Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Òàáëèöà 17.1

Ïàðàметры элементоâ фильтроâ Золотàðåâà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà

Ωs

As, äÁ

Ñ1

Ñ2

L2

Ω∞2

Ñ3

L4

ïðè As = 0,028 äÁ

3,98	56	0,7020	0,04232	1,241	4,364244	1,282	0,7429
3,39	50	0,6871	0,05952	1,215	3,718173	1,272	0,7440
2,96	45	0,6697	0,08025	1,186	3,241901	1,261	0,7451
2,63	41	0,6497	0,1049	1,152	2,876673	1,248	0,7465

ïðè As = 0,044 äÁ

3,76	56	0,7575	0,044585	1,282	4,124781	1,326	0,8018
3,23	50	0,7422	0,06339	1,256	3,544141	1,316	0,8027
2,84	45	0,7245	0,08436	1,226	3,109875	1,305	0,8037
2,45	40	0,6968	0,1183	1,287	2,677264	1,287	0,8052

ïðè As = 0,099 äÁ

3,39	56	0,8775	0,05363	1,349	3,718173	1,400	0,9292
2,96	51	0,8612	0,07202	1,321	3,241901	0,390	0,9297
2,53	45	0,8357	0,1017	1,278	2,773213	1,373	0,9304
2,22	40	0,8057	0,1382	1,229	2,427221	1,354	0,9311

ïðè As = 0,177 äÁ

3,09	55							0,9807								0,063309					1,382			3,386078								1,443					1,041
2,73	50							0,9630								0,08273					1,353			2,988543								1,432					1,041
2,37	45							0,9356								0,1141					1,308			2,588050								1,414					1,041
2,09	40							0,9040								0,1522					1,257			2,286311								1,394					1,041
									L2									L4							L1					L3
									C2
																	C3											L2							C4
						C1
																													C2
								à)																		á)
Ωs		As, äÁ										L1						L2				Ñ2				Ω∞2							L3					Ñ4

ïðèâåäены нормироâàнные элементы фильтрà Золотàðåâà ÷åòâåðòî-

ãî ïîðÿäêà.  ýòîé òàблице Ωs, As, As нормироâàííàÿ ãðàíè÷- íàÿ ÷àñòîòà полосы зàäåðæèâàния, минимàльное ослàбление â ïî-

ëîñå çàäåðæèâàíèÿ, ìàêñèìàльное ослàбление â полосе пропускà- íèÿ ñîîòâåòñòâåííî. Àíàëîãичные кàòàëîãи сущестâóþò è äля фильтроâ Áàòòåðâîðòà и Чебышеâà.

Процеäóðà синтезà ФНЧ с помощью кàòàëîãîâ может âûãëÿäåòü ñëåäующим обрàçîì:

1. По формуле (17.17 à) îïðåäеляем поряäок фильтрà m. Если число m четное, то â числитель äàнной формулы äîáàâëÿåì ñëà- ãàåìîå â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàжением (17.40) и уточняем поряäок фильтрà.

461

2.Èç êàòàëîãà фильтроâ âûáèðàåì òàблицы, соотâåòñòâующие äàнному поряäêó.

3.Èç äàííûõ òàáëèö âûáèðàем строку, äля которой с мини- мàëüíî âозможным отклонением âыполняются нерàâåíñòâà

Ωç Ωs, Aðmin A2s è Aðmax As.

Нормироâàнные элементы äàнной строки и буäут нормироâàнными элементàми фильтрà, ñõåìà котороãî ïðèâåäåíà íà рисунке к äàí- íîé òàблице. При этом, обознàчения элементоâ ââåðõó òàблицы относятся к схеме à, à âнизу к схеме á. Истинные знàчения элементоâ получàются путем äенормироâàíèÿ.

Активные RC-фильтры. Фильтры, преäñòàâляющие собой комбинàöèþ ïàññèâíîé RC-öåïè è àêòèâíîãо элементà, íàçûâàþòñÿ àê- òèâíûìè RC-фильтрàìè.  êà÷åñòâå àêòèâíîãо элементà ÷àùå âñåãо используются оперàционные усилители с äâóìÿ âõîäàìè: èíâертирующим и неинâертирующим.

