Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

jΩ

jΩ

1

p1

p1

p2

p2

0,5

-1

-0,5

0,5

1 α

-1

1 α

-0,5

p3

p4

p3

p4

-1

à)

á)

Ðèñ. 17.5

ãäå Tm(Ω) полином Чебышеâà степени (поряäêà) m; ε коэффициент нерàâномерности, опреäеляемый (17.6) или (17.7).

Фильтры с чàстотными хàðàктеристикàìè (17.15) íàçûâàþòñÿ фильтрàми Чебышеâà. Ïðîàíàлизируем чàстотные хàðàктеристики фильтрà Чебышеâà. Äëÿ ýòîãî âíà÷àëå ðàссмотрим сâîéñòâà полиномоâ Tm(Ω). Íèæå ïðèâåäены шесть перâых полиномоâ Чебышеâà:

T0 ( Ω ) T1 ( Ω )

T2 ( Ω )

=1;

=Ω;

=2Ω2 − 1;

T ( Ω ) = 4Ω3	− 3Ω;
3
T ( Ω ) = 8Ω4	− 8Ω2 + 1;	(17.16 à)
4

T5 ( Ω ) = 16Ω5 − 20Ω3 + 5Ω.

Любой полином Чебышеâà ïðè m 2 может быть âычислен по

рекуррентной формуле Tm(Ω) = 2ΩTm 1(Ω) Tm 2(Ω). Òàêèì îá- ðàçîì, âûðàжения (17.15) уäîâëåòâоряют общим âûðàжениям

(17.1) (17.3) õàðàктеристик полиномиàльных фильтроâ. Сущестâóåò åäèíàÿ òðèãонометрическàÿ ôîðìà çàписи полино-

ìîâ Чебышеâà â интерâàëå 1 Ω 1:

T ( Ω ) = cos m arccos Ω .	(17.16 á)
m

Дейстâительно, T0(Ω) = cos0arccos Ω = 1; T1(Ω) = cos1arccos Ω =
= Ω; T2(Ω) = cos2arccos Ω = 2cos 2 arccos Ω 1 = 2Ω2	1. Âíå èí-
òåðâàëà 1 Ω 1 полиномы Tm(Ω) òàêæå ïðåäñòàâляются â òðè-
ãонометрической форме:
T ( Ω ) = ch m Arch Ω .	(17.16 â)
m

Àíàëèç ïîâåäения полиномоâ Чебышеâà ïîêàçûâàåò, ÷òî â интер- âàëå 1 Ω 1 óãîë Θ = arccos Ω изменяется от π (ïðè Ω = 1) äî 0 (ïðè Ω = 1), поэтому полином Tm(Ω) = cos mΘ ðîâíî m ðàз принимàåò çíàчения, рàâíûå íóëþ, è m + 1 ðàç äîñòèãàåò çíà÷å- íèé, ðàâíûõ +1 èëè 1 è ÷åðåäующихся äðóã ñ äðóãом. Вне интер- âàëà 1 Ω 1 полином Tm(Ω) ñîãëàсно формуле (17.16 â) ìîíî-

451

T4( Ω)

тонно âîçðàñòàåò.  êà÷åñòâå

1

примерà íà ðèñ. 17.6, à изобрàæåí

ãðàôèê

полиномà

Чебышеâà

T4(Ω), т. е. полиномà ÷åòâåðòîãî

ïîðÿäêà.

-1

1

Â

ñîîòâåòñòâèè

ñ

(17.15)

ðàбочее ослàбление Ap(Ω) фильтрà

Чебышеâà íà òåõ ÷àñòîòàõ Ω, ãäå

-1

полином Tm(Ω) îáðàùàåòñÿ â íóëü,

à)

òàêæå

îáðàùàåòñÿ

â

íóëü.

Íà

Àð

÷àñòîòàõ, íà которых Tm(Ω) ðàâåí

±1, ðàбочее ослàбление

äîñòèãàåò

âеличины:

ðmin

Ap

= 10lg (1 + ε2 ) =

= 10lg (1 + 10

0,1A

p max

− 1) = A

.

