíûì Rîý = l/G), à äëÿ îñòàльных ãàрмоник äîñòàточно мàëûì. Íàпряжение ОС uîñ, îïðåäеляемое (15.5), âñëåäñòâèå ýòîãî òàêæå áóäåò ãàрмоническим; еãо можно зà- ïèñàòü â âèäå

uoc = Umoc cos ω0t.

Ââåäем понятие ñðåäней крутизны ВАХ

Scp (Umoc ) = Im1Umoc .

Îíà îïðåäеляется отношением àмплитуäû Im1 ïåðâîé ãàрмоники токà iÊ, протекàþùåãо через нелинейный элемент, к àмплитуäå Um îñ, äåéñòâóþùåãî íà нелинейный элемент нàпряжения uîñ. Ñðåäнюю крутизну чàсто поэтому нàçûâàют крутизной ВАХ по перâîé ãàрмонике. Среäняя крутизнà Scp(Um îñ) çàâèñèò îò àмплитуäû íàпряжения обрàòíîé ñâÿçè Um îñ и от положения рàбочей точки U0. Íà ðèñ. 15.5 ïîêàçàíà типичнàÿ ÂÀÕ òðàнзисторà iÊ =

= F(uîñ). Пусть рàáî÷àÿ òî÷êà âûáðàíà íà ñåðåäине линейноãî ó÷à- ñòêà õàðàктеристики (U0 = U0′). Ïðè óâеличении àмплитуäû íà-

пряжения Um îñ ñðåäняя крутизнà, ïîêà ìû íàõîäèìñÿ â ïðåäåëàх линейноãî ó÷àñòêà õàðàктеристики, остàется неизменной. Зàòåì ñðåäняя крутизнà ÂÀÕ ïàäàåò (ðèñ. 15.6, à). Åñëè âûáðàòü ðàбо- чую точку (U0 = U0′′) íà нижнем зàãèáå õàðàктеристики iÊ =

= F(uîñ), ãäå ñðåäняя крутизнà ìàëà, òî ïî ìåðå óâеличения àмплитуäû Um îñ áóäóò îõâàòûâàòüñÿ ó÷àñòêè õàðàктеристики с большей крутизной и, слеäîâàтельно, Scp(Um îñ) ñòàíåò ðàсти. После про-

õîæäåíèÿ ó÷àñòêà ñ íàибольшей крутизной äàльнейшее уâеличение Um îñ ïðèâîäит к уменьшению среäней крутизны (рис. 15.6, á).

Дифференциàльное урàâнение (15.8) при рàáîòå ãåíåðàòîðà â режиме больших àмплитуä ÿâляется, âообще ãîâоря, нелинейным, поскольку â коэффициент при duê/dt âõîäèò ñðåäняя крутизнà Scp(Um îñ), çàâèñÿùàÿ îò àмплитуäû Um îñ íàпряжения ОС. Оäíàêî

Scp (Um îñ )

0

Scp (Um îñ )
0	Um îñ
Um îñ
à)	á)
Ðèñ. 15.6

383

â ñòàöèîíàрном режиме, коãäà ãàрмоническое нàпряжение нà контуре uê õàðàктеризуется устàíîâèâшейся (стàöèîíàðíîé) àмплиту- äîé Um ê, ãàрмоническое нàпряжение обрàòíîé ñâÿçè uîñ òàкже описыâàåòñÿ óñòàíîâèâшейся (стàöèîíàðíîé) àмплитуäîé Um îñ. Ïðè ýòîì ñðåäняя крутизнà Scp(Um îñ) ÿâляется постоянной âели- чиной и äифференциàльное урàâнение (15.8) можно считàть линейным:

d2uê	é G			Scp (Umoc ) M ù			duê	2
	+ ê		-		ú	×		+ w0uê = 0.	(15.12)
dt2							dt
	ë	C		LC	û

 ñòàöèîíàрном режиме ãенерируются незàòóõàþùèå ãàрмони-

ческие колебàния. Это имеет место, коãäà

1

é

G

S

(U

) M ù

M é LG

ù

aý =

ê

-

cp

moc

ú

=

ê

- Scp (Umoc )ú

= 0.

2

LC

ë C

û

2LC ë M

û

Îòñþäà óñòàíîâèâшееся (стàöèîíàðíîå) çíàчение среäней крутизны рàâíî

Scp (Umoc ) = ( LGM ) = Scp* .

С учетом этоãо обознàчения коэффициент зàòóõàния контурà перепишем â âèäå

aý =	M	é	ù	(15.13)
	2LC	ë Scp*	- Scp (Umoc )û.