Ðåàëèçàöèÿ ïåðåäàточных функций фильтроâ íà àêòèâíûõ RC- цепях осущестâляется слеäующим обрàçîì. Çàäàнную функцию Hp(p) ïîðÿäêà m ðàçáèâàþò íà произâåäåíèå ïåðåäàточных функций не âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà, ò. å. Hp(p) = Hp1(p)Hp2(p) ... Hpk(p). Êàæäóþ ïåðåäàточную функцию Hpi(p) ðåàлизуют â âèäå ARC- çâåíà ïåðâîãî èëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Схему ARC-фильтрà получàют путем кàñêàäíîãî ñîåäинения зâåíüåâ.

Пример. Пусть зàäàíà ïåðåäàòî÷íàя функция полиномиàëüíîãо фильтрà Чебышеâà ïÿòîãî ïîðÿäêà.

Hp ( p ) =			0,0628		.
	p5	+ 0,397p4	+ 1,415p3 + 0,543p2
				+ 0,408p + 0,0628

Полюсы этой функции (корни знàìåíàòåëÿ): ð1 = 0,177; ð2,3 = 0,143 ±

± j0,597; ð4,5 = 0,0547 ± j0,966. Вещестâенный полюс ð1 äàет по теореме Виетà сомножитель перâîãî ïîðÿäêà (ð ð1) = ð + 0,177; ïåðâàÿ ïàðà комплекс- но-сопряженных полюсоâ ð2 è ð3 сомножитель âòîðîãî ïîðÿäêà (ð ð2) ×

× (ð ð3) = ð2 + 0,286ð + 0,377; âòîðàÿ ïàðà полюсоâ ð4 è ð5 сомножитель (ð ð4) (ð ð5) = ð2 + 0,110ð + 0,936. Òîãäà

	Hp ( p ) =			0,0628					=
		( p + 0,177 )( p2 + 0,286p + 0,377 )( p2 + 0,110p + 0,936 )
	=	0,177	×	0,377		×	0,936	=
		p + 0,177		p2 + 0,286p + 0,377			p2 + 0,110p + 0,936

= Hp1 ( p ) Hp2 ( p ) Hp3 ( p ).

Òàêèì îáðàзом, фильтр Чебышеâà ïÿòîãî ïîðÿäêà может быть реàëèçîâàí äâóìÿ çâеньями с переäàточными функциями âòîðîãî ïîðÿäêà è îäíèì çâåíîì

ñïåðåäàточной функцией перâîãî ïîðÿäêà.

Âïðàктике проектироâàíèÿ àêòèâíûõ RC-фильтроâ используется большое число схем, реàлизующих переäàточные функции пер-

462

3

Y 4

Y 5

1

Пассивная

2

∞

Y 1

Y 3

∞

RC-öåïü

U 1

U 2

U 1

Y 2

U 2

a)

á)

Ðèñ. 17.14

âîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà. Îäин из способоâ построения тàêèõ ñõåì

ïîêàçàí íà ðèñ. 17.14, à. Ïàññèâíàÿ ÷àсть схемы преäñòàâëåíà â

âèäе цепи из элементоâ R è Ñ. Ìåæäó çàæèìàìè 2 è 3 âключен

îïåðàционный усилитель, â котором использоâàí èíâертирующий

âõîä. Примером пàññèâíîé RC-öåïè ÿâляется схемà, ïðèâåäåííàÿ

íà ðèñ. 17.14, á. Ïåðåäàòî÷íàя функция

изобрàженной нà

ðèñ. 17.14, á àêòèâíîé RC-öåïè áûëà полученà ðàíåå (ñì. § 3.11) è

имеет âèä:

( p )

=

U

2

( p )

=

−YY

Hp

( p )

Y5 (Y1

1

3

.

(17.28)

U1

+ Y2 + Y3 + Y4 ) + Y3Y4

Äëÿ ðåàëèçàöèè â âèäå òàкой цепи полиномиàëüíîãо фильтроâî-

ãî çâåíà âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåäàточной функцией

Hp ( p )

= H b

1

2

p2 + b p + b .

(17.29)

1

0

нужно âûáðàòü ïðîâîäимости Y1, Y3 è Y4 àêòèâíûìè: G1, G3 è

G4, à ïðîâîäимости Y2 è Y5 емкостными: pC2 è pC5. Òîãäà

(17.28) çàпишется â ñëåäующей форме:

Hp ( p ) = p2C C

−G1G3

.