Àð max

À

pmax

0

1 Ωç

Ω

Ñ

ростом

çíàчений

полиномà

Tm(Ω) íà ÷àñòîòàõ Ω > 1 ðàбочее

á)

îñëàбление Ap(Ω) òàкже монотон-

Ðèñ. 17.6

íî ðàñòåò. Íà ðèñ. 17.6, á ïðèâå-

äåí ãðàôèê ðàáî÷åãî îñëàбления

фильтрà Чебышеâà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.

Фильтры Чебышеâà íàçûâàþò òàкже фильтрàìè ñ ðàâíîâîëíî-

âîé õàðàктеристикой ослàбления â полосе пропускàíèÿ.

Íà ðèñ. 17.7 ïîêàçàíû ÷àстотные зàâисимости кâàäðàòà À×Õ

фильтрà

Чебышеâà äëÿ ðàзличных знàчений m, полученные äëÿ

| Hð (jΩ)|2

èç (17.15). Ïîäобные зàâисимости моãут быть построены

äëÿ ðàáî÷åãî îñëàбления фильтрà.

Чтобы хàðàктеристики фильтрà îòâå÷àли требоâàíèÿì â полосе

непропускàния, необхоäèìî âûáðàòü ïîðÿäок фильтрà m èç óñëîâèÿ

| Hð (jΩ)|Ω=Ω2

ç

e−2A p min . Для полосы непропускàíèÿ Tm(Ω) îïðå-

äеляется формулой (17.16 â), ñëåäîâàтельно, 1 + ε2 ñh2 m × Arch Ωç

e−2A p min . Îòñþäà ñh m Arch Ωç

e2Ap min

− 1

ε2. Äàëåå m Arch Ωç

( e−2A p min

− 1) ε2 è m Arch

( e −2A p min

− 1)

ε 2 Arch Ω ç .

В этой формуле âеличинà Ap min измеряется â неперàõ. Ïðè èñ-

пользоâàíèè åäиницы äецибел

ïîðÿäîê

фильтрà âычисляется

èç

âûðàжения:

m Arch

100,1Ap min

− 1

Arch

Ωç .

(17.17 à)

ε2

Ñðàâíèâàÿ ÷àстотные хàðàктеристики фильтроâ Áàòòåðâîðòà è

Чебышеâà, ñëåäóåò óêàçàть, что полиномы Чебышеâà ÿâляются по-

452

линомàìè íàилучшеãо прибли-								|Hð(Ω)|2		m = 2
жения. Это ознà÷àåò, ÷òî ïðè										m = 3
îäèíàêîâîì			çíàчении	m		èç		1
										m = 4
âñåõ	полиномиàльных			фильт-				10-0,1Àð max
ðîâ, îñëàбления которых â ïî-										10-0,1Àð min
лосе пропускàíèÿ íå ïðåâûøà-
þò	Ap max,	íàибольшие			çíà-
чения ослàбления â полосе										Ωç	Ω
непропускàния имеет фильтр								0	1
Чебышеâà.  ÷àстности, рàáî-									Ðèñ. 17.7
÷åå îñëàбление фильтрà ×åáû-
øåâà â полосе непропускàния может преâûøàòü (è âåñüìà çíà÷è-
тельно) рàбочее ослàбление фильтрà Áàòòåðâîðòà ïðè ðàâíûõ çíà-
чениях m è		Ap max. Îäíàêî				õàðàктеристикà			ðàáî÷åãî	îñëàбления
фильтрà Áàòòåðâîðòà имеет â полосе пропускàния монотонный хà-
ðàêòåð è ëåã÷å ïîääàется корректироâàíèþ äëÿ óñòðàнения искà-
жений переäàâàåìûõ ñèãíàëîâ.
Выбор типà полиномиàльных фильтроâ îïðåäеляется конкрет-
íûìè óñëîâиями их применения â àïïàðàòóðå ñâÿçè è ðàäиотехни-
ческих устройстâàõ.
Для получения переäàточной функции фильтрà Чебышеâà ïî-
ступим àíàëîãè÷íî òîìó, êàê äåëàëè ýòî äля фильтроâ Áàòòåðâîð-
òà. Çàменим оперàòîð jW íà îïåðàòîð ð и перейäем от функции
| Hð (jW)|2 к функции:
	H	p	( p ) 2 = H	p	( p )	H	p	( -p ) = 1 é1 + e2T2 ( p j )ù .
								ë	m	û
Ïðåäñòàâим полином Tm(W) â âèäå (17.16 á) è íàéäем полюсы
функции | Hð (p)|2, ðåøèâ óðàâнение:
			e2 cos2 m arccos ( p j ) + 1 = 0.							(17.17 á)
Поскольку соãëàñíî (17.16 à) коэффициент при стàршем члене
полиномà Чебышеâà T (W) ðàâåí 2m 1, то коэффициент при стàð-
			m
шем члене полиномà â ëåâîé ÷àñòè ïðèâåäåííîãî âûøå óðàâнения
ðàâåí e222(m 1).
Корни урàâнения (17.17 б), кàк можно äîêàçàòü, îïðåäеляются
àíàлитически слеäующим âûðàжением:

pk = sh g sin 2k2m- 1 p + j ch g cos 2k2m- 1 p, k = 1,2,K,2m, (17.18)

ãäå g = (1m ) Arsh (1e ) .

Из корней â ëåâой полуплоскости состàâляются сомножители (ppi), и по теореме Виетà строится переäàòî÷íàя функция фильтрà:

Hp ( p ) = H pm + bm−1pm−11+ K + b1p + b0 ,

453

ãäå H = 1( e × 2m−1 ) .

Пример. Построить переäàточную функцию фильтрà Чебышеâà âòîðîãî ïîðÿäêà (m = 2), ðàбочее ослàбление â полосе пропускàíèÿ (îò 0 äо 159 кГц) котороãî íå ïðåâûøàåò âеличину Ap max = 3 äÁ. Ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà полосы непропускàíèÿ 318 êÃö.

Коэффициент нерàâномерности ε òàêîãо фильтрà ñîãëàñíî (17.7) ðàâåí 1. Ðàбочее ослàбление нà ÷àстоте Ωç = 318/159 = 2 ñîñòàâëÿåò Ap(Ω)Ω = 2 =

=10 lg (1 + ch2 2 Arch 2) = 17 äБ, что почти нà 5 äÁ ïðåâûøàåò ðàбочее ослàб- ление нà ýòîé æå ÷àстоте фильтрà Áàòòåðâîðòà âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðåäû- äущий пример).

Ðàсчет полюсоâ функции Hp(p)Hp( p) по формулàì (17.18) äàåò âеличи- ны: p1 = 0,322 + j0,777; p2 = 0,322 j0,777; p3 = 0,322 j0,777; p4 =

=0,322 + j0,777. Ðàсположение полюсоâ â комплексной плоскости покàçàíî íà ðèñ. 17.5, á.

Ïåðåäàòî÷íàя функция фильтрà:

Hp ( p )		=				1	=		0,707	.
						( p − p4 ) ( p − p3 )
			ε 2					p2	+ 0,645p + 0,707

 çàключение отметим, что äля полиномиàльных фильтроâ â ñïðàâочникàõ ñîñòàâëåíû âåñüìà полные тàблицы полюсоâ и коэффициентоâ ïåðåäàточных функций äëÿ ðàзличных âеличин Ap max è m. Ïîðÿäок же фильтроâ m îïðåäеляется по специàльным ãðàôèêàì, èñõîäÿ èç çàäàííûõ âеличин Ap max, Ap min è Wç.

Фильтры со всплесками ослабления (на основе дробей Чебышева и Золотарева). ×àстотные хàðàктеристики полиномиàльных фильтроâ, описыâàåìûå âûðàжениями (17.1) (17.3), имеют монотонный хàðàêòåð â полосе непропускàíèÿ.  ÷àстности, рàбочее ос- лàбление тàких фильтроâ монотонно âîçðàñòàåò ïî ìåðå óäàления от полосы пропускàíèÿ (ðèñ. 17.4, à è 17.6, á).