Из формулы (15.13) при aý = 0 можно опреäелить стàöèîíàð- íóþ àмплитуäó Um* oc , которàÿ ñîîòâåòñòâует точке пересечения криâîé Sñð(Um îñ) и прямой линии Scp* . Рис. 15.7 иллюстрирует процесс нàõîæäåíèÿ ñòàöèîíàðíîé àмплитуäû äëÿ äâóõ çàâисимостей среäней крутизны, соотâåòñòâующих рàзличным положениям рàбочей точки нà ÂÀÕ (ñì. ðèñ. 15.5).

×àñòîòà ãенерируемых колебàíèé, îïðåäеляемàÿ êàê wã = = ω02 − α ý2 , â ñòàöèîíàрном режиме при aý = 0 ñîâïàäàåò ñ ðåçî- íàнсной чàстотой колебàтельноãо контурà w0.

Scp (Um îñ )		Scp (Um îñ )
		Scp*	Â	Ñ
Scp*
0	U*m îñ	0	U*m îñ1	U*m îñ2	Um îñ
		Um îñ
	à)			á)
		Ðèñ. 15.7

384

Устойчивость стационарного режима. Ñòàöèîíàрный режим нà-
çûâàåòñÿ устойчиâûì,			åñëè			отклонение		Um îñ îò	ñòàöèîíàðíîé
àмплитуäû Um* oc с течением âремени буäет уменьшàòüñÿ.
Ðàссмотрим стàöèîíàрный режим â точке À íà ðèñ. 15.7, à. Îò-
клонение Um îñ îò àмплитуäû Um* oc ïðèâåäåò ê Sñð(Um îñ) > Scp*
è, â ñîîòâåòñòâèè ñ (15.13), ê αý < 0, ò. å. àмплитуäà колебàíèé
áóäåò óâеличиâàться и приближàòüñÿ ê ñòàöèîíàрному знàчению.
При отклонении +	U	m îñ		ñðåäняя крутизнà Sñð(U					) <	S* , ò. å.
								m îñ		cp
коэффициент зàòóõàíèÿ				αý, ñòàнет положительным и àмплитуäà
уменьшится, âíîâь приближàÿñü ê ñòàöèîíàðíîé. Òàêèì îáðàçîì,
òî÷êà À ñîîòâåòñòâует устойчиâîìó ñòàöèîíàрному режиму.
Òî÷êà  íà ðèñ. 15.7, á ñîîòâåòñòâует неустойчиâому режиму,
òàê êàк отклонение àмплитуäû							Um îñ îò	ñòàöèîíàðíîãî		çíàчения
Um* oc â сторону уменьшения âåäåò ê Sñð(Um îñ) < Scp*									è αý > 0, ò. å.
ê äàльнейшему уменьшению àмплитуäû Um îñ, à отклонение àìïëè-
òóäû Um îñ îò ñòàöèîíàðíîé â сторону уâеличения âûçîâåò äàëü-
нейший ее рост и перехоä â ñëåäующее стàöèîíàрное состояние,
отмеченное точкой Ñ.
Ñòàöèîíàрное состояние â точке Ñ ÿâляется устойчиâûì, â ÷åì
ëåãêî óáåäиться с помощью рàññóæäåíèé, àíàëîãичных приâåäåí-
íûì âûøå.
Можно зàметить, что спрàâåäëèâî ñëåäующее утâåðæäåíèå: ïå-
ресечение прямой линии Scp*						ñ êðèâîé ñðåäней крутизны Sñð(Um îñ)
äàет устойчиâûå çíàчения стàöèîíàðíîé àмплитуäû Um* oc , åñëè íà
ýòîì ó÷àñòêå dSñð(Um îñ) / dUm îñ							< 0 и неустойчиâûå çíàчения
åñëè dSñð(Um îñ) / dUm îñ > 0. Поэтому услоâèå dSñð(Um îñ)										/ dUm îñ <
< 0 можно считàòü óñëîâием устойчиâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðå-
æèìà.
Режим самовозбуждения. Áóäем менять коэффициент âçàимной
èíäукции Ì è íàáëþäàòü çà процессом âозникноâения колебàíèé.
Scp (Um îñ )							U*m îñ
Scp1*						M1	U*m îñ6
							U*m îñ5
Scp2*						M2
							U*m îñ4
Scp3*						M3
Scp4*						M4	U*m îñ3
Scp5*						M5
Scp6*						M6
0							0
îñ3		îñ4		îñ5	îñ6	Um îñ		M1 M2 M3	M4	M5 M6 M
m	*m			m	m
*			*		*
U	U		U U
à)								á)
						Ðèñ. 15.8

385

Этот процесс зàâèñèò òàêæå îò âûáîðà ðàбочей точки нà ÂÀÕ (íà- пряжения смещения U0).