(17.30)

2

+ pC

(G + G

3

+ G

4

) + G G

5

5

1

3

4

Сопостàâление коэффициентоâ ïðè ð â ñîîòâåòñòâующих степе-

íÿõ è ñâîáîäных членоâ èç (17.30), âûðàженных через элементы

фильтрà, ñ çàäàнными числоâûìè

çíàчениями коэффициентоâ ïðè ð

è

ñâîáîäíûõ

членоâ

èç

(17.29)

1 ê

0,47 íÔ

ïîçâоляет

îïðåäелить

çíàчения

1 ê

1 ê

элементоâ фильтрà.

∞

Пример. Ðåàëèçîâàòü

фильтр ниж-

U 1

2,13 íÔ

U 2

íèõ ÷àñòîò Áàòòåðâîðòà âòîðîãî ïîðÿäêà

из примерà â âèäå àêòèâíîé RC-öåïè.

Ïåðåäàòî÷íàя функция НЧ фильтрà

Ðèñ. 17.15

Áàòòåðâîðòà âòîðîãî ïîðÿäêà áûëà ïîëó-

463

÷åíà ðàнее (см. пример нà ñòð. 450) Hp(p) = 1/(p2 + 1,41p + 1). Для сопос- тàâления с ней переäàточной функции (17.30) преäñòàâим послеäíþþ â âèäå, êîãäà коэффициент при p2 ðàâåí 1:

H

p

( p ) =

G1G3

×

1

.

C C

G1 + G3 + G4

p

2

+ p

+

G3G4

2 5

C

2

C C

5

2

Ïðèðàâíèâàя коэффициенты при ð è ñâîáîäные члены этих переäàточных

функций, получàåì òðè óðàâнения с шестью неизâестными G , G , G			, G , C		è
C2: G1G3 C2C5	= 1; (G1 + G3 + G4 ) C2 = 1,41; G3G4 C2C5 =11. 2	3	4	1
Ñëåäует учесть, что â óðàâнения âõîäят нормироâàííûå çíàчения емкостей
C2 è C5 , òàê êàк коэффициенты переäàточной функции фильтрà Áàòòåðâîðòà
получены äëÿ	нормироâàííîé ÷àстоты W = w /wí (ãäå wí =	wï	= 2pfï		=
= 2p ×159 ×103 =	106 ðàä/ñ).

Поскольку искомых âеличин больше, чем урàâнений, зàäàäèìñÿ ÷àñòüþ èç
них. Выберем приемлемые знàчения проâîäимостей G1, G3 è G4, íàпример
G1 = G3 = G4 = 10 3 Ñì, ò. å. R1 = R3 = R4				= 1 êÎì. Äàëåå èç âòîðîãî
óðàâнения леãко получить	C2	= (G1 + G3	+ G4 )	1,41 = 2,128 × 10−3 , à èç ïåðâî-
ãо и третьеãî óðàâнений	C5	= G G	= 0,47 × 10−3 . Денормироâàííûå çíà-
		3 4 C2
чения емкостей C2 = C2 wí	= 2,13 íÔ, C5		= C5 wí = 0,47 íÔ.
Ñõåìà фильтрà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 17.15.

Ðåàëèçàция фильтроâ ñî âсплескàìè îñëàбления, переäàточные функции которых описыâàþòñÿ âûðàжением (17.21), осущестâляется тàê æå, êàê è ðåàëèçàция полиномиàльных фильтроâ. Ïåðåäà- òî÷íàя функция (17.21) рàçáèâàåòñÿ íà произâåäение простейших (перâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ) ïåðåäàточных функций; послеäíèå ðåà- лизуются â âèäе фильтроâûõ RC-çâåíüåâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ, ñîåäиняемых кàñêàäíî â общую схему фильтрà.

Äëÿ ðåàëèçàöèè ïåðåäàточных функций âòîðîãî ïîðÿäêà с нулем переäà÷è Hpi(p) = (p2 + α0)/(p2 + b1p + α0) используются специàльные фильтроâûå ARC-çâåíüÿ.

Более поäробно метоäику синтезà àêòèâíûõ RC-фильтроâ ñî âсплескàìè îñëàбления можно изучить, обрàòèâшись к специàльной литерàòóðå.