При «жестких» требоâàíèÿõ ê ÷àстотным хàðàктеристикàì (ìà- ëàя перехоäíàÿ îáëàñòü ìåæäу полосàми пропускàния и непропус- кàния и большàÿ âеличинà ðàáî÷åãî îñëàбления â полосе непропускàíèÿ) ïîðÿäок фильтрà m может получиться очень большим äàæå â ñëó÷àе применения полиномà Чебышеâà. Ýòî ïðèâåäет к сущестâенному усложнению фильтрà и к излишнему «рàñõîäу» элементоâ.

 òàêèõ ñëó÷àях целесообрàзно применять фильтры со âсплескàìè ðàáî÷åãî îñëàбления â полосе непропускàíèÿ (ðèñ. 17.8, à).

Íà ÷àñòîòàõ âсплескà W∞1, W∞2 è ò. ä. ðàбочее ослàбление фильтрà стремится к бесконечности; зà ñ÷åò ýòîãî âîçðàñòàет крутизнà õà-

ðàктеристики ослàбления â перехоäíîé îáëàñòè. Ñîîòâåòñòâåííî

АЧХ фильтрà íà ÷àñòîòàõ W∞1, W∞2 è ò. ä. áóäåò îáðàùàòüñÿ â íóëü (ðèñ. 17.8, á).

Äëÿ âыполнения укàçàííûõ óñëîâèé â âûðàжениях (17.2) (17.3) используют рàöèîíàльные äðîáè âèäà:

454

Àð, äÁ			|Hð ( jΩ)|2
			1
			10-0,1Àð max
				-0,1Àð min
				10
Àð max
0	1 Ωç Ω∞1 Ω∞2	Ω	0	1 Ωç Ω∞1 Ω∞2	Ω
	à)			á)
		Ðèñ. 17.8

Hp ( jW )

2

=

(W

∞21 - W2 )(W∞2 2 - W2 )K(W∞2 n

- W2 )

;

(17.19)

d

W2m + d W2m−2

+ K + d

W2

+ d

m

0

1

m−1

( W ) =

1

d

W2m + d W2m−2

+ K + d

W2

+ d

m

A

ln

0

1

m−1

.

(17.20)

(W∞21 - W2 )(W∞2 2 - W2 )K(W∞2 n

- W2 )

p

2

Дейстâительно, коãäà W принимàåò çíàчения W∞1, W∞2, ..., W∞n, | Hð (jW)|2 = 0 è Að (W) ® ¥.

Ïåðåäàòî÷íàя функция тàких фильтроâ ÿâляется äробно-рàöè- îíàльной:

Hp ( p ) =	( p2 + W∞21 )( p2 + W∞2 2 )K( p2 + W∞2 n )					(17.21)
	b		pm + b	pm−1 + K + b p + b
		m	m−1	1	0

и кроме полюсоâ p1, p2, ..., pm имеет нули:

p01 = ± jΩ∞1; p02 = ± jΩ∞2; K; p0n = ± jΩ∞n .

Фильтры со âсплескàìè ðàáî÷åãî îñëàбления нàçûâàют еще фильтрàми с нулями переäà÷è.

Ñðåäи фильтроâ ñî âсплескàìè îñëàбления нàиболее широкое рàспрострàнение получили фильтры, построенные нà îñíîâå äробей Чебышеâà и Золотàðåâà. Чтобы получить чàстотные хàðàктеристики фильтрà íà îñíîâå äробей Чебышеâà, нужно â формулàх (17.14) или (17.15) использоâàòü â êà÷åñòâе функции фильтрàöèè

äробь Чебышеâà. Обознà÷àÿ åå Fm(W), получим:

ü

Hp ( jW )

2

é

2

2 (

)

ù

= 1 ë1

+ e Fm W û ;

ï

A ( W ) =

1 ln é1 + e2F2

( W ) ù

ï

(17.22)

[Íï], ý

p

2

ë

m

û

ï

é1 + e2F2

( W )

A ( W ) = 10lg

ù

[äÁ].ï

p

ë

m

û

þ

455

 êà÷åñòâе примерà óêàæåì äробь Чебышеâà ïÿòîãî ïîðÿäêà, äля которой построены ãðàôèêè Að (W) è | Hð (jW)|2 íà ðèñ. 17.8, à è á:

F5 ( W ) = ( a20W5 +2a)1(W32+ a2W2 ), W∞1 - W W∞2 - W

ãäå a0, a1 è a2 коэффициенты, сâÿçàííûå ñ ÷àñòîòàìè âсплескà

W∞1 è W∞2.