Выбору рàбочей точки â îáëàñòè íàибольшей крутизны (нàпряжение смещения U0′ íà ðèñ. 15.5) ñîîòâåòñòâóåò ãðàôèê ñðåäней крутизны Sñð(Um îñ), ïîêàçàííîé íà ðèñ. 15.8, à.

При изменении пàðàìåòðà Ì меняется знàчение среäней крутизны Scp* = LG/M. Íà ðèñ. 15.8, à изобрàжены несколько прямых Scp* , ñîîòâåòñòâующих рàзличным Ì.

Ïðè Ì = Ì1 колебàíèÿ â àâòîãåíåðàòîðå âозникнуть не моãут, поскольку Scp* 1 > Sñð(Um îñ) и коэффициент зàòóõàния контурà αý > 0, çíàчит, любые случàйные флуктуàöèè íàпряжения Um îñ áóäут быстро зàòóõàòü.

Óâеличение Ì äî çíàчения Ì2 ïðèâîäèò ê Scp* 2 = Sñð(Um îñ) è αý = 0. Äàльнейший рост Ì ñíèæàåò çíàчение Scp* ; ïðè ýòîì êîýô-

фициент αý ñòàíîâится отрицàтельным, т. е. αý < 0. Òàêèì îáðà- çîì, íà÷èíàÿ ñ M Ì2, â àâòîãåíåðàòîðå âозникàþò íåçàòóõàю- щие колебàíèÿ ñ ñîîòâåòñòâующими стàöèîíàрными àмплитуäàìè

Um* oc . Ñ óâеличением Ì ñòàöèîíàðíàÿ àмплитуäà колебàíèé Um* oc ïëàâíî íàðàñòàет. Уменьшение Ì âûçîâåò ïëàâное уменьшение

çíàчений стàöèîíàðíîé àмплитуäû Um* oc . Ãðàôèê çàâисимости стà- öèîíàðíîé àмплитуäû Um* oc ãенерируемых â àâòîãåíåðàòîðå êîëå-

áàний от коэффициентà âçàимной инäукции Ì ïðèâåäåí íà ðèñ. 15.8, á. Òàкой режим сàìîâозбужäåíèÿ ãåíåðàòîðà, при котором àмплитуäà колебàíèé ïëàâíî íàðàñòàåò ñ óâеличением Ì, íà- çûâàåòñÿ ìÿãким режимом сàìîâозбужäåíèÿ.

Åñëè ðàбочую точку âûáðàòü íà нижнем зàãèáå ÂÀÕ, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 15.5 ïðè U0 = U0′′, òî ãðàôèê ñðåäней крутизны

Sñð(Um îñ) имеет âèä, ïîêàçàííûé íà рисунке 15.9, à.

Ïðè Ì, ðàâíîì Ì1, Ì2 è Ì3, íàличие мàлых флуктуàöèé íà- пряжения Um îñ íå ïðèâåäåò ê óñòàíîâлению стàöèîíàðíîé àìïëè-

Scp (Um îñ )								U*m îñ
Scp1*							M1
Scp2*	Â		Ñ				M2	*
Scp3*							M3	U m îñ4
Scp4*							M4	U*m îñ2
Scp5*							M5
Scp6*							M6
0								0	M1 M2 M3	M4	M5 M6 M
	îñ1	îñ2	îñ3	îñ4	îñ5	îñ6	U*m îñ
	m	m	m	*m	*m	m
	*	*	*			*
	U	U	U U U U
			à)						á)
							Ðèñ. 15.9

386

òóäы, поскольку при знàчениях Scp* , ðàâíûõ Scp* 1, Scp* 2 è Scp* 3 , êî-

эффициент зàòóõàния контурà αý áóäет положительным.

Только нà÷èíàÿ ñ Ì = Ì4, êîãäà Sñð(Um îñ) = Scp4* è αý = 0,

ìàлые флуктуàöèè àмплитуäû íàпряжения обрàòíîé ñâÿçè íà÷è- íàют быстро рàñòè, ïîêà íå óñòàíîâится устойчиâîå ñòàöèîíàðíîå

çíàчение àмплитуäû Um* oc . Äàльнейшее уâеличение Ì âåäåò ê ïëàâному росту стàöèîíàðíîé àмплитуäû.