17.4. Переход от фильтров нижних частот к другим типам фильтров

Преобразование шкалы частот ФНЧ. Для синтезà фильтроâ

âерхних чàстот (полосоâûõ èëè çàãðàæäàþùèõ) è, â ÷àстности, äëÿ íàõîæäåíèÿ èõ ïåðåäàточных функций, можно было бы зàíîâî ïî- âторить âсе преобрàçîâàния, примененные к фильтрàм нижних чàñòîò. Îäíàêî òàêîé ïîäõîä íåðàöèîíàлен. Обычно äëÿ ðàñ÷åòà ФВЧ, ПФ или ЗФ используют преобрàçîâàíèå øêàëû ÷àстот ФНЧ-прототипà.

Íà ðèñ. 17.16 ïðèâåäåíû õàðàктеристики ослàбления фильтроâ: нижних чàñòîò (à), âерхних чàñòîò (á) полосоâîãî (â) è çàãðàæ-

464

	Àð			Àð
			Àð min	Àð min
	Àð max					Àð max
−ωç −ωï	0	ωï ωç	ωí÷	0	ωç ωï	ωâ÷
	à)			Ар		á)
Àð
Àð min				Àð min
	Àð max			Àð max

0 ωç1 ωï1		ω0		ωï2 ωç2 ωïô		0	ωï1 ωç1 ωç2 ωï2 ωçô
		â)					ã)

Ðèñ. 17.16

äàþùåãî (ã). Äëÿ ÔÍ× ýòà õàðàктеристикà построенà êàê äля положительных, тàê è äля отрицàтельных чàñòîò. Øêàëà ÷àñòîò äëÿ êàæäîãо фильтрà помеченà äëÿ óäîáñòâà áóêâенными обознàчениями: «нч», «â÷», «ïô», «çô».

Èç ðèñ. 17.16, à è á âèäíî, ÷òî õàðàктеристикà îñëàбления ФНЧ â отрицàтельной облàñòè ÷àñòîò ïîâторяет хàðàктеристику ФВЧ. Преобрàçîâàòü õàðàктеристику ФНЧ â õàðàктеристику ФВЧ можно с помощью зàмены переменной:

ω í.÷ = − ω2ï ω â.÷ ,	(17.31)
ãäå ωï ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà полосы пропускàíèÿ ÔÍ× è ÔÂ×.
Ãðàôèê çàâисимости (17.31) преäñòàâëÿåò	собой нижнюю

âåòâü ãиперболы. Нà ðèñ. 17.17 ïðèâåäåíû õàðàктеристикà îñ- ëàбления ФНЧ, ãðàфик преобрàзующей функции (17.31) и хà- ðàктеристикà îñëàбления ФВЧ. Дейстâительно, тàкое преобрà-

çîâàíèå ÷àстоты приâîäèò ê ñîîòâåòñòâèþ: ÷àстоты ωí.÷ = ∞ ÷àстоте ωâ.÷ = 0; ÷àстоты ωí.÷ = ωï ÷àстоте ωâ.÷ = ωï; ÷àстоты ωí.÷ = 0 ÷àстоте ωâ.÷ = ∞.

Чтобы из хàðàктеристики ФНЧ получить хàðàктеристику ПФ (рис. 17.16, â), необхоäèìà çàìåíà переменной:

ωí.÷ = ωï.ô − ω20	ωï.ô = (ω2ï.ô − ω20 )	ω ï.ô =	(17.32)
= ω0 (ωï.ô	ω0 − ω0 ωï.ô ),

465

	ωí÷	ωí÷
	Àð min
	ωç
	ωï
	0
Àð	Àð max			ωâ÷
	−ωï
	−ωç
	Àð min
	Àð
		ðmin		Àð max
		À
	0	ωç	ωï	ωâ÷
	Ðèñ. 17.17

ãäå w0 = wï1 wï2 = wç1 wç2 ; wï1 è wï2 ãðàничные чàстоты полосы пропускàíèÿ ÏÔ; wç1 è wç2 ãðàничные чàстоты полосы нер-

попускàíèÿ ÏÔ.

Ãðàфик функции (17.32) описыâàется более сложной криâîé, ÷åì ó ÔÂ×. Íà ðèñ. 17.18 ïîêàçàíî êàк происхоäит преобрàçîâà- íèå øêàëû ÷àñòîò ÔÍ× â øêàëó ÷àстот ПФ с помощью преобрàçî- âàíèÿ ÷àстоты (17.32). Дàнное преобрàçîâàíèå ïðèâîäèò ê ñîîòâåò-

ñòâèþ ÷àстоты wí.÷ = ¥ ÷àстоте wï.ô = 0, ÷àстоты wí.÷ = 0 ÷àстоте wï.ô = w0, ÷àстоты wí.÷ = ¥ ÷àстоте wï.ô = ¥.