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîäñòàíîâêà ýòîé äðîáè â (17.22) ïðèâåäет после некоторых преобрàçîâàíèé ê âûðàжениям общеãî âèäà (17.19) è (17.20).

В полосе пропускàíèÿ äробь Чебышеâà âåäåò ñåáÿ òàê æå, êàк и полином Чебышеâà, ò. å. ðàбочее ослàбление фильтрà носит рàâíîâîëíîâûé õàðàêòåð. Íà ÷àñòîòàõ âсплескà W∞1 è W∞2 äробь Чебышеâà îá- ðàùàåòñÿ â бесконечность, что приâîäит к бесконечно большому рà- бочему ослàблению.

Ñëåäует отметить, что äробь Чебышеâà ÿâляется äробью нàи- лучшеãо приближения. Это ознà÷àет, что фильтр нà îñíîâå äроби Чебышеâà íà любой чàстоте полосы непропускàния имеет большее знàчение рàáî÷åãî îñëàбления по срàâнению с фильтрàìè íà îñíîâå äðóãèõ äробей (и полиномоâ, êàê ÷àстных случàåâ äробей) при прочих рàâíûõ óñëîâèÿõ (ïðè îäèíàêîâûõ ïîðÿäêàõ m, ïðè òàком же количестâå è ðàсположении чàñòîò âсплескà è òåõ æå âеличинàõ

Ap max).

×àстным случàåì äробей Чебышеâà ÿâляются äроби Золотàðåâà:

Rm ( W ) = a1WS ∏ ëé(W02V - W2 ) (W∞2 V - W2 )ûù ,	(17.23)
V

ãäå a1 = ∏ éë(W2∞V - 1)(W02V - 1)ùû , V = 1,2,K,( m - S )2, çíàчение S

V

ðàâíî 0 äля четных m è ðàâíî 1 äля нечетных m; m ïîðÿäîê

äðîáè; W0V, W∞V нули и полюсы äðîáè, ñâÿçàнные соотношением

W∞V = Wç / W0V.

Используя â êà÷åñòâе функции фильтрàöèè â (17.14) è (17.15) äроби Золотàðåâà, получим:

H

p

( jW )

2

= 1

é1 + e2R2

( W )

ù ;

ü

ë

m

û

ï

A

( W ) = 1 ln é1 + e2R2

( W ) ù

ï

(17.24)

[Íï], ý

p

2

ë

m

û

ï

( W ) ù

A

( W ) = 10lg é1 + e2R2

[äÁ].ï

p

ë

m

û

þ

Из формул (17.23) и (17.24) слеäует, что нули функции Að (W) ñîâïàäàют с нулями äроби Золотàðåâà, à âсплески функции Að (W) с полюсàìè ýòîé æå äроби. Нули и полюсы äðîáè Çîëî- òàðåâà можно рàссчитыâàòü, îäíàко обычно их опреäеляют по кà-