Ïðè ïëàâном уменьшении обрàòíîé ñâязи (коэффициентà Ì)

ñòàöèîíàðíàÿ àмплитуäà Um* oc áóäåò òàêæå ïëàâно уменьшàться. Колебàíèÿ ñîðâóòñÿ ïðè çíàчении Ì = Ì2, меньшем Ì4, êîãäà ïå-

ðåñòàíåò âыполняться услоâèå ñòàöèîíàрности Sñð(Um îñ) = Scp* . Íà ðèñ. 15.9, á äàí ãðàфик изменения àмплитуäû Um* oc â çàâисимости от Ì. Òàкой режим, коãäà колебàíèÿ âозбужäàются при большем знàчении Ì, à ñðûâàются при меньшем знàчении Ì, íà- çûâàåòñÿ жестким режимом сàìîâозбужäåíèÿ.

Достоинстâîì ìÿãêîãо режимà ñàìîâозбужäåíèÿ ÿâляется плàâ- ное изменение àмплитуäû Um* oc при изменении коэффициентà Ì; äостоинстâом жесткоãо режимà ÿâляется âысокий КПД зà ñ÷åò ðà- боты с отсечкой коллекторноãî òîêà.

Можно объеäинить äостоинстâà ìÿãêîãо и жесткоãо режимоâ ñàìîâозбужäåíèÿ, åñëè ââåñòè â àâòîãåíåðàòîð öåïü àâòîìàòè÷å- ñêîãо смещения RÁ ÑÁ (ðèñ. 15.10, à). Èñõîäное смещение U0 âû- áèðàþò òàким, при котором рàáî÷àÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ íà ó÷àñòêå íàибольшей крутизны ВАХ, что соотâåòñòâóåò ìÿãкому режиму.

Ïðè íàðàñòàíèè àмплитуäы колебàíèé uîñ â öåïè áàçû çà счет нелинейности ВАХ iÁ = F(uÁÝ) произойäåò äетектироâàíèå êîëå-

áàíèé. Âîçðàñòàние постоянной состàâляющей токà áàçû IÁO, которàÿ íà резистиâном сопротиâлении RÁ ñîçäàåò íàпряжение

		M		+	U		iÊ
					ïèò
							+
uoc	Loc		L		C	G	uê
+
	iÁ				iÊ		0	U0	uÁÝ
		RÁ			Ê
	+			Á			0		uÁÝ
					VT
		CÁ		uÁÝ	Ý

+ U0 −

a)	t	á)

Ðèñ. 15.10

387

RâûõZê ( p )

IÁO × RÁ, ïðèâîäит к уменьшению результирующеãî íàпряжения

смещения U0 IÁO × RÁ è, êàк результàò, ê ñäâèãó ðàбочей точки âëåâî (ðèñ. 15.10, á) к нижнему зàãèáó ÂÀÕ iÊ = F(uÁÝ). Перехоäный процесс зàêàí÷èâàåòñÿ (ïðè ñîîòâåòñòâующем знàчении

RÁ) óñòàíîâлением жесткоãî ñòàöèîíàðíîãо режимà с более âысоким КПД.

15.4. LC-генератор с трансформаторной обратной связью. Операторный и частотный методы анализа

Характеристическое уравнение. Îïåðàторный метоä àíàëèçà

àâòîãåíåðàòîðà состоит â исслеäîâàíèè õàðàктеристическоãî óðàâ- нения (14.11) цепи с ОС и âûÿâлении из этоãî óðàâнения услоâèé ñàìîâозбужäåíèÿ. Çàïèñàòü õàðàктеристическое урàâнение ãåíåðà- òîðà можно было бы непосреäñòâåííî ïî äифференциàльному урàâнению (15.9), оäíàко это можно сäåëàть и не прибеãàÿ ê ñîñòàâлению äифференциàëüíîãî óðàâнения. Генерàòîð êàк цепь с ОС описыâàåòñÿ õàðàктеристическим урàâнением (см. ãë. 14):

1 - Hó ( p ) Hîñ ( p ) = 0.

(15.14)

Ñõåìà çàмещения усилителя нà òðàнзисторе äàíà íà ðèñ. 15.11

(ñì. § 3.11). Çäåñü Râõ è Râûõ âõîäíîå è âûõîäное сопротиâления трàнзисторà; Zê комплексное сопротиâление пàðàллельноãî

контурà.

Îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция тàêîãо усилителя рàâíà:

Hó ( p ) = - Uê ((p )) .