Õàðàктеристику (рис. 17.16, ã) çàãðàæäàþùåãо фильтрà можно получить из хàðàктеристики ФНЧ, применяя преобрàçîâàíèå ÷àñ- òîòû:

	w2	× w	ç.ô
wí.÷ =	0			.	(17.33)
	w2
		- w2
	0		ç.ô

466

		ωí÷	ωí÷
		ωç
		ωï
ðmin	ðmax	0
À	À
Àð			ωïô
		−ωï
		−ωç
		Àð
		Àð min

À

ð max

0

ωç1 ωï1 ω0 ωï2 ωç2

ωïô

Ðèñ. 17.18

Преобразование схем пассивных LC-фильтров. Çàìåíà переменных (2.31) и (2.32) â âûðàжении äëÿ êâàäðàòà À×Õ | Hp(jω)|2 фильтрà нижних чàñòîò ïðèâîäèò ïðè ðåàëèçàции этой функции к преобрàçîâàнию схемы ФНЧ â схемы ФВЧ и ПФ. Инäóêòèâíîå

сопротиâление ФНЧ jωí.÷Lí.÷ перехоäит при преобрàçîâàíèè ÷àñ- òîò (17.31) â сопротиâление:

jω í.÷Lí.÷ = j (−ω2ï ω â.÷ )Lí.÷ = ω2ï ( j ω â.÷ Lí.÷ ) = 1( j ω â.÷Ñâ.÷ ),

ò.å. â емкостное сопротиâление ФВЧ, ãäå Câ.÷ = 1/ωï2Lí.÷. Емкостнàÿ ïðîâîäимость:

jω í.÷C í.÷ = j (−ω2ï ω â.÷ )Cí.÷ = ω2ï ( j ω â.÷ Cí.÷ ) = = 1( j ω â.÷Lâ.÷ )

467

перехоäèò â èíäóêòèâíóþ ïðîâîäимость фильтрà Â× ñ èíäóêòèâностью Lâ.÷ = 1/ωï2Cí.÷.

Преобрàçîâàíèå ÷àстоты (17.32) приâîäèò ê çàìåíå èíäóêòèâíî- ãо сопротиâления ФНЧ:

	jω í.÷Lí.÷ = jω ï.ôLí.÷ +	ω20	Lí.÷ = jω ï.ôLï.ô1	+	1
		jω ï.ô			jω ï.ôÑ ï.ô1

сопротиâлением послеäîâàтельноãо контурà â ПФ с элементàìè

Lï.ô1 = Lí.÷ è Cï.ô1 = 1/(ω02Lí.÷).

Емкостнàÿ ïðîâîäимость ФНЧ:

jω Ñ	= jω	Ñ	+	ω20	Ñ	í.÷	= jω Ñ	ï.ô2	+	1
í.÷ í.÷		ï.ô í.÷		jω ï.ô			ï.ô			jω ï.ôLï.ô2

çàменяется â ÏÔ ïðîâîäимостью пàðàллельноãо контурà с элемен-

òàìè Cï.ô2 = Cí.÷ è Lï.ô2 = 1/(ω02Cí.÷).

Нетруäíî óáåäиться тàêæå, ÷òî èíäóêòèâный элемент ФНЧ преобрàзуется â ÇÔ â ïàðàллельный колебàтельный контур с резо- нàнсной чàстотой ω0, à емкость ФНЧ â послеäîâàтельный коле- бàтельный контур с той же резонàнсной чàстотой.

Пример. Ðàссчитàть полосоâой фильтр с хàðàктеристикàìè Áàòòåðâîðòà, óäîâëåòâоряющий требоâàíèÿì: Àpmax = 3 äÁ; Àpmin = 12,2 äÁ; fï1 = 1241 êÃö; fï2 = 1400 êÃö; fç1 = 1168,5 êÃö; fç2 = 1486 êÃö.

Для решения постàâленной зàäàчи нужно снà÷àëà построить фильтр НЧ- прототипà, à çàтем с помощью преобрàçîâàíèÿ ÷àстоты перейти к ПФ.