456

	òàëîãàì äëÿ îïåðàторных пе-	Àð, äÁ
	ðåäàточных функций ФНЧ.
	Íà ðèñ. 17.9 ïîêàçàí ãðàôèê
	Að (Ω) äля фильтрà Золотà-
	ðåâà ïÿòîãî ïîðÿäêà.
	Дроби Золотàðåâà òàê æå,
	êàк и полиномы Чебышеâà,	Àð max
	äàþò ðàâíîâîëíîâóþ õàðàêòå-
	ристику рàáî÷åãî îñëàбления	0 Ω01 Ω02 1	Ωç Ω∞1 Ω∞2	Ω
	фильтрà â полосе пропускà-
	íèÿ. Îäíàêî â полосе непро-	Ðèñ. 17.9
	ïóñêàния у фильтроâ Золотà-
	ðåâà çíàчения âсех минимумоâ ðàáî÷åãî îñëàбления окàçûâàþòñÿ
	îäèíàêîâûìè è ðàâíûìè çíàчению рàáî÷åãî îñëàбления нà ÷àстоте
	Ωç. Òàкие фильтры нàçûâàþòñÿ òàêæå фильтрàми с изоэкстре-
	ìàльными хàðàктеристикàìè ðàáî÷åãî îñëàбления.
	Фильтры с хàðàктеристикàми Золотàðåâà можно рàññìàòðèâàòü
	êàê ÷àстный случàй фильтроâ ñ õàðàктеристикàми Чебышеâà, êîãäà
	çíàчения минимумоâ îñëàбления фильтрà â полосе непропускàíèÿ
	âûðàâíåíû, à число âсплескоâ ìàêñèìàëüíî âозможное при âû-
	áðàííîì çíàчении m.

17.3. Реализация фильтров нижних частот

Лестничные полиномиальные LC-фильтры. Любые из рàс- смотренных âыше фильтроâ, êàк полиномиàльные, тàê è ñî âсплескàìè îñëàбления моãóò áûòü ðåàëèçîâàíû â âèäå ïàññèâ- íûõ LC-цепей.

Ïàññèâíûå LC-фильтры обычно преäñòàâляют собой реàêòèâ- ный лестничный четырехполюсник, âключенный межäó ãåíåðàтором с àêòèâíûì âнутренним сопротиâление Rã è íàãрузкой с àêòèâ- ным сопротиâлением Rí (ðèñ. 17.10). Âõîäное сопротиâление реàê- òèâíîãо четырехполюсникà, íàãруженноãî íà сопротиâление Rí,

обознà÷åíî íà рисунке Zâõ1(ð).

Если фильтр со стороны зàæèìîâ 1 1′ ðàññìàòðèâàòü êàê äâухполюсник, обрàçîâàííûé ðåàêòèâным четырехполюсником и

íàãрузкой Rí, òî, çíàÿ âûðàжение

Zâõ1(ð), можно реàëèçîâàòü äàííûé

Rã 1

2

äâухполюсник оäíèì èç èçâестных

+

â теории цепей метоäîâ синтезà

U

ã

LC

Rí

äâухполюсникоâ. Òàêèì îáðàçîì,

çàäà÷à ðåàëèçàции фильтрà ñâîäèò-

1′

2′

ñÿ ê ðåàëèçàöèè äâухполюсникà ïî

Zâõ1(p)

åãî çàäàнному âõîäному сопротиâ-

лению. Иäåÿ äàííîãî ïîäõîäà ïðè-

Ðèñ. 17.10

457

íàäлежит С. Дàðëèíãòîíó è ìåòîä ðåàëèçàции фильтроâ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Äàðëèíãòîíà.

Íà âõîäе фильтрà имеет место несоãëàñîâàнность, которую можно оценить, ââåäÿ â ðàссмотрение коэффициент отрàжения (16.25)

σ ( p ) = Rã − Zâõ1 ( p ) .

Rã + Zâõ1 ( p )

Ðåøàя (17.25) относительно Zâõ1(ð), получàåì:

Zâõ1 ( p ) = Rã 1 − σ (( p )) .

1 + σ p

(17.25)

(17.26)

Â(17.26) íåèçâестным яâляется коэффициент отрàжения σ(ð).

Âñâою очереäь, коэффициент отрàжения σ(ð) ñâÿçàí ñ ïåðåäàточ- ной функцией Hp(ð) = w(ð)/v(ð) соотношением (16.26):

σ ( p) σ ( −p) = 1 − Hp ( p) Hp ( −p ) =
= v ( p )v ( −p) − w ( p)w ( −p) .	(17.27)
v ( p )v ( −p)

Èç (17.27) ñëåäóåò, ÷òî çíàìåíàòåëü ó σ(ð) òàêîé æå, êàê è ó Hp(ð): èì ÿâляется полином v(ð). Îñòàåòñÿ íàéòè íóëè ïðàâîé ÷àñ- òè âûðàжения (17.7) и полоâину из них «приписàть» полиному числителя σ(ð). Послеäний формируется из нулей по теореме Виетà.