Uâõ p

 ñâою очереäü, èç ðèñ. 15.11 ñëåäóåò, ÷òî

Uê ( p ) = S ×Uâõ ( p ) Râûõ + Zê ( p ) .

Поэтому

Hó ( p ) = - SRâûõZê ((p )) . Râûõ + Zê p

Íà ïðàктике â êà÷åñòâе усилительноãо элементà используют тà- êîé òðàнзистор, у котороãî Râûõ äîñòàточно âелико. В этом случàå

Uâõ	Râõ		SUâõ	Râûõ	Zê		Uê

Ðèñ. 15.11

388

Hó ( p ) = -SZê ( p ).					(15.15)
Учитыâàя, что сопротиâление пàðàллельноãо контурà
Zê ( p ) =	p (1 C )			,
	p2 + p G +	1
		LC
	C

получàем окончàтельное âûðàжение переäàточной функции усилителя

Hó ( p ) = -	Sp	(1 C )				,
	p2 + p G		+	1
				LC
		C

Ïåðåäàточную функцию цепи ОС леãêî íàéòè, åñëè âспомнить (см. § 15.5), что

uîñ (t ) = - ML uê (t ), èëè äля изобрàжений по Лàïëàñó

Uîñ ( p ) = - ML Uê ( p ).

Îòñþäà

	Hîñ ( p ) =		Uê ( p )	= -	M	.
		Uîñ ( p )			L

После тоãî, êàк получены âûðàжения äëÿ Íó(ð) è Íîñ(ð), õà- ðàктеристическое урàâнение (15.14) можно зàïèñàòü â ñëåäующем

âèäå:

	Sp	M
1 -		LC				= 0.
	p2 + p G +			1
				LC
	C

После простейших преобрàçîâàний получим:

	2	æ	G		SM ö			1
p		+ p ç		-		÷	+		= 0,	(15.16)
			C					LC
		è			LC ø

èëè

p2 + 2aý p + w20 = 0.

В режиме сàìîâозбужäåíèÿ ðàáî÷àÿ òî÷êà ðàñïîëàãàåòñÿ íà линейном учàñòêå ÂÀÕ è, ñëåäîâàтельно, крутизнà S ÿâляется постоянной âеличиной.

Корни хàðàктеристическоãî óðàâнения (15.16)

p1,2 = −αý ± jωc,

389

jω						uê (t)				(1)
(2)			(1)			0
				p1						t
						uê (t)				(2)
0				α
				p2
			αý < 0			0
										t
			αý = 0
						Ðèñ. 15.12
ãäå ωc =		ω02 − αý2 ÷àñòîòà ñâîáîäных колебàíèé â контуре.
Чтобы â ãåíåðàòîðå âозникли незàòóõàющие колебàния корни

äолжны лежàòü â ïðàâой полуплоскости комплексной переменной ð (ðèñ. 15.12, ñëó÷àé 1), ò. å. αý < 0. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ñàìî- âозбужäения примет âèä M > LG/S, ÷òî ñîâïàäàåò ñ âûðàжением (15.10).

 ñòàöèîíàрном режиме рàáîòû ãåíåðàòîðà корни перемещàþòñÿ íà мнимую ось комплексной плоскости ð (ðèñ. 15.12, ñëó÷àé 2). Èç óñëîâèÿ αý = 0 можно нàéòè ñòàöèîíàðíîå çíàчение среäней крутизны:

Scp* = LGM.

Анализ в частотной области. Çàменяя â âûðàжениях äëÿ îïå- ðàторных переäàточных функций оперàòîð ð íà îïåðàòîð jω, çà- пишем переäàточную функцию цепи с рàзомкнутой ОС:

jωS

M

Hp ( jω ) = Hó ( jω) Hîñ ( jω) =

LC

=

1

−ω2 + jω G

+

LC

C

æ

wG

ö

M

ç

C

÷

ωS

jç p -arctg

÷

w

2

2

=

LC

ç

2

-w

÷

e è

0

ø.

(ω20

− ω2 )2 + ω2 G2

C2

Èç óñëîâèÿ áàëàíñà ôàç íà ÷àстоте ãåíåðàöèè

	π	− arctg	ωãG C		= 0
	2		ω2	− ω2
			0	ã

óáåæäàåìñÿ, ÷òî ãåíåðàòîð âозбужäàåòñÿ íà ÷àстоте ωã = ω0.

Èç óñëîâèÿ áàëàíñà àмплитуä, которое äолжно âыполняться нà ÷àстоте ãåíåðàöèè

390