Пересчитàем требоâàíèÿ ÏÔ (ðèñ. 17.16, â) â требоâàíèÿ ê Í×-ïðототиïó

(ñì. ðèñ. 17.16, à). Воспользуемся формулой (17.32): f0 = fï1fï2	= fç1fç2 =
= 1734,4 êÃö; fï = fï2 f02/fï2 = fï2 fï1 = 159 êÃö; fç = fç2	f02/fç2 =

= fç2 fç1 = 318 êÃö.  êà÷åñòâе нормирующей чàстоты âыберем fí = fï. Òî- ãäà нормироâàííûå ÷àстоты Ωï = 1 è Ωç = fç /fï = 2. Èòàк, требоâàíèÿ ê Í×-

прототипу имеют âèä: Àpmax = 3 äÁ; Àpmin	= 12,2 äÁ; fï = 159 êÃö (Ωï = 1);
fç = 318 êÃö (Ωç = 2).
В примере äëÿ òàêîãо НЧ-фильтрà	были получены кâàäðàò À×Õ

| Hp(jΩ) |2 = 1/(1 + Ω4), ðàбочее ослàбление Àp = 10 lg (1 + Ω4) è ïåðåäàòî÷- íàя функция Hp(p) = 1/(p2 + 1,41p + 1).

 äðóãом примере этот фильтр был реàëèçîâàí â âèäе схемы, изобрàæåí-

íîé íà рис. 17.11 с элементàìè Lí.÷ = 1,41 ìÃí è Ñí.÷ = 1,41 íÔ.

При перехоäе к требуемому полосоâому фильтру необхоäèìî èíäóêòèâ- ность проäольноãî ïëå÷à Lí.÷ фильтрà НЧ-прототипà çàменить послеäîâàòåëü-

1 ê

1,41 ìÃí 6,0

ïÔ

Uã

+

1,41 íÔ

6,0 ìêÃí

1 ê

Ðèñ. 17.19

468

ным контуром с элементàìè Lï.ô1 = Lí.÷ = 1,41 ìÃí è Ñï.ô1 = 1 (( 2pf0 )2 Lí.÷ ) = = 6 ×10 12 Ô = 6,0 ïÔ.

Вместо емкости Ñí.÷ â поперечном плече полосоâîãо фильтрà áóäåò âêëþ-

÷åí ïàðàллельный контур с элементàìè Ñï.ô2 = Ñí.÷ = 1,41 íÔ è Lï.ô2 = = 1 (( 2pf0 )2 Cí.÷ ) = 6 ×10 6 Ãí = 6 ìêÃí.

Ñõåìà искомоãо полосоâîãо фильтрà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 17.19.

Преобразование передаточных функций активных RC-фильт- ров.  àêòèâíûõ RC-фильтрàõ äëÿ òîãо, чтобы перейти от переäà- точной функции ФНЧ-прототипà ê ïåðåäàточным функциям ФВЧ и ПФ, слеäует осущестâèòü çàмену комплексной переменной ð. Из (17.31) получàåì äëÿ ÔÂ×

j ω í.÷ = ω2ï j ω â.÷ èëè j Ω í.÷ = 1 j Ω â.÷ ,

(17.34)

ãäå Ωí.÷ = ωí.÷ / ωï è Ωâ.÷ = ωâ.÷ / ωï.

Çàменяя â (17.34) îïåðàòîð jΩ íà îïåðàòîð ð, çàпишем преобрà- çîâàние переменной ð â âûðàжении нормироâàííîé ïî ÷àстоте пе-

ðåäàточной функции ФНЧ-прототипà:
p í.÷ = 1 p â.÷ .	(17.35)

Ïåðåäàòî÷íàя функция полиномиàëüíîãî çâåíà âòîðîãî ïîðÿäêà

ФНЧ имеет âèä:
Hp ( p í.÷ ) = H		1			.	(17.36)
	b p2	+ b p
			í.÷	+ b
2 í.÷		1		0

Çàìåíà переменной (17.35) â ýòîì âûðàжении приâîäèò ê ïåðå- äàточной функции полиномиàëüíîãî çâåíà âòîðîãî ïîðÿäêà ÔÂ×:

Hp ( p â.÷ ) = H		pâ2.÷			.	(17.37)
	b p2	+ b p
			â.÷	+ b
0 â.÷		1		2

Äëÿ ðåàëèçàöèè çâåíà ñ ïåðåäàточной функцией (17.37) может быть использоâàíà ñõåìà ðèñ. 17.14, á, â которой слеäóåò âûáðàòü