Пример. Ðåàëèçîâàть фильтр нижних чàñòîò Áàòòåðâîðòà âòîðîãî ïîðÿäêà из примерà (ñòð. 450) â âèäå ïàññèâíîé LC-схемы. Внутреннее сопротиâление ãåíåðàòîðà 1 êÎì.

В примере былà полученà ïåðåäàòî÷íàя функция Бàòòåðâîðòà âòîðîãî ïî-

ðÿäêà Hp(p) = 1/(p2 + 1,41p + 1) äля нормироâàííûõ çíàчений чàстоты W = = w/wí = w/(2p ×159 ×103) = w/106, ãäå wí = wï = 2p fï. Ðåàëèçàция нормироâàí-

íîé ïåðåäàточной функции приâåäет к схеме с нормироâàнными знàчениями реàêòèâных элементоâ (обознà÷èì èõ L, C ), которые зàтем необхоäèìî äе- нормироâàòü äля получения реàльных знàчений.

 ñîîòâåòñòâèè ñ (17.27)

s ( p ) s ( -p ) =	1 -		1			1		=
			p2 + 1,41p + 1		p2 - 1,41p + 1
=			p4					.
		( p2 + 1,41p + 1)( p2 - 1,41p + 1)
	1 ê		1,41 ìÃí

	+
Uã	1,41 íÔ	1 ê
	Zâõ1(p)

Ðèñ. 17.11

458

Нули этой функции p01, 02, 03, 04 = 0. Полином числителя s(ð) â ñîîòâåòñòâии с теоремой Виетà ðàâåí (p p01) × (p p02) = p2. Îòñþäà s(ð) = p2/(p2 + 1,41p +

+ 1).

Ñîãëàñíî (17.26)

Z	( p ) = 103 1	- p2	( p2	+ 1,41p + 1)	= 1,41 × 103 p + 103 .
âõ1	1	+ p2	( p2	+ 1,41p + 1)	2p2 + 1,41p + 1

Ðåàëèçàöèþ äâухполюсникà ñî âõîäным сопротиâлением Zâõ1(p) осущестâèì ðàзложением â цепную (лестничную) äðîáü ïî ìåòîäó Êàóýðà. Ïðåäñòàâèì Zâõ1(p) = 1/Yâõ1(p) è ïðîâåäåì ðàзложение проâîäимости:

1-é ýòàï

2p2 + 1,41p + 1

1,41 × 103 p + 103

-2p2 + 1,41p

1,41 × 10−3 p

1

2-é ýòàï

1,41 × 103 p + 103

1

-1,41 × 103 p

1,41 × 10−3 p

103

3-é ýòàï

-1

103

1

10−3

0

Процесс рàзложения зàкончен. Вхоäное сопротиâление Zâõ1(p), ïðåäñòàâленное цепной äробью, имеет âèä:

Zâõ1 ( p ) =		1		=			1			.
	)		1				−3 p +		1
	pC +	)			1,41 × 10
									× 103 p + 1 10−3
		pL + 1 Gí					1,41
Ñõåìà äâухполюсникà,			âõîäíîå		сопротиâление				котороãî ñîîòâåòñòâóåò

äàнной цепной (лестничной) äðîáè, ïðèâåäåíà íà рис. 17.11. Нормироâàííûå
çíàчения элементоâ C = 1,41 ×10 3, L = 1,41 ×103. Àêòèâíàÿ ïðîâîäимость нà-
ãрузки не нормируется и рàâíà Gí = 10 3 См, т. е. сопротиâление нàãрузки
Rí = 1 кОм. Денормироâàòü çíàчения элементоâ можно слеäующим обрàçîì.
Комплекснàÿ ïðîâîäимость нормироâàнной емкости jWC = j ( w wí )C	= jWC ,
îòêóäà ненормироâàííîå çíàчение емкости C = C w í = 1,41 ×10 3	/106 =
= 1,41 ×10 9 Ô = 1,41 íÔ.

Ïîäобным обрàзом комплексное сопротиâление нормироâàííîé èíäóêòèâ-
ности jWL = j ( w wí ) L = jWL èëè L = L wí = 1,41 ×103	/106 = 1,41 ×10 3 Ãí =
= 1,41 ìÃí.

Àíàëîãè÷íî ðàссмотренному примеру решàåòñÿ çàäà÷à ðåàëèçà- ции фильтрà ëþáîãî ïîðÿäêà. Íàпример, полиномиàльный ФНЧ пятоãî ïîðÿäêà (m = 5) ðåàлизуется â âèäå îäíîé èç äâóõ ñõåì, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 17.12, à è á. Количестâî ðåàêòèâных элементоâ îïðåäеляется поряäком фильтрà m. Отличие фильтрà Áàòòåðâîðòà от фильтрà Чебышеâà áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ýòîì ñëó÷àе только â ðàçíûõ çíàчениях реàêòèâных элементоâ, получàåìûõ â процессе реàëèçàöèè ñîîòâåòñòâующих переäàточных функций.

459

L2

L4

L1

L3

L5

C1

C3

C5

C2

C4

à)

á)

Ðèñ. 17.12

Лестничные фильтры со всплесками ослабления. Ïî ïîäобной схеме осущестâляется и реàëèçàöèÿ ïåðåäàточных функций фильтроâ ñî âсплескàìè îñëàбления (Чебышеâà или Золотàðåâà). Ðàзложение âõîäíîãо сопротиâления тàких фильтроâ â цепную äðîáü ïðèâåäåò ê ñõåìàì, ñîäåðæàщим резонàнсные контуры, â которых резонàнсы происхоäÿò íà ÷àñòîòàõ Ω∞1, Ω∞2, ... Íàличие этих контуроâ и обеспечиâàет бесконечно большое зàòóõàíèå íà ÷àñòîòàõ âсплескà.

Òàê, ÔÍ× ïÿòîãî ïîðÿäêà ñî âсплескàìè îñëàбления нà ÷àñòî-

òàõ Ω∞1 è Ω∞2 ðåàлизуется â âèäå îäíîé èç ñõåì, ïðèâåäенных нà ðèñ. 17.13, à è á. È â ïåðâîé è âî âторой схемàх контуры рàññ÷è-

òàíû íà резонàнсные чàстоты Ω∞1 è Ω∞2. Â ïåðâой схеме â ïàðàл- лельных контурàх происхоäят резонàíñû òîêîâ; сопротиâления

контуроâ принимàют бесконечно большие знàчения. В результàòå

íà ÷àñòîòàх резонàíñîâ Ω∞1 è Ω∞2 íàáëþäàåòñÿ «îáðûâ» ïðîäольных âåòâей фильтрà è ñèãíàë îò ãåíåðàòîðà â íàãрузку не поступà-

ет, т. е. фильтр âносит бесконечно большое ослàбление. Во âторой схеме â послеäîâàтельных контурàх происхоäят резонàíñû íàпряжений; сопротиâления контуроâ îáðàùàþòñÿ â íóëü. Òàêèì îáðà- çîì, çäåñü íà ÷àñòîòàõ Ω∞1 è Ω∞2 поперечные âåòâè «çàêîðà÷èâàþò» íàãрузку и сиãíàë íà âûõîä фильтрà не поступàåò. Òàêèì îáðàзом, имеет место бесконечно большое ослàбление.

Реализация лестничных фильтров по каталогам. Из изложенноãî ñëåäует, что синтез фильтроâ ïðåäñòàâляет собой сложную процеäуру, поэтому рàçðàботчики фильтроâ ïûòàëèñü îáëåãчить ее. В результàòå áûëè ñîçäàны обширные кàòàëîãи фильтроâ, применение которых знàчительно облеã÷àет процеäуру синтезà ÔÍ×. Òàáë. 17.1 ïðåäñòàâляет собой стрàíèöó èç òàêîãî êàòàëîãà, ãäå

Ω∞1

Ω∞2

L1

L4

L7

L2

L5

C2

C5

C3

C6

L3 Ω∞1 L6 Ω∞2

C1

C4

C7

à)

á)

Ðèñ. 17.13

460