ïðîâîäимости Y2 è Y5 àêòèâíûìè, ò. å. Y2 = G2 è Y5 = G5, à ïðîâîäимости Y1, Y3 è Y4 емкостными, т. е. Y1 = pC1; Y3 = pC3

è Y4 = pC4. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíàчения проâîäимостей â âûðàжение (17.28), получàåì ïåðåäàточную функцию

Hp ( p â.÷ ) = H

−p2

C C

â.÷

1 3

(17.38)

p2 C C

4

+ pG

5

(C

+ C

3

+ C

4

) + G G

5

â.÷ 3

1

2

ARC-çâåíà ÔÂ× âòîðîãî ïîðÿäêà, ñõåìà

котороãî

äàíà íà

ðèñ. 17.20. Çíàчения элементоâ

схемы

áóäóò

íàéäåíû,

åñëè ïðè-

ðàâнять коэффициенты из (17.37) и (17.38) при соотâåòñòâующих степенях ð.

Для перехоäà от НЧ-прототипà к полосоâому фильтру âоспользуемся (17.32):

469

Ñ1

Ñ4Ñ3

G5

G1

Ñ4Ñ3

G5

∞

∞

U 1

G2

U 2

U 1

G2

U 2

Ðèñ. 17.20	Ðèñ. 17.21
j ω í.÷ = (ω20 − ω2ï.ô ) j ωï.ô	èëè j Ω í.÷ = (Ω20 − Ω2ï.ô ) j Ωï.ô ,(17.39)

ãäå Ωí.÷ = ωí.÷ / ωï; Ωï.ô = ωï.ô/ ωï; Ω0 = ω0/ ωï.
Ââîäя переменную p = jΩ и учитыâàÿ, ÷òî p2 = Ω2, íàõîäèì
èç (17.39):
p í.÷ = (p2í.÷ + Ω20 ) pï.ô .	(17.40)

Òàêàÿ çàìåíà переменной pí.÷ â (17.36) ïðèâîäèò ê ïåðåäàточ- ной функции полосоâîãо фильтрà:

Hp ( p ï.ô ) = H					pï.2	ô				, (17.41)
	′	4	′	3	′		2	′	′
	b4 pï.ô + b3 pï.ô + b2pï.ô + b1pï.ô + b0

ãäå b4′ = b2; b3′ = b1; b2′ = 2b2 Ω02 + b0; b1′ = b1 Ω02; b0′ = b2 Ω04. Âèäим, что при перехоäå ê ÏÔ ïîðÿäîê ïåðåäàточной функции

óäâàèâàåòñÿ. Ïåðåäàточную функцию (17.41) можно рàзбить нà произâåäåíèå ïåðåäàточных функций âòîðîãî ïîðÿäêà è êàæäóþ èç íèõ ðåàëèçîâàòü îòäельной ARC-схемой.

Çàпишем переäàточную функцию ПФ âòîðîãî ïîðÿäêà:

	Hp ( p ï.ô ) = H		p ï.ô	.	(17.42)
		b 2ï.ô pï.ô2	+ b1ï.ô p ï.ô + b 0ï.ô

Ïîäобную переäàточную функцию имеет ARC-ñõåìà, изобрàæåí-

íàÿ íà ðèñ. 17.14, á ïðè Y1 = G1, Y2 = G2, Y5 = G5 è Y3 = = pC3, Y4 = pC4. Дейстâительно, из (17.28) нàõîäèì:

Hp ( p ï.ô ) =

−p ï.ôG1C3

. (17.43)

p2

C C

+ p G

(C

3

+ C

4

) + G

5

(G + G

2

)

ï.ô 3 4

ï.ô 5

1

Элементы схемы фильтрà (ðèñ. 17.21) îïðåäеляются сопостàâ- лением (17.42) и (17.43).

Порядок синтеза ФВЧ, ПФ и ЗФ. С помощью преобрàçîâàíèÿ ÷àстоты был осущестâлен перехоä îò ÔÍ× ê äðóãèì òèïàм фильт- рà. Îäíàêî äля их синтезà ýòîãî íåäîñòàточно, тàê êàê èñõîäными при синтезе ФВЧ, ПФ и ЗФ яâляются требоâàíèÿ íå ê ÔÍ×, à ê